13. Übung zur Analysis III WS 2001-2002

51. Aufgabe: Sei f ∈ C_{c}(ℝ^{n}) nicht negativ. Dann ist die Funktion

f̂(t) = ∫_{ℝ^{n}} e^{2πi⟨t,x⟩}f(x) dλ^{n}(x)

für t ∈ ℝ^{n}, wobei ⟨·, ·⟩ das Standardskalarprodukt ist, stetig, beschränkt und positiv semidefinit. Man zeige ferner, daß f̂(t)ĝ(t) = ({ \atop f ∗ g})(t) für f, g ∈ C_{c}(ℝ^{n}), wobei f ∗ g die Faltung aus Aufgabe 49 ist.

52. Aufgabe: a) Mit Hilfe der Aufgabe 48 Teil b) berechne man jeweils das Volumen einer offenen Kugel und eines Zylinders im ℝ^{3} mit Radius R, indem man auf geeignete Koordinaten transformiert.

b) Man berechne entsprechend das Volumen einer Kugel im ℝ^{4}, vergleiche Seite 43 in Barner-Flohr, Analysis II.

53. Aufgabe: Sei R > 0. Man berechne das Integral ∫_{Ω} f(x) dλ^{2}(x), wobei f: ℝ^{2} → ℝ, f(x) = e^{−x_{1}^{2}−x_{2}^{2}} und Ω = {x | x_{1}^{2} +x_{2}^{2} < R^{2}} durch Transformation auf Polarkoordinaten.

54. Aufgabe: Seien a, b, c > 0. Man berechne das Integral ∫_{Ω} f(x) dλ^{3}(x), wobei

f(x) = \frac{x_{1}x_{2}x_{3}}{\sqrt{\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{b^{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{c^{2}}}}

und Ω der Ellipsoidteil

Ω = \{x | \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{b^{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{c^{2}} < 1; x_{1}, x_{2}, x_{3} > 0\}

ist. Man verwende Transformation auf die Ellipsoidkoordinaten

(\begin{matrix}r \\ ϑ \\ φ \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}ar cos ϑ cos φ \\ br cos ϑ sin φ \\ cr sin ϑ \end{matrix}) .

Abgabetermin: Donnerstag, 14.02.02, Briefkasten im Geb. 27.2 bis 12.45 Uhr.