Lineare Operatoren auf dem Hilbertraum

Vorlesung WS 2002/03

Prof. Dr. Gerd Wittstock Universität des Saarlandes FR 6.1 Mathematik

Version: 7. Februar 2003

Inhaltsverzeichnis

1 Hilberträume 1

1.1 Sesquilinearformen . . . . . . . . . . . . . 1 Polarisationsformel . . . . . . . . . . . . . 1 Schwarzsche Ungleichung . . . . . . . . . 2

1.2 Geometrie des Hilbertraumes . . . . . . . 3

Orthogonalkomplement . . . . . . . . . . 5 1.3 Darstellungssatz für Linearformen …. 7

Identifizierung mit dem Dual . . . . . . . 7 1.4 Vervollständigung eines Prähilbertraumes 9

L^{2} als Vervollständigung . . . . . . . . . . 9 1.5 Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . 11

Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Hilbertraumdimension . . . . . . . . . . . 13

2 Beschränkte lineare Operatoren 15

2.1 Der adjungierte Operator . . . . . . . . . 15 Darstellung von Sesquilinearformen …. 15 selbstadj, positive und normale Op. . . . . 17 Operatoren von endlichem Rang . . . . . 19

2.2 Bild T und Kern T^{∗} . . . . . . . . . . . . . 21 Orthogonale Projektoren . . . . . . . . . . 21 Isometrien und partielle Isometrien …. 23 Linksträger und Bildprojektion . . . . . . 24

2.3 Nach unten beschränkte Operatoren … 27 Inverse und Linksinverse . . . . . . . . . . 27 Minimalmodul . . . . . . . . . . . . . . . 30 Faktorisierung eines Operators . . . . . . 31

2.4 Ordnung auf den Operatoren . . . . . . . 33 Ordnungseinsraum ℒ(H)_{sa} . . . . . . . . . 33 Produkt und Inverse positiver Operator. . 34 Spektrum positiver und selbstadj Op… 36

2.5 Wurzel und Betrag . . . . . . . . . . . . . 39 Wurzel eines positiven Operators . . . . . 39 Monotonie: Wurzel und Inverse . . . . . . 41 Polarzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . 44 Ordnungsideale . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Spektralsatz für normale Operatoren 47

3.1 Selbstadjungierte und unitäre Op. . . . . 47

Spektralsatz für unitäre Op. . . . . . . . . 49 3.2 Ideale in C^{∗}-Algebren . . . . . . . . . . . 51 3.3 Polynomialer Funktionalkalkül . . . . . . 52 3.4 Charaktere und Spektrum . . . . . . . . . 53 3.5 Spektralsatz für normale Op. . . . . . . . 55 4 Kompakte Operatoren 57 4.1 Kompakte Op. auf dem Hilbertraum … 57 Vollstetige Operatoren . . . . . . . . . . . 58 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2 Spektrum kompakter Operatoren . . . . . 61 4.3 Kompakte normale Operatoren . . . . . . 63

Anhang A1

A Metrische Räume A1 A.1 Vervollständigung . . . . . . . . . . . . . . A1 A.2 Separable Räume . . . . . . . . . . . . . . A1 A.3 Kompakte metrische Räume . . . . . . . . A3

B Normierte Räume, Algebren B1 B.1 Banachräume . . . . . . . . . . . . . . . . B1 Grenzwerte in normierten Räumen …. B1 Dualer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . B1 Beschränkte Sesquilinearformen . . . . . . B2 B.2 Beschränkte Operatoren . . . . . . . . . . B3 Neumannsche Reihe . . . . . . . . . . . . B4 Quotientenraum und Homomorphiesatz . B5 B.3 Kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . B7 B.4 Banachalgebren . . . . . . . . . . . . . . . B9 Invertierbare El. einer B-Algebra . . . . . B9 Ideale und Homomorphismen . . . . . . . B11

C Geordnete normierte Räume C1 C.1 Geordnete Vektorräume . . . . . . . . . . C1 C.2 Ordnungseins-Räume . . . . . . . . . . . . C1

D Summierbare Familien D1

E Spektraltheorie E1 E.1 Spektrum und Resolvente eines Op. … E1 Rechenregeln: Spektralradius . . . . . . . E3 E.2 Spektrum bezgl. einer Unteralgebra …. E5 E.3 Charaktere und Spektrum . . . . . . . . . E6

F Mengenlehre F1 F.1 Zornsches Lemma . . . . . . . . . . . . . . F1 F.2 Mächtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . F1

S Symbolverzeichnis S1 1.1 Sesquilinearformen 1

1 Hilberträume

1.1 Sesquilinearformen

Bezeichnung. (Körper 𝕂) Im folgenden bezeichne 𝕂 wahlweise den Körper der reellen Zahlen ℝ oder der komplexen Zahlen ℂ. Der interessantere Fall ist zumeist 𝕂 = ℂ, aber wir wollen den reellen Fall nicht unnötig ausschließen. Wir verwenden die Bezeichnung 𝕂 in Aussagen, die in beiden Fällen gelten und schreiben die Formeln dann so, wie sie im Komplexen lauten.

Dabei tritt häufig zu einer komplexen Zahl λ die konjugiert komplexe Zahl \overline{λ} und der Realteil Re λ auf. Dies ist im Fall 𝕂 = ℝ so zu lesen, daß einfach λ = \overline{λ} = Re λ ist.

Dagegen beziehen sich Formeln, in denen die imaginäre Einheit i und der Imaginärteil Im λ vorkommen, immer auf den komplexen Fall 𝕂 = ℂ.

1.1.1 Bez. (konjugiert lineare Funktionale) Ein Funktionalφ : V → 𝕂 auf einem 𝕂-Vektorraum V heißt konjugiert linear, wenn

φ(λx + y) = \overline{λ}φ(x) + φ(y) für λ ∈ 𝕂, x, y ∈ V

gilt. Das Funktional \overline{φ} : x ↦ \overline{φ(x)} ist dann linear.

Im komplexen Fall müssen wir lineare und konjugiert lineare Funktionale unterscheiden, denn hier gilt

φ = \overline{φ} ⇔ φ = 0.

Im Fall 𝕂 = ℝ gibt es die Unterscheidung zwischen linearen und konjugiert linearen Funktionalenl eigentlich nicht, da hier φ = \overline{φ} ist. Sie entsteht nur dadurch, daß wir i.allg. die Aussagen für den reellen und komplexen Fall in einem Satz zusammenfassen.

Bezeichnung. (Funktionale und Formen) 1. Eine Abbildung φ von einem 𝕂-Vektorraum V in den Körper 𝕂 nennt man gern ein Funktional. Man könnte φ genauso gut eine Funktion nennen, aber in den Anwendungen ist V häufig ein Vektorraum von Funktionen, z. Bsp. V = C([01], 𝕂). Dann ist die Bezeichnung Funktional hilfreich, um φ sprachlich von den Funktionen f ∈ V zu unterscheiden.

2. Funktionale auf einem Vektorraum, die besondere algebraischen Bedingungen erfüllen heißen häufig Formen. Gebräuchlich sind die Bezeichnungen Linearform = lineares Funktional, Bilinearform, Sesquilinearform, quadratische Form, Multilinearform.

