12. Übung zur Analysis III WS 2001-2002

47. Aufgabe: a) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen und (u_{ν})_{ν∈ℕ} in C_{c}(Ω) eine lokal endliche Zerlegung der Eins. Zeigen Sie, wenn für f ∈ C(Ω) gilt

∑_{ν=1}^{∞} ∫_{Ω} |f|u_{ν} dλ^{n} < ∞,  (1)

dann konvergiert die entsprechende Summe in (1) auch für jede (andere) Zerlegung der Eins in Ω.

b) Wir schreiben f ∈ CL^{1}(Ω) falls f stetig ist und die Summe in (1) konvergiert. Für f ∈ CL^{1}(Ω) definieren wir das Integral

∫ f dλ^{n} := ∑_{ν=1}^{∞} ∫_{Ω} fu_{ν} dλ^{n}.  (2)

Zeigen Sie, die Definition in (2) ist unabhängig von der Zerlegung der Eins. Zeigen Sie, das so definierte Integral ist positiv und linear. Hinweis: f^{+} = max(f, 0) und f^{−} = max(−f, 0) sind positiv.

48. Aufgabe: (Fortsetzung der Aufgabe 47.)

a) Sei f ∈ C(Ω) und (f_{k})_{k∈ℕ} eine monoton wachsende Folge nicht negativer Funktionen in CL^{1}(Ω), so daß f_{k} ↑ f. Es gebe ferner ein r > 0, so daß ∫ f_{k} dλ^{n} ≤ r für alle k ∈ ℕ. Dann folgt f ∈ CL^{1}(Ω) und ∫ f dλ^{n} = lim_{k} ∫ f_{k} dλ^{n}.

b) Seien nun a = (a_{i}) ∈ ℝ^{n} und b = (b_{i}) ∈ ℝ^{n} mit a_{i} < b_{i}. Es sei Ω = {x ∈ ℝ^{n} | a_{i} < x_{i} < b_{i}, 1 ≤ i ≤ n}. Zeigen Sie, wenn f ∈ C(Ω) beschränkt ist, folgt f ∈ CL^{1}(Ω) und

∫_{Ω} f dλ^{n} = ∫_{a_{n}}^{b_{n}} ⋯ ∫_{a_{1}}^{b_{1}} f(x_{1}, …, x_{n}) dx_{1} ⋯ dx_{n}.

49. Aufgabe: Wir definieren für Funktionen f, g ∈ C_{c}(ℝ^{n}) die Faltung

f ∗ g(x) = ∫_{ℝ^{n}} f(y)g(x − y) dλ^{n}(y).

a) Zeigen Sie, es gilt supp(f ∗ g) ⊂ supp f + supp g, f ∗ g = g ∗ f und (rf_{1} + f_{2}) ∗ g = rf_{1} ∗ g + f_{2} ∗ g für f, f_{1}, f_{2}, g ∈ C_{c}(ℝ^{n}) und r ∈ ℝ.

b) Für f ∈ C_{c}(ℝ^{n}) sei f̌(x) = f(−x). Man zeige, daß die Funktion f ∗f̌ positiv semidefinit ist, d.h., die Matrix [f ∗f̌(x_{i} −x_{j})]_{i,j=1}^{m} ist positiv semidefinit für alle x_{1} …, x_{m} ∈ ℝ^{n} und m ∈ ℕ. Hinweis: (∑_{i} a_{i})^{2} = ∑_{i,j} a_{i}a_{j}.

50. Aufgabe: Unter einem Netz, oder besser einer verallgemeinerten Folge, in einer Menge X versteht man eine Abbildung h : Λ → X, wobei die Menge Λ mit einer Präordnung ≤, d.h., λ ≤ λ und aus λ ≤ μ, μ ≤ ν ⇒ λ ≤ ν, versehen ist, die nach oben gerichtet ist, d.h., zu λ, μ ∈ Λ gibt es ν ∈ Λ mit ν ≥ λ, μ. Man schreibt x_{λ} = h(λ) und für das Netz h kurz (x_{λ})_{λ∈Λ}. Offensichtlich ist eine Folge ein Netz mit Λ = ℕ in der natürlichen Ordnung auf ℕ. Sei (X, τ) ein topologischer Raum (siehe Aufgabe 33). Ein Netz (x_{λ})_{λ∈Λ} in X konvergiert gegen x ∈ X, wenn gilt: Für alle U ∈ O(x) gibt es λ(U) ∈ Λ so daß x_{λ} ∈ U für alle λ ≥ λ(U). Man schreibt dann lim_{λ} x_{λ} = x.

Sei [a, b] ⊂ ℝ und sei Λ die Menge aller endlichen Teilmengen λ = {x_{0}, …, x_{n}} von ℝ, so daß a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b. Man ordne Λ durch ⊂. Sei f: [a, b] → ℝ eine beschränkte Funktion und

S_{j}(f) := sup{f(x) | x ∈ [x_{j−1}, x_{j}]}, I_{j}(f) := inf{f(x) | x ∈ [x_{j−1}, x_{j}]},

sowie

OS_{λ}(f) = ∑_{j=1}^{n} S_{j}f(x_{j} − x_{j−1}), US_{λ}(f) = ∑_{j=1}^{n} I_{j}f(x_{j} − x_{j−1}).

Zeigen Sie, daß (OS_{λ}(f))_{λ∈Λ} und (US_{λ}(f))_{λ∈Λ} Netze sind, die in ℝ konvergieren. Was bedeutet lim_{λ} OS_{λ}(f) = lim_{λ} US_{λ}(f)? Sei f eine Regelfunktion auf [a, b]. Zeigen Sie, daß

∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{λ} OS_{λ}(f) = lim_{λ} US_{λ}(f).

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