10. Übung zur Analysis III WS 2001-2002

38. Aufgabe: Lösen Sie das Anfangswertproblem y′ = \frac{y}{x} − \frac{x^{2}}{y^{2}} , y(1) = 1.

Hinweis: Machen Sie den Ansatz u(x) = \frac{y(x)}{x}.

39. Aufgabe: Sei I ein offenes Intervall. Es sei f: ℝ × ℝ → ℝ, f(t, y) = y^{2}. Beweisen Sie, daß jede maximale Lösung φ: I → ℝ der Differentialgleichung y′ = f(t, y) von einem der folgenden Typen ist:

1. I = ℝ und φ(t) = 0 für alle t ∈ ℝ,

2. I = (−∞, c) oder I = (c, ∞) für ein c ∈ ℝ und φ(t) = \frac{1}{c − t} für alle t ∈ I.

Hinweis: Als Def.bereich von Lösungen der DGL sind nur offene Intervalle I zugelassen. Zeigen Sie durch einen indirekten Beweis, daß für eine Lösung φ: I → ℝ der DGL mit φ(t) = 0 für ein t ∈ I schon folgt, daß φ = 0 sein muß.

40. Aufgabe: Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y′ = 2ty, y(0) = 1 durch Koeffizientenvergleich.

41. Aufgabe: Man bestimme die allgemeine Lösung φ: I → ℝ^{2} der Differentialgleichung y′ = A(t)y + b(t), wobei

A(t) = (\begin{matrix}t & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) und b(t) = (\begin{matrix}t \\ 1 \end{matrix})

für alle t ∈ ℝ. Hinweis: Offenbar ist A(t)A(s) = A(s)A(t). Die Methode Variation der Konstanten funktioniert analog zum eindimensionalen.

42. Aufgabe: Sei D der gewöhnliche Differentialoperator, d.h. D = \frac{d}{dx}. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

(D^{3} + 2D^{2} − D − 2)y(x) = e^{x} + x^{2}.

Hinweis: Schreiben Sie die Gleichung zunächst in ein System 1. Ordnung um.

Abgabetermin: Donnerstag, 24.01.02, Briefkasten im Geb. 27.2 bis 12.45 Uhr.