11. Übung zur Analysis III WS 2001-2002

Im folgenden ist unter kompakt ausschließlich die Heine-Borelsche Überdeckungseigenschaft zu verstehen, d.h., eine Teilmenge C eines topologischen Raumes heißt kompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung C ⊂ ∪_{T ∈σ}T eine endliche Teilmenge σ_{0} ⊂ σ gibt, so daß C ⊂ ∪_{T ∈σ_{0}}T.

43. Aufgabe: a) Seien X und Y topologische Räume, siehe Aufgabe 33. Sei f: X → Y stetig. Zeigen Sie, wenn X die Heine-Borelsche Überdeckungseigenschaft besitzt, so auch f(X).

b) Sei X ein topologischer Raum, C ⊂ X kompakt und A ⊂ C eine abgeschlossene Teilmenge von X. Zeigen Sie, dann ist A kompakt.

c) Man betrachte auf der Menge ℝ die Topologie

τ = {(t, ∞) | t ∈ ℝ} ∪ {∅, ℝ}.

Geben Sie eine Teilmenge des topologischen Raumes (ℝ, τ) an, die kompakt und nicht abgeschlossen ist.

d) Sei (X, τ) ein Hausdorff Raum und C ⊂ X kompakt. Zeigen Sie, zu x ∉ C gibt es disjunkte offene Mengen A und B, so daß C ⊂ A und x ∈ B. Folgern Sie, daß kompakte Teilmengen eines Hausdorff Raumes abgeschlossen sind.

44. Aufgabe: Seien (X, τ) und (Y, σ) topologische Räume und (X × Y, τ × σ) ihr Produktraum, siehe Aufgabe 33 b).

a) Zeigen Sie, wenn τ und σ Hausdorff Topologien sind, dann ist τ × σ eine Hausdorff Topologie.

b) Zeigen Sie, wenn X und Y kompakt sind, dann ist X × Y kompakt.

45. Aufgabe: Unter einem (achsenparallelen) Quader im ℝ^{n} verstehen wir im folgenden Mengen der Form

Q(a, b) = {x ∈ ℝ^{n} | a_{i} ≤ x_{i} ≤ b_{i}, 1 ≤ i ≤ n},

wobei a = (a_{i}) und b = (b_{i}) in ℝ^{n} sind, so daß a_{i} ≤ b_{i}. Es sei Q = {Q(a, b) | a, b ∈ ℝ^{n} mit a_{i} ≤ b_{i}}. Ein Würfel ist ein Quader dessen Kanten gleich lang sind.

a) Beweisen Sie die Aussage: Jede offene Teilmenge des ℝ^{n} ist eine Vereinigung von abzählbar vielen abgeschlossenen Würfeln, die paarweise keine inneren Punkte gemeinsam haben. Hinweis: Führen Sie die Details auf Seite 23 ff von Barner-Flohr, Analysis II, aus, d.h., transformieren Sie die dort gegebene Prosa in einen formalen mathematischen Beweis. b) Sei f: ℝ_{+} → ℝ_{+} eine Abbildung, so daß f(1) = 1 und f(x + y) = f(x) + f(y) für alle x, y ∈ ℝ_{+}. Zeigen Sie, dann gilt f(x) = x für alle x ∈ ℝ_{+}.

c) Sei μ: Q → ℝ_{+} eine Abbildung, so daß gilt:

1. μ(Q) = μ(Q_{1}) + μ(Q_{2}) für Q = Q_{1} ∪ Q_{2} disjunkt,

2. μ(x + Q) = μ(Q) für x ∈ ℝ^{n},

3. μ([0, 1]^{n}) = 1.

Folgern Sie aus b), daß μ(Q(a, b)) = ∏_{i}(b_{i} − a_{i}) für Q(a, b) ∈ Q. (D.h., die Volumenabbildung von Quadern ist schon dadurch festgelegt, daß sie additiv, translationsinvariant und normiert ist.)

46. Aufgabe: Sei X eine nichtleere Menge und

ℝ(X) = {f: X → ℝ | f ist eine Abbildung}.

Bekanntermaßen ist ℝ(X) unter punktweise erklärten Operationen ein reeller Vektorraum. Ein Untervektorraum L ⊂ ℝ(X) heißt ein Vektorverband, wenn max(f, g) ∈ L für alle f, g ∈ L. Ein Vektorverband heißt Stonesch, wenn min(𝟙, f) ∈ L für alle f ∈ L. Hierbei sind Maximum und Minimum von Abbildungen punktweise definiert, d.h., max(f, g)(x) = max(f(x), g(x)). Mit 𝟙 ist die Abbildung 𝟙(x) = 1 für alle x ∈ X gemeint.

a) Sei X ein topologischer Raum. Zeigen Sie, daß die Menge C_{c}(X) aller stetigen, reellwertigen Abbildungen mit kompaktem Träger ein Stonescher Vektorverband ist.

b) Sei X ≠ ∅ eine Menge, L ⊂ ℝ(X) ein Stonescher Vektorverband, f ∈ L und A = {x ∈ X | f(x) > r} für ein r > 0. Beweisen Sie, dann gibt es eine Folge (f_{n}) in L, die punktweise gegen die charakteristische Funktion χ_{A} konvergiert ( χ_{A}(x) = 1 für x ∈ A und Null sonst). Hinweis: Setzen Sie

f_{n} = min(𝟙, n(max(−n, f) − max(−n, min(r, f)))).

Abgabetermin: Donnerstag, 31.01.02, Briefkasten im Geb. 27.2 bis 12.45 Uhr.