1.1.2 Def. (Sesquilinearform) Es seien V, W 𝕂-Vektorräume.

(i) Eine Sesquilinearformist ein Funktional b : V × W → 𝕂, das linear in der ersten Variablen und konjugiert linear in der zweiten Variablen ist:

b(λx + y, z) = λb(x, z) + b(y, z)
b(z, λx + y) = \overline{λ}b(z, x) + b(z, y).

Im Fall 𝕂 = ℝ heißt b eine Bilinearform.

(ii) Zu einer Sesquilinearform b definiert man die adjungierte Sesquilinearform b^{∗} durch

b^{∗}(x, y) := \overline{b(y, x)}.

(iii) Im Falle V = W heißt eine Bilinearform b hermitesch oder auch selbstadjungiert, wenn b = b^{∗} ist. D. h., es gilt

b(x, y) = \overline{b(y, x)}.

Im Fall 𝕂 = ℝ sagt man hierfür symmetrische Bilinearform.

1.1.1 Polarisationsformel

Anmerkung. (quadratische Form) Wir betrachten im folgenden immer Sesquilinearformen b : V × V → 𝕂 auf einem Vektorraum V.

1. Für eine eine Sesquilinearform b nennt man das Funktional

V ∋ x ↦ b(x, x)

die zugehörige quadratische Form. Zur Abkürzung schreiben wir b(x) := b(x, x).

2. Für die quadratische Form gilt die Parallelogrammidentität. Für ein Parallelogramm in der Ebene mit den Kantenvektoren x und y sind x + y und x − y die Diagonalvektoren. Die Parallelogrammidentität besagt, daß die Summe der Quadrate der Diagonalen gleich der Summe der Quadrate der vier Seiten des Parallelogramms ist.

Anmerkung. (Re und Im von Sesquilinearformen) 1. Einen komplexen Vektorraum V kann man auch als reellen Vektorraum V_{ℝ} betrachten. Für eine Sesquilinearform b auf V sind Re b und Im b Bilinearformen auf V_{ℝ}. Es gilt:

b hermitesch ⇔ Re b symmetrisch und Im b schiefsymm.

2. Entsprechend der bekannten Formel für (a + b)^{2} gelten für eine hermitesche Sesquilinearform b die Formeln

b(x ± y) = b(x) ± 2 Re b(x, y) + b(y)
b(x ± iy) = b(x) ± 2 Im b(x, y) + b(y)

1.1.3 Festst. (Parallelogrammidentität) Für eine Sesquilinearform b auf einem 𝕂-Vektorraum V gilt:

b(x + y) + b(x − y) = 2b(x) + 2b(y) für x, y ∈ V.

Anmerkung. (Polarisationsformeln) 1. Im Fall 𝕂 = ℂ kann man eine Sesquilinearform durch die Polarisationsformel 1.1.4(i) aus ihrer quadratischen Form zurückgewinnen.

2. Im Fall 𝕂 = ℝ gibt es nur für symmetrische Bilinearformen eine eindeutige Beziehung 1.1.4(ii) zwischen der Bilinearform und iher quadratischen Form. Der Grund hierfür ist, daß es im Reellen auch schiefsymmetrische Bilinearformen b ≠ 0. Für diese gilt

b(x, y) = −b(y, x).

Jede Bilinearform kann man auf eindeutige Weise als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Bilinearform schreiben:

b(x, y) = \frac{1}{2} (b(x, y) + b(y, x)) + \frac{1}{2} (b(x, y) − b(y, x))

Der erste Summand ist der symmetrische und der zweite Summand ist der schiefsymmetrische Anteil. Aus 1.1.4(ii) folgt, daß eine Bilinearformen genau dann schiefsymmetrisch ist, wenn ihre quadratische Form verschwindet.

1.1.4 Festst. (Polarisationsformel) (i) Für eine Sesquilinearform b auf einem komplexen Vektorraum gilt:

b(x, y) = \frac{1}{4} ∑_{ν=0}^{3} i^{ν}b(x + i^{ν}y).

(ii) Für eine hermitesche Sesquilinearform gilt

Re b(x, y) = \frac{1}{4}(b(x + y) − b(x − y)).

Beweis. (i) Im Fall 𝕂 = ℂ ist die Polarisationsformel 1.1.4(i) der Spezialfall n = 4 der folgenden Polarisationsformeln 1.1.5(i).

(ii) b(x + y) − b(x − y) = (b(x) + 2 Re b(x, y) + b(y)) − (b(x) − 2 Re b(x, y) + b(y)) = 4 Re b(x, y).

1.1.5 Bem. (komplexe Polarisationsformeln) (i) Für eine Sesquilinearform b auf einem komplexen Vektorraum und n = 3, 4, ... gilt:

b(x, y) = \frac{1}{n} ∑_{ν=0}^{n−1} ζ_{n}^{ν}b(x + ζ_{n}^{ν}y).

wobi ζ_{n} = e^{i \frac{2π}{n}} die n-te Einheitswurzel ist.

(ii)

b(x, y) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{iθ}b(x + e^{iθ}y) dθ

= \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ|=1} b(x + ζy) dζ.

Beweis. (i) Da für die n-te Einheitswurzeln

∑_{ν=0}^{n−1} ζ_{n}^{kν} = \frac{ζ_{n}^{kn} − 1}{ζ_{n}^{k} − 1} = 0 für k ∈ ℕ

ist, folgt

\frac{1}{n} ∑_{ν=0}^{n−1} ζ_{n}^{ν}b(x + ζ_{n}^{ν}y)

\begin{matrix}= \frac{1}{n} ∑_{ν=0}^{n−1} (ζ_{n}^{ν}b(x) + b(x, y) + ζ_{n}^{2ν}b(y, x) + ζ_{n}^{ν}b(y)) \\ = b(x, y). \end{matrix}

(ii) Analog folgt die Integralform der Polarisationsformel.

1.1.6 Folg. (Charakterisierung: hermitesch) Auf einem ℂ-Vektorraum V gilt: Eine Sesquilinearform ist genau dann hermitesch, wenn ihre quadratische Form reelwertig ist.

b hermitesch ⇔ b(x) ∈ ℝ für alle x ∈ V

1.1.2 Schwarzsche Ungleichung

1.1.7 Def. (semidefinit, inneres Produkt) (i) Eine hermitesche^{1} Sesquilinearform b heißt positiv semidefinit, wenn

b(x, x) ≥ 0 für alle x ∈ V.

bzw. positiv definit, wenn

b(x, x) > 0 für alle 0 ≠ x ∈ V.

(ii) Ein inneres Produkt ist eine positiv definite Sesquilinearform.

Anderere Bezeichnungen für inneres Produkt sind Skalarprodukt oder Innenprodukt. Ein Vektorraum mit einem festgelegten inneren Produkt heißt ein Innenproduktraum oder ein Prähilbertraum. Innere Produkte werden vorzugsweise mit ⟨x, y⟩ bezeichnet.

Anmerkung. (zur Def. von semidefiniten Formen) 1.

