14. Übung zur Analysis III WS 2001-2002

55. Aufgabe: Es sei die Funtkionenfolge

f_{n}(x) = \frac{n^{t}x}{1 + n^{2}x^{2}}

auf dem Intervall [0, 1] gegeben, wobei t > 0. Für welche t ist die Folge (f_{n}) punktweise konvergent und für welche t gilt lim_{n} ∫_{0}^{1} f_{n}(x) dλ(x) = ∫_{0}^{1} lim_{n} f_{n}(x) dλ(x)?

56. Aufgabe: Es liege A ⊂ ℝ^{n} in einem affinen Unterraum der Dimension d < n. Zeigen Sie, daß das Volumen von A im ℝ^{n} Null ist, d.h., daß A eine λ^{n}-Nullmenge ist, also

∥χ_{A}∥_{λ} = ∫_{ℝ^{n}} χ_{A} dλ^{n} = 0,

wobei χ_{A} die charakteristische Funktion von A ist und das Integral die stetige Fortsetzung des iterierten Integrals von C_{c}(ℝ^{n}) nach L^{1} ist.

Hinweis: Überlegen Sie sich, das es ausreicht, zu zeigen, daß ein d-dimensionaler Würfel im ℝ^{n} mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung eine λ^{n}-Nullmenge ist.

57. Aufgabe: Sei X lokalkompakt und μ: C_{c}(X) → ℝ eine positive Linearform. Sei (f_{n})_{n∈ℕ} eine Folge nichtnegativer Funktionen in L^{1}(X, μ) und es gebe r > 0, so daß ∫ f_{n} dμ ≤ r für alle n ∈ ℕ gilt. Ferner existiere lim_{n} f_{n}(x) = f(x) μ-fast überall. Dann ist f ∈ L^{1}(X, μ) und ∫ f dμ ≤ r.

Hinweis: Man setze g_{n}(x) := inf{f_{n}(x), f_{n+1}(x), … }.

58. Aufgabe: Man gebe, mit Nachweis, ein Beispiel für eine Lebesgue-integrierbare Funktion an, die nicht Riemann-integriebar ist.

Abgabetermin: Donnerstag, 21.02.02, Briefkasten im Geb. 27.2 bis 12.45 Uhr.