9. Übung zur Analysis III WS 2001-2002

34. Aufgabe: Man bestimme die Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme und gebe den maximalen Definitionsbereich der Lösung an:

a) y′(x) = 2xy^{2}(x), y(0) = 1

b) y′(x) = \frac{x^{2}}{sin y(x)}, y(0) = \frac{π}{3} .

35. Aufgabe: a) Sei V ein Vektorraum und A: V → V eine lineare Abbildung. Sei x_{0} eine (fest vorgegebene) Lösung des Gleichungsystems Ax = b. Zeigen Sie, daß für die Lösungsmenge M des Gleichungssystems Ax = b gilt: M = x_{0} + N, wobei N die Lösungsmenge des Systems Ax = 0 ist.

b) Lösen Sie das Anfangswertproblem

\frac{d}{dx}y(x) = sin x(sin^{2} x − y(x)), y(\frac{π}{2}) = 0.

Hinweis: Lineare DGL’s der Form Af = b löst man folgendermaßen: Man bestimmt die Lösungen der homogenen Gleichung Af = 0. Ist z(x) eine Lösung von Af = 0, dann auch cz(x) für eine Konstante c, wegen der Linearität. Nun macht man für die Lösung der Gleichung Af = b den Ansatz y(x) = c(x)z(x) und versucht c(x) entsprechend zu bestimmen. Dieses Verfahren heißt Variation der Konstanten.

36. Aufgabe: Die Differentialgleichung

p(x, y) + q(x, y)y′ = 0, wobei p, q stetig auf einem Gebiet G ⊂ ℝ^{2},

heißt exakt, wenn es eine Abbildung φ: G → ℝ gibt, so daß grad φ = ( \begin{matrix}p \\ q \end{matrix} ). Solche Gleichungen können durch Integration gelöst werden. Manche Differentialgleichungen, die nicht exakt sind, können durch Multiplikation mit einem sogenannten integrierenden Faktor exakt gemacht werden. Siehe hierzu z.B. Heuser, Analysis 2.

a) Bestimmen Sie die Lösungen der Differentialgleichung

3x^{2}y^{2} + 2y + 2x^{3}yy′ + 2(x + y)y′ = 1,

die den Anfangsbedingungen y(0) = 1 bzw. y(0) = −1 genügen.

b) Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung x^{2} + y − xy′ = 0.

37. Aufgabe: Eine Funktion f : ℝ^{n} \ {0} → ℝ heißt homogen vom Grad k, wenn f(tx) = t^{k}f(x) für alle t > 0 gilt.

Die Differentialgleichung p(x, y)dx + q(x, y)dy = 0 heißt homogen vom Grad k, wenn p und q homogene Funktionen vom Grad k sind.

a) Sei nun p(x, y)dx + q(x, y)dy = 0 homogen vom Grad k und px + qy ≠ 0. Zeigen Sie mit Aufgabe 13 b), daß dann die Gleichung

\frac{p}{px + qy} dx + \frac{q}{px + qy} dy = 0

exakt ist, d.h., (px + qy)^{−1} ist ein integrierender Faktor.

b) Man löse die Differentialgleichung y^{2} + (x^{2} − xy − y^{2})y′ = 0.

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