Im Fall 𝕂 = ℂ kann man auf die Forderung, daß positiv semidefinite Sesquilinearformen hermitesch sind, verzichten (siehe Korollar 1.1.6) Es gilt also

b pos. semidefinit ⇔ b(x, x) ≥ 0 für alle x ∈ V.

2. Im Fall 𝕂 = ℝ ist die Forderung, daß positiv semidefinite Bilinearformen symmetrisch sind, unverzichtbar (da es auch schiefsymmetrische Formen gibt).

1.1.8 Lemma Für 0 ≤ a, b gilt

inf_{0<t}(t^{2}a^{2} + \frac{1}{t^{2}} b^{2}) = 2ab.

Für 0 < a, b wird das Minmum bei t_{min} := \sqrt{\frac{b}{a}} angenommen, anderenfalls ist das Infimum der Grenzwert in ∞ bzw. 0.

1.1.9 Festst. (Schwarzsche Ungleichung) Es sei b : V × V → 𝕂 eine positiv semidefinite Sesquilinearform auf einem 𝕂-Vektorraum V.

(i) Es gilt die Schwarzsche Ungleichung

|b(x, y)| ≤ \sqrt{b(x, x)}\sqrt{b(y, y)} für x, y ∈ V.

(ii) Das Funktional p(x) := \sqrt{b(x, x)} ist eine Halbnorm (siehe Definition B.1.1) auf V. Die Dreiecksungleichung für p nennt man auch die Minkowskische Ungleichung:

\sqrt{b(x + y)} ≤ \sqrt{b(x)} + \sqrt{b(y)} für x, y ∈ V.

Beweis. (i) Für 0 < t und x, y ∈ V gilt

0 ≤ b(tx − \frac{1}{t}y)

= t^{2}b(x) − 2 Re b(x, y) + \frac{1}{t^{2}} b(y).

Nach Lemma 1.1.8 ist also

Re b(x, y) ≤ \sqrt{b(x, x)}\sqrt{b(y, y)}.

Ersetzt man in dieser Ungleichung y durch sgn(b(x, y)y, so folgt die Behauptung^{2}.

(ii) Offensichtlich gilt p(λx) = |λx| für λ ∈ 𝕂. Aus der Schwarzschen Ungleichung (i) folgt die Dreiecksungleichung:

p(x + y)^{2} = b(x) + 2 Re b(x, y) + b(y) ≤ (p(x) + p(y))^{2}.

Anmerkung. 1. Wir haben in dem obigen Beweis die Minkowskische Ungleichung aus der Schwarzschen Ungleichung gefolgert. Durch Quadrieren folgt aus der Minkowskischen Ungleichung wieder die Schwarzsche Ungleichung.

2. Bei der Konstruktion von Hilberträumen benutzt man meist die Richtung, daß man zunächst die Minkowskische Ungleichung zeigt. Man vgl. dazu die Konstruktion 1.2.9 des Hilbertraumes ℓ_{2}, die die typische Vorgehensweise zeigt.

1.1.10 Folg. (Norm, Gleicheit in Schwarz. Ungl.) (i) Für ein inneres Produkt ⟨·, ·⟩ auf V ist

V ∋ x ↦ ∥x∥ := \sqrt{⟨x, x⟩}

eine Norm auf V.

1Man beachte hierzu die folgende Anmerkung

2Das Signum definiert man als sgn λ := \{ \begin{matrix}λ/|λ| & für λ ≠ 0, \\ 0 & für λ = 0. \end{matrix} Gerd Wittstock, UdS, FR 6.1 Mathematik,  Lineare Operatoren auf dem Hilbertraum, WS 02/03  Version: 7. Februar 2003

(ii) In der Schwarzschen Ungleichung

|⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥ für x, y ∈ V

gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn x und y linear abhängig sind.

Beweis. (i) Siehe Minkowskische Ungleichung 1.1.9 (ii).

(ii) Ohne Einschränkung seien x, y ≠ 0. In dem Beweis der Schwarzschen Ungleichung 1.1.9 gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn für t_{min} := \sqrt{\frac{∥y∥}{∥x∥}} (vgl. Lemma 1.1.8)

0 = ∥t_{min}x − \frac{1}{t_{min}} sgn(⟨x, y⟩) · y∥^{2}

ist.

1.1.11 Bem. (Nullraum pos. semidef. Sesquilin.) Es sei b : V ×V → 𝕂 eine positiv semidefinte Sesquilinearform auf dem 𝕂-Vektorraum V und p : X ↦ \sqrt{b(x, x)} die zugehörige Halbnorm.

(i) Der Kern von p:

Kern(p) := {x ∈ V | b(x, x) = 0}

ist ein linearer Teilraum von V.

(ii) Wir bezeichnen die Nebenklassen von Kern(p) mit

[x] := x + Kern(p). Auf dem Quotientenraum X := V/ Kern(p) erhält man ein inneres Produkt durch die Vorschrift

⟨[x], [y]⟩ := b(x, y) für x, y ∈ V.

Beweis. Nach Feststellung 1.1.9(ii) gilt für p : x ↦ \sqrt{b(x, x)} die Minkowskische Ungleichung. Somit ist

Kern(p) = {x ∈ V | p(x) = 0}

ein linearer Teilraum von V. Aus der Schwarzschen Ungleichung folgt für x_{1} ∈ [x], y_{1} ∈ [y]:

|b(x, y) − b(x_{1}, y_{1})| = |b(x − x_{1}, y) + b(x, y − y_{1}) − b(x − x_{1}, y − y_{1})| ≤ p(x − x_{1})p(y) + p(x)p(y − y_{1}) + p(x − x_{1})p(y − y_{1}) = 0.

Folglich ist ⟨[x], [y]⟩ := b(x, y) wohldefiniert. Das Funktional ⟨·, ·⟩ ist offensichtlich sesquilinear, hermitesch und positiv definit.

1.2 Geometrie des Hilbertraumes

Anmerkung. Vektorräume mit einem ausgezeichneten inneren Produkt heißen Prähilberträume. Die Prähilberträume bilden eine Vorstufe zu den Hilberträumen.

Man untersucht z. B., wie sich andere Sesquilinearformen im Bezug auf das innere Produkt verhalten. Um die Formeln augenfälliger zu gestalten, bezeichnet man das fest gewählte innere Produkt mit ⟨x, y⟩ Das Funktional ∥x∥ := \sqrt{⟨x, x⟩} heißt die Norm des Prähilbertraumes.

Andere gängige Bezeichnungen für das innere Produkt sind (x | y) und ⟨x | y⟩.

In der Physik und der mathematischen Physik ist eine geringfügig abweichende Konvention üblich: das innere Produkt ist dort konjugiert linear in der ersten Variablen und linear in der zweiten Variablen.

Wir werden für Prähilberträume die Buchstaben X, Y reservieren und Hilberträume mit H und K bezeichnen.

1.2.1 Def. (Prähilbertraum) Es sei X ein 𝕂-Vektorraum und ⟨·, ·⟩ : X × X → 𝕂 ein inneres Produkt auf X.

(i) Das Paar (X , ⟨·, ·⟩) oder kurz X heißt ein Prähilbertraum.

1.2.2 Bem. (Norm eines Prähilbertraumes) Es sei X ein Prähilbertraum.

(i) X ist ein normierter Raum (vg. Anhang, Abschnitt B) mit der Skalarproduktnorm(vgl. Korollar 1.1.10)

X ∋ x ↦ ∥x∥ := \sqrt{⟨x, x⟩}.

(ii) Für x, y ∈ X gilt die die Schwarzsche Ungleichung

⟨x, y⟩ ≤ ∥x∥∥y∥ für x, y ∈ X.

und die Minkowskische Ungleichung

\sqrt{⟨x + y, x + y⟩} ≤ \sqrt{⟨x, x⟩} + \sqrt{⟨y, y⟩}

1.2.3 Bem. (Stetigkeit des inneren Produktes) Das innere Produkt eines Prähilbertraumes ist stetig. Es ist auf jeder beschränkten Teilmenge Lipschitz-stetig

Beweis.

|⟨x_{1}, y_{1}⟩ − ⟨x_{2}, y_{2}⟩| = |⟨x_{1}−x_{2}, y_{1}⟩ + ⟨x_{1}, y_{1}−y_{2}⟩ − ⟨x_{1}−x_{2}, y_{1}−y_{2}⟩| ≤ |⟨x_{1}−x_{2}, y_{1}⟩| + |⟨x_{1}, y_{1}−y_{2}⟩| − |⟨x_{1}−x_{2}, y_{1}−y_{2}⟩| ≤ ∥x_{1} − x_{2}∥ ∥y_{1}∥ + ∥x_{1}∥ ∥y_{1} − y_{2}∥

+ ∥x_{1} − x_{2}∥ ∥y_{1} − y_{2}∥.

Wenn ∥x∥, ∥y∥ ≤ r < ∞ sind, so folgt

|⟨x_{1}, y_{1}⟩−⟨x_{2}, y_{2}⟩| ≤ (\sqrt{2}r+ \frac{1}{2})\sqrt{∥x_{1}−x_{2}∥^{2} + ∥y_{1}−y_{2}∥^{2}}

1.2.4 Bsp. (Inneres Prod. auf C([a, b], 𝕂)) Der Raum (C([a, b], 𝕂) der stetigen Funktionen auf dem Intervall [a, b] ist ein Prähilbertraum mit dem Skalarprodukt

⟨f, g⟩ := ∫_{a} b1f(t)\overline{g(t)} dt.

Wenn für eine stetige Funktion f das innere Produkt ⟨f, f⟩ = ∫_{a}^{b} |f(t)|^{2} dt = 0, so ist f ≡ 0 (siehe Analysis II)

Zu dem dem inneren Produkt auf C([a, b], 𝕂) gehört die sogenannte L^{2}-Norm

∥f∥_{2} := ( ∫_{a}^{b} |f(t)|^{2} dt)^{\frac{1}{2}} .

Anmerkung. Man kann die L^{2}-Norm durch die sup-Norm nach oben abschätzen:

∥f∥_{2} ≤ \sqrt{b − a}∥f∥_{sup}.

Bekanntlich ist C([a, b], 𝕂) mit der Supremumsnorm ∥ · ∥_{sup} ein Banachraum. Dagegen ist C([a, b1], 𝕂) mit der L^{2}-Norm nicht vollständig, wie das Bsp 1.2.5 zeigt.

Wir werden den Prähilbertraum (C([a, b], 𝕂), ∥ · ∥_{2}) zu einem Banachraum zu L^{2}([a, b], 𝕂) vervollständigen. L^{2} ist dann ein Prähilbertaum, der in der zugehörigen Norm vollständig ist. Solche Räume heißen Hilberträume. L^{2} ist eines der wichtigsten Beispiele eines Hilbertraumes.

Um die Eigenschaften des Raumes L^{2} völlig zu verstehen, braucht man einerseits die folgenden Resultate über abstrakte Hilberträume und zusätzlich die Lebesguesche Integrationstheorie. Man kann die Elemente x, y von L^{2}([a, b]) durch quadratisch Lebesgue-integrierbare Funktionen f, g so darstellen, so daß

∥x∥_{2} = ∫_{[a,b]} |f(t)|^{2} dt und ⟨x, y⟩ = ∫_{[a,b]} f(t)\overline{(g(t)} dt.

1.2.5 Bsp. (∥ · ∥_{2}-Cauchyfolge ohne Grenzwert) Wir geben ein Beispiel einer Folge in C([a, b]), die eine Cauchy-Folge in der ∥ · ∥_{2}-Norm ist, aber keinen Grenzwert in C([a, b]) hat.

Zu Vereinfachung nehmen wir für [a, b] das Intervall [0, 2] und betrachten die Folge (f_{n})_{n} ∈ C([0, 2]) mit

f_{n}(t) := \{ \begin{matrix}t^{n} & für 0 ≤ t < 1, \\ 1 & für 1 ≤ t ≤ 2. \end{matrix}

Wie man leicht sieht, gilt lim_{m,n→∞} ∥f_{m} − f_{n}∥_{2} = 0.

Die f_{n} konvergieren punktweise gegen die charakteristische Funktion 1_{[1,2]}, die sicher nicht stetig ist. Wir können dies aber nicht direkt ausnutzen, da wir aus der Konvergenz in der ∥ · ∥_{2}- Norm nicht auf die punktweise Konvergenz schließen können. Wir untersuchen stattdessen die Stammfunktionen. Annahme: Es gibt ein g ∈ C([1, 2]), so daß lim_{n→∞} ∥f_{n} − g∥_{2} = 0 ist. Betrachten wir die Stammfunktionen F_{n} mit F_{n}(0) = 0 und G mit G(0) = 0 von f_{n} bzw. g. Aus der Schwarzschen Ungleichung folgt:

|F_{n}(t) − G(t)| ≤ ∫_{0}^{t} |f_{n}(τ) − g(τ)| dτ ≤ \sqrt{2}∥f_{n} − g∥_{2}.

Also ist

G(t) = lim_{n→∞} F_{n}(t) = \{ \begin{matrix}0 & für 0 ≤ t < 1, \\ t − 1 & für 1 ≤ t ≤ 1. \end{matrix}

Da diese Funktion G im Punkt t = 1 nicht differenzierbar ist, kann g im Widerspruch zur Annahme nicht stetig sein.

1.2.6 Def. (Hilbertraum) Ein Hilbertraum H ist ein Prähilbertraum, der in der Norm ∥x∥ := \sqrt{⟨x, x⟩} vollständig ist.

1.2.7 Bsp. (l_{2}^{n}, euklidische und unitäre Räume) (i) der 𝕂^{n} mit dem Standardskalarprodukt

⟨x, y⟩ := ∑_{ν=1}^{n} ξ_{ν} \overline{η_{ν}} für x = (ξ_{ν}), y = (η_{ν}) ∈ 𝕂^{n}.

wird mit l_{2}^{n}(𝕂) bezeichnet. Mit l_{2}^{n} meinen wir im folgenden immer den komplexen Raum l_{2}^{n}(ℂ).

Die zugehörige Norm bezeichnen wir mit

∥x∥_{2} := ( ∑_{ν=1}^{n} |ξ_{ν}|^{2})^{\frac{1}{2}}

In der Analysis II wurde gezeigt, daß der 𝕂^{n} ist in der Norm ∥·∥_{2} vollständig ist. l_{2}^{n}(𝕂) ist also ein Hilbertraum.

(ii) Ein euklidischer Raum ist ein endlichdimensionaler reeller Prähilbertraum. Ein unitärer Raum ist ein endlichdimensionaler komplexer Prähilbertraum.

In der lin. Alg. wurde gezeigt, daß jeder ndimensionale euklidische bzw. unitäre Raum X eine Orthonormalbasis (b_{1}, ⋯, b_{n}) hat (siehe Satz 1.5.7)). Mit der Koordinatenabbildung

X ∋ x = ∑_{ν=1}^{n} ξ_{ν}b_{ν} ↦ (ξ_{ν})_{ν=1}^{n} ∈ 𝕂^{n}

erhält man eine Isomorphismus von X mit 𝕂^{n}, bei der dem Skalarprodukt von X das Standardskalarprodukt auf dem 𝕂^{n} entspricht:

⟨x, y⟩ = ∑_{ν=1}^{n} ξ_{ν} \overline{η_{ν}} für x = ∑_{ν=1}^{n} ξ_{ν}b_{ν}, y = ∑_{ν=1}^{n} η_{ν}b_{ν}.

Die Koordinatenabbildung ist also eine Isometrie von X auf den l_{2}^{n}. Da der l_{2}^{n} vollständig ist, erhalten wir den folgenden Satz.

1.2.8 Satz (endlichdimen. Prähilberträume) Endlichdimensionale Prähilberträume sind Hilberträume.

1.2.9 Satz (Hilbertraum l_{2}) (i) In Analogie zum l_{2}^{n} bildet man den linearen Unterraum

l^{2}(ℕ, 𝕂) := {x = (ξ_{ν})_{ν=1}^{∞} | ∑_{ν=1}^{∞} |ξ_{ν}|^{2} < ∞}

des 𝕂-Vektorraumes 𝕂^{ℕ} aller Folgen. Für den komplexen Fall schreiben wir kurz l^{2} := l^{2}(ℕ, ℂ).

(ii) l^{2}(ℕ, 𝕂) ist ein Hilbertraum mit dem inneren Produkt

⟨x, y⟩ := ∑_{ν=1}^{∞} ξ_{ν} \overline{η}_{ν}  (∗)

und der Norm

∥x∥ := ( ∑_{ν=1}^{∞} |ξ_{ν}|^{2})^{\frac{1}{2}} .

Die Reihe (∗), mit der man das innere Produkt definiert, ist absolut konvergent:

∑_{ν=1}^{∞} |ξ_{ν} \overline{η}_{ν}| ≤ ∥x∥∥y∥ für x, y ∈ l_{2}(ℕ, 𝕂).

Beweis. Der Beweis beruht darauf, daß für x = (ξ_{ν})_{ν}, y = (η_{ν})_{ν} ∈ l_{2} die n-Tupel (ξ_{ν})_{ν=1}^{n}, (η_{ν})_{ν=1}^{n} ∈ l_{2}^{n} sind und für ihre Norm in l_{2}^{n} die folgende Abschätzung gilt:

∥(ξ_{ν})_{ν=1}^{n}∥ = ( ∑_{ν=1}^{n} |ξ_{ν}|^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ ( ∑_{ν=1}^{∞} |ξ_{ν}|^{2})^{\frac{1}{2}} = ∥x∥.

Wir zeigen zunächst, daß für die Elemente von l_{2} die Minkowskische Ungleichung gilt. In dieser Ungleichung kommen nur Reihen mit nichtnegativen Summanden vor.

(1) Es seien x und y ∈ l^{2} und λ ∈ 𝕂. Dann ist λx ∈ l_{2} und ∥λx∥ = |λ|∥x∥. Da l_{2}^{n} ein normierter Raum ist folgt

( ∑_{ν=1}^{n} |ξ_{ν} + η_{ν}|^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ ( ∑_{ν=1}^{n} |ξ_{ν}|^{2})^{\frac{1}{2}} + ( ∑_{ν=1}^{n} |η_{ν}|^{2})^{\frac{1}{2}}

≤ ∥x∥ + ∥y∥ < ∞.

Da diese Abschätzung für alle n ∈ ℕ gilt, folgt nun die Minkowskische Ungleichung

( ∑_{ν=1}^{∞} |ξ_{ν} + η_{ν}|^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ ∥x∥ + ∥y∥ < ∞.

Also ist x + y ∈ l_{2} und ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥. Der Raum l_{2} ist ein 𝕂-Untervektorraum von 𝕂^{ℕ} und ∥ · ∥ ist eine Norm auf l_{2}.

(2) Wir zeigen nun die Vollständigkeit von l_{2}. Es sei (x_{k})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge in l_{2}, wobei x_{k} = (ξ_{k,ν})_{ν}. Aus der Abschätzng

|ξ_{k,ν} − ξ_{l,ν}| ≤ ∥x_{k} − x_{l}∥

folgt, daß die Koordinaten der x_{k} eine Cauchyfolge (ξ_{k,ν})_{k} in 𝕂 bilden. Es sei ξ_{ν} = lim_{k→∞} ξ_{k,ν} und x := (ξ_{ν})_{ν} ∈ 𝕂^{ℕ}.

Zu zeigen ist, daß x ∈ l_{2} und lim_{k→∞} ∥x_{k} − x∥ = 0 ist.

Da die Normen einer Cauchy-Folge in l_{2} eine Cauchyfolge in ℝ bilden (vgl. Satz B.1.3 (ii)) existiert für y ∈ l_{2} der Grenzwert lim_{k→∞} ∥x_{k} − y∥ und c := sup_{k∈ℕ} ∥x_{k}∥ < ∞.

In l_{2}^{n} gilt

∑_{ν=1}^{n} |ξ_{ν} − ξ_{l,ν}|^{2} = lim_{k→∞} ∑_{ν=1}^{n} |ξ_{k,ν} − ξ_{l,ν}|^{2}

≤ lim_{k→∞} ∥x_{k} − x_{l}∥^{2} < 4c^{2}.

Da dies für alle n ∈ ℕ gilt, folgt

∑_{ν=1}^{∞} |ξ_{ν} − ξ_{l,ν}|^{2} ≤ lim_{k→∞} ∥x_{k} − x_{l}∥^{2} < 4c^{2}.

Also ist x − x_{l} = (ξ_{ν} − ξ_{l,ν})_{ν} ∈ l^{2} und folglich x = (x − x_{l}) + x_{l} ∈ l_{2}.

Da die (x_{k})_{k} eine Cauchyfolge sind, folgt aus der letzten Abschätzung

lim_{l→∞} ∥x_{l} − x∥^{2} ≤ lim_{l→∞} lim_{k→∞} ∥x_{l} − x_{k}∥^{2} = 0.

(3) Aus der Schwarzschen Ungleichung für den l_{2}^{n}

∑_{ν=1}^{n} |ξ_{ν} \overline{η}_{ν}| ≤ ( ∑_{ν=1}^{n} |ξ_{ν}|^{2})^{\frac{1}{2}} ( ∑_{ν=1}^{n} |η_{ν}|^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ ∥x∥∥y∥.

folgt, daß die Reihe ∑_{ν=1}^{∞} ξ_{ν} \overline{η}_{ν} absolut konvergent ist.

Aus den Rechenregeln für Reihen folgt nun, daß diese Reihe ein inneres Produkt auf dem l_{2} definiert und ∥x∥ = (⟨x, x⟩)^{\frac{1}{2}} die zugehörige Norm ist.

1.2.1 Orthogonalkomplement

1.2.10 Bem. (Parallelogrammidentität) Für die Norm eines Prähilbertraumes gilt die Parallelogrammidentität (vgl. Feststellung 1.1.3)

∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2∥x∥^{2} + 2∥y∥^{2}.

Anmerkung. 1. Umgekehrt kann man folgendes zeigen: Wenn eine Norm auf einem 𝕂-Vektorraum die Parallelogrammidentität erfüllt, dann erhält man durch die Polarisationsformel 1.1.4 (i) im Fall 𝕂 = ℂ bzw. 1.1.4 (ii) im Fall 𝕂 = ℝ ein inneres Produkt auf V, das die diese Norm erzeugt.

2. Man benutzt die Parallelogrammidentität in der Gestalt

∥x − y∥^{2} = 2∥x∥^{2} + 2∥y∥^{2} − 4∥ \frac{x + y}{2} ∥^{2},

um den Abstand von x zu y durch die Normen von x, y und dem Mittlpunkt \frac{x+y}{2} auszudrücken. Man kann auch die Abstände zu einem weiteren bel. Punkt z benutzen:

∥x − y∥^{2} = 2∥x − z∥^{2} + 2∥y − z∥^{2} − 4∥ \frac{x + y}{2} − z∥^{2}.

1.2.11 Def. (konvexe Menge) Eine Teilmenge C eines 𝕂-Vektorraumes V heißt konvex, wenn wenn mit je zwei Punkten x, y ∈ C die Verbindungsstrecke in C liegt. D.h.

x, y ∈ C, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ tx + (1 − t)y ∈ C.

1.2.12 Festst. (Punkt kürzesten Abstandes) (i) Es sei C eine vollständige konvexe Teilmenge des Prähilbertraumes X. Dann gibt es zu jedem x ∈ X genau ein y ∈ C, daß unter allen Punkten in C den kürzesten Abstand zu x hat. D.h.

∥x − y∥ = min_{z∈C} ∥x − z∥ := dist(x, C).

(ii) Jede minimierende Folge (y_{n}) in C, d.h. es gilt

lim_{n→∞} ∥y_{n} − x∥ = dist(x, C),

ist eine Cauchy-Folge.

Beweis. Es sei ρ := dist(C, x) = inf_{z∈c} ∥z − x∥. Man wähle eine minimierende Folge (y_{n})_{n} in C mit lim_{n→∞} ∥y_{n} − x∥ = ρ.

Aus der Parallelogrammidentität

∥y_{m} − y_{n}∥^{2} = 2∥y_{m} − x∥^{2} + 2∥y_{n} − x∥^{2} − 4∥\frac{y_{m}+y_{n}}{2} − x∥^{2}

und \frac{y_{m}+y_{n}}{2} ∈ C, folgt

∥y_{m} − y_{n}∥ ≤ 2∥y_{m} − x∥^{2} + 2∥y_{n} − x∥^{2} − 4ρ^{2} → 0

für m, n → ∞.

Die (y_{n})_{n} sind eine Cauchyfolge. Da C vollständig ist, konvergieren die y_{n} gegen ein y ∈ C. Nun folgt:

∥y − x∥ = lim_{n→∞} ∥y_{n} − x∥ = ρ.

Wenn y_{1} und y_{2} Punkte in C mit küzesten Abstand zu x sind, so folgt offensichtlich y_{1} = y_{2}.

Anmerkung. 1. Im Beweis brauch man nur die Mittelpunktskonvexität

x, y ∈ C ⇒ \frac{x + y}{2} ∈ C.

Eine abgeschlossene mittelpunktskonvexe Menge ist aber konvex.

2. In der Geometrie fällt man von einem Punkt P das Lot auf eine Gerade oder eine Ebene. Der Fußpunkt des Lotes ist der Punkt auf der Geraden oder der Ebene mit kürzestem Abstand zu P. Enstsprechendes gilt in Prähilberträumen.

1.2.13 Lemma (Lot auf Unterraum) Es sei X ein Prähilbertraum und Y ⊂ X ein linearer Teilraum. Für x ∈ X, y ∈ Y sind die folgenden Aussagen äquivalent

∥x − y∥ = dist(x, Y) ⇔ x − y ⊥ Y.

Beweis. “⇒“ Für 0 < t und z ∈ Y folgt aus

∥x − y∥^{2} ≤ ∥x − (y − tz)∥^{2}

= ∥x − y∥^{2} − 2 Re t⟨x − y, z⟩ + t^{2}∥z∥^{2},

daß 2 Re⟨x − y, z⟩ ≤ t∥z∥^{2}. Da 0 < t und z ∈ Y beliebig sind, folgt ⟨x − y, z⟩ = 0. Also istx − y ⊥ Y.

“⇐“ Für alle z ∈ Y gilt

∥x − z∥^{2} = ∥(x − y) + (y − z)∥^{2}

= ∥x − y∥^{2} + ∥y − z∥^{2} ≥ ∥x − y∥^{2}.

Anmerkung. Es sei V ein Vektorraum und U_{1}, ⋯, U_{n} ⊂ V Unterräume. V heißt die direkte Summe von U_{1}, …, U_{n}, in Zeichen

V = U_{1} ⊕ ⋯ ⊕ U_{n} = ⨁_{ν=1}^{n} U_{ν},

wenn sich jedes x ∈ V auf eindeutige Weise in der Form

x = y_{1} + ⋯ y_{n} mit y_{ν} ∈ U_{ν}, ν = 1, …, n,

schreiben läßt.

Für n = 2 gilt

V = U_{1} ⊕ U_{2} ⇔ V = U_{1} + U_{2} und U_{1} ∩ U_{2} = {0}.

Man nennt dann U_{2} einen Komplementärraum oder direkten Summanden zu U_{1}.

1.2.14 Bez. (senkrechter Raum) Es sei X ein Prähilbertraum und M ⊂ X.

M^{⊥} := {y ∈ X | ⟨x, y⟩ = 0 für alle x ∈ M}

heißt der senkrechte Raum zu M.

Es sei M^{⊥⊥} := (M^{⊥})^{⊥}.

1.2.15 Bem. (Regeln für M^{⊥}) (i) M^{⊥} ist ein abgeschlossener linearer Teilraum von X.

(ii) Für den Abschluß M^{−} von M gilt (M^{−})^{⊥} = M^{⊥}. (iii) Die lineare Hülle lin M und die abgeschlossene li-

neare Hülle \overline{lin} M haben den gleichen senkrechten Raum wie M:

(lin M)^{⊥} = (\overline{lin} M)^{⊥} = M^{⊥}.

1.2.16 Bez. (orthogonale Summe) Es seien X ein Prähilbertraum und Y, Z Unterräume. (i) Y und Z heißen orthogonal,

Y ⊥ Z,

wenn y ⊥ z fur alle y ∈ Y und z ∈ Z ist.

(ii) Wenn Y ⊥ Z ist, dann ist der lineare Teilraum Y + Z ⊂ X die direkte Summe von Y und Z

Y ⊥ Z ⇒ Y + Z = Y ⊕ Z.

Man nennt diese Situation kurz eine orthogonale direkte Summe.

1.2.17 Festst. (Orthogonalzerlegung) Es sei K ein vollständiger linerarer Teilraum eines Prähilbertraumes X. Dann gilt

X = K ⊕ K^{⊥}.

Aus Satz 1.2.8 folgt speziell:

1.2.18 Folg. (Komplement endlichdim. Raum) Für einen endlichdimensionalen linearen Teilräume L eines Prähilbertraumes X gilt X = L ⊕ L^{⊥}.

Beweis. Da K vollständig ist, gibt es nach Feststellung 1.2.12 zu jedem x ∈ X genau einen Punkt y ∈ K mit kürzestem Abstand zu x. Nach Lemma 1.2.13 ist dann x−y das Lot von x auf K:

∥x − y∥ = dist(x, K) ⇔ z := x − y ∈ K^{⊥}

Also ist x = y + z mit y ∈ K und z ∈ K^{⊥}. Nach Bezeichnung 1.2.16 (ii) ist also X = K ⊕ K^{⊥}.

1.2.19 Satz (Zerlegungssatz im Hilbertraum) Es sei H ein Hilbertraum.

(i) Für jeden abgeschlossenen Unterraum K von H gilt

H = K ⊕ K^{⊥}.

(ii) Für einen abgeschlossenen Unterraum K ⊂ H gilt K^{⊥⊥} = K.

(iii) Für einen linearen Teilraum Y ⊂ H ist der Abschluß Y^{−} = Y^{⊥⊥}.

(iv) Für eine Teilmenge M von H gilt \overline{lin} M = M^{⊥⊥}.

(v) lin M ist genau dann dicht in H, wenn M^{⊥} = {0}.

Beweis. (i) folgt aus Feststellung 1.2.17.

(ii) Offensichtlich ist K ⊂ K^{⊥⊥}. Da

H = K ⊕ K^{⊥} und H = K^{⊥} ⊕ K^{⊥⊥}

ist, kann K kein echter Teilraum von K^{⊥⊥} sein.

(iii) Da der Abschluß Y^{−} nach Korollar B.1.4 ein linearer Teilraum ist und den gleichen senkrechten Raum wie Y hat (vgl. Bem. 1.2.15(i)), folgt

Y^{−} = (Y^{−})^{⊥⊥} = (Y^{⊥})^{⊥}.

(iv) Nach (iii) und Bem. 1.2.15(iii) ist \overline{lin} M = ((\overline{lin} M)^{⊥})^{⊥} = M^{⊥⊥}.

(v) folgt aus (iv).

Anmerkung. Der Zerlegungssatz besagt, daß es zu jedem abgeschlossenen Unterraum eines Hilbertraumes einen abgeschlossenen Komplementärraum gibt. Lindenstrauss und Tzafriri haben 1971 gezeigt, daß jeder Banachraum mit dieser Eigenschaft isomorph zu einem Hilbertraum ist.

1.3 Darstellungssatz für Linearformen

Aus der Schwarzschen Ungleichung folgt:

1.3.1 Bem. (Dual eines Prähilbertraumes) Es seien X ein Prähilbertraum und y ∈ X.

(i) Die Linearform

φ_{y} : x ↦ ⟨x, y⟩ für x ∈ X

ist beschränkt und es gilt ∥φ_{y}∥ = ∥y∥.

(ii) Die Abbildung X ∋ y ↦ φ_{y} ∈ X^{∗} ist konjugiert linear und isometrisch.

1.3.2 Satz (Darstellungssatz von Fréchet-Riesz) Es sei H ein Hilbertraum und φ ∈ H^{∗} eine beschränkte Linearform.

(i) Es gibt es genau ein y ∈ H so, daß

φ(x) = ⟨x, y⟩ für alle x ∈ H.

(ii) Es gilt ∥φ∥ = ∥y∥.

Beweis. (1. Beweis) (i) Ohne Einschränkung sei φ ≠

0. Nach dem Homomorphiesatz ist kodim Kern φ = 1. Da φ stetig ist, ist Kern φ abgeschlossen. Aus dem Zerlegungssatz 1.2.19 folgt

H = Kern φ ⊕ (Kern φ)^{⊥} und dim(Kern φ)^{⊥} = 1.

Es gibt also genau ein

y ∈ (Kern φ)^{⊥} mit φ(y) = ∥y∥^{2}.

Für H ∋ x = z + λy mit z ∈ Kern φ folgt nun

φ(x) = λφ(y) = λ⟨y, y⟩ = ⟨x, y⟩.

(ii) Aus der Schwarzschen Ungleichung folgt ∥φ∥ = ∥y∥.

Anmerkung. Einen anderen Beweis des Darstellungssatz erhält man aus den den folgenden beiden Bemerkungen:

1.3.3 Bem. (maximierender Vektor) (i) Es seien φ ∈ X^{∗} und y ∈ X. Aus

∥y∥ = ∥φ∥ und φ(y) = ∥φ∥^{2}

folgt φ(x) = ⟨x, y⟩ für alle x ∈ X.

(ii) Es seien φ ∈ X^{∗} und (y_{n})_{n} eine Folge in X mit

∥y_{n}∥ = ∥φ∥ und lim_{n→∞} Re φ(y_{n}) = ∥φ∥^{2}.

Dann ist (y_{n})_{n} eine Cauchy-Folge Beweis. (i) Für x ∈ X und 0 < t gilt

|φ(tx + \frac{1}{t}y)|^{2} ≤ ∥φ∥^{2}∥tx + \frac{1}{t}y∥^{2}

Aus φ(y) = ∥φ∥^{2} = ∥y∥^{2} folgt

t^{2}|φ(x)|^{2} + 2 Re φ(x)∥φ∥^{2}

≤ ∥φ∥^{2}(t^{2}∥x∥^{2} + 2 Re⟨x, y⟩)

Nun lasse man t → 0 gehen und erhält

Re(φ(x) − ⟨x, y⟩) ≤ 0 für alle x ∈ X.

Da x ∈ X beliebig ist, folgt φ(x) = ⟨x, y⟩.

(ii) Ohne Einschränkung sei φ ≠ 0. Aus der Parallelogrammidentität folgt

∥y_{n} − y_{m}∥ = 2∥y_{n}∥ + 2∥y_{m}∥ − ∥y_{n} + y_{m}∥^{2}

≤ 2∥y_{n}∥ + 2∥y_{m}∥ − \underbrace{\frac{| Re φ(y_{n} + y_{m})|^{2}}{∥φ∥^{2}}}_{→4∥φ∥^{2}}

Nach den Voraussetzungen an die y_{n} konvergiert die rechte Seite für m, n → ∞ gegen Null.

Beweis. (2. Beweis des Darstellungssatzes 1.3.2) Nach Definition von ∥φ∥ gibt es eine Folge (y_{n})_{n} mit

∥y_{n}∥ = ∥φ∥ und lim_{n→∞} Re φ(y_{n}) = ∥φ∥^{2}.

Nach Bemerkung 1.3.3(ii) ist (y_{n})_{n} eine Cauchy-Folge. Da H vollständig ist, gibt es den Grenzwert y = lim_{n→∞} y_{n} ∈ H. Aus

∥y∥ = ∥φ∥ und Re φ(y) = ∥φ∥^{2}.

folgt nach Bemerkung 1.3.3(i), daß

φ(x) = ⟨x, y⟩ für alle x ∈ X.

1.3.1 Identifizierung mit dem Dual

1.3.4 Folg. (Hilbertraum H^{∗}) (i) Die Abbildung H^{∗} ∋ φ ↦ y ∈ H, die jeder beschränkten Linearform φ ihren darstellenden Vektor y zuordnet, ist eine konjugiert lineare Isometrie von H^{∗} auf H.

(ii) Man erhält ein inneres Produkt auf H^{∗} durch die Vorschrift:

⟨φ, ψ⟩ := \overline{⟨y, z⟩} = φ(z) = \overline{ψ(y)} wenn φ ↦ y und ψ ↦ z.

1.3.5 Bez. (Bidual) Zu dem Hilbertraum H^{∗} bilde man den Dual H^{∗∗} := (H^{∗})^{∗}. Der Raum H^{∗∗} heißt der Bidual von H.

Anmerkung. Für einen normierten Raum E und x ∈ E ergibt die Auswertung im Punkte x

u_{x} : ψ ↦ ψ(x) für ψ ∈ E^{∗}

eine lineare kontraktive Abbildung E ∋ x ↦ u_{x} ∈ E^{∗∗}. Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach zeigt man, daß diese Abbildung eine Isometrie ist. Man identifiziert nun den Vektor x mit der Auswertung u_{x} und faßt so E ⊂ E^{∗∗} auf.

Ein Banachraum heißt reflexif, wenn E = E^{∗∗} ist.

1.3.6 Festst. (Hilbertraum reflexiv) Jedes x ∈ H erzeugt eine beschränkte Linearform auf H^{∗} durch die Vorschrift:

H^{∗} ∋ ψ ↦ ψ(x).

Die so definierte Abbildung von H in seinen Bidual ist eine lineare, isometrische Bijektion.

Man identifiziert üblicherweise

H = H^{∗∗}.

Beweis. Zu x, y ∈ H bilden wir

u_{x} : ψ ↦ ψ(x) für ψ ∈ H^{∗},
φ_{y} : z ↦ ⟨z, y⟩ für z ∈ H.

Wir zeigen zunächst, daß die Abbildung H ∋ x ↦ u_{x} ∈ H^{∗∗} eine lineare Isometrie ist. Aus

|u_{x}(ψ)| = |ψ(x)| ≤ ∥ψ∥∥x∥

folgt ∥u_{x}∥ ≤ ∥x∥. Nach Bemerkung 1.3.1 folgt

∥x∥^{2} = φ_{x}(x) = u_{x}(φ_{x}) ≤ ∥u_{x}∥∥φ_{x}∥ = ∥u_{x}∥∥x∥

und somit ∥x∥ ≤ ∥u_{x}∥.

Da H^{∗} ein Hilbertraum ist, gibt es nach dem Darstellungssatz 1.3.2 zu u ∈ H^{∗∗} ein φ ∈ H^{∗} mit

u(ψ) = ⟨ψ, φ⟩ für ψ ∈ H^{∗}.

Zu φ gibt es ein y ∈ H mit φ = φ_{y}. Nach Definition 1.3.4 des Skalarprodukte auf H^{∗} ist also

u(ψ) = ⟨ψ, φ_{y}⟩ = ψ(y)

und somit u = u_{y}.

1.3.7 Bem. (H ≅ \overline{H^{∗}}) (i) Um eine lineare Isometrie eines Hilbertraumes H mit seinem Dual zu erhalten, führt man den konjugierten Dual

\overline{H^{∗}} := \{\overline{φ} | φ ∈ H^{∗}\}

ein. Das Funktional \overline{φ} : H → ℂ, \overline{φ}(x) := \overline{φ(x)} ist konjugiert linear und beschränkt.

Für die Vektorraumverknüpfungen auf \overline{H^{∗}} gilt

\overline{φ} + \overline{ψ} = \overline{φ + ψ}, λ\overline{φ} = \overline{\overline{λ}φ}.

(ii) Zu jedem \overline{φ} ∈ \overline{H^{∗}} gibt es genau ein y ∈ H mit

\overline{φ}(x) = ⟨y, x⟩ für alle x ∈ H.

Die Zuordnung \overline{φ} ↦ y ist eine lineare Isometrie von \overline{H^{∗}} mit H.

\overline{H^{∗}} ist also ein zu H isometrischer Hilbertraum mit dem inneren Produkt:

⟨\overline{φ}, \overline{ψ}⟩ := ⟨y, z⟩ wenn \overline{φ} ↦ y und \overline{ψ} ↦ z.

(iii) Für den Bidual gilt dann linear isomorph \overline{\overline{H^{∗}}^{∗}} = H^{∗∗} = H.

1.4 Vervollständigung eines Prähilbertraumes

Ziel. Man kann die Methode A.1.6 auf Prähilberträume anwenden:

Im Falle eines Prähilbertraumes X erhält man wie im Beispiel 1.3.1 eine lineare isometrische Abbildung von X in den konjugiert dualen Raum \overline{X^{∗}}:

X ∋ y ↦ \{\overline{φ_{y}} : x ↦ \overline{⟨x, y⟩}\}

Wir identifizieren den Vektor y mit dem Funktional ⟨y, ·⟩ = \overline{φ_{y}} und fassen X ⊂ \overline{X^{∗}} auf. Nach Feststellung B.1.9 ist \overline{X^{∗}} ein Banachraum. Wir können also die Vervollständigung X^{∼} als Abschluß von X in \overline{X^{∗}} auffassen.

Wir zeigen, daß die Vervollständigung X^{∼} ein Hilbertraum ist und sogar mit \overline{(X^{∗}}) übereinstimmt.

1.4.1 Lemma (Fortsetzung des inneren Prod.) Es seien E ein normierter Raum und X ⊂ E ein dichter linearer Teilraum. Wenn X ein Prähilbertraum mit der Norm von E ist, d.h. auf X gib es ein inneres Produkt ⟨·, ·⟩ das dieselbe Norm erzeugt, dann ist auch E ein Prähilbertraum.

Beweis. Mit der Polarisationsformel definiere man eine stetige Funktion

b(x, y) = \frac{1}{4} ∑_{ν=1}^{3} i^{ν}∥x + i^{ν}y∥^{2} für x, y ∈ E.

Auf dem dichten linearen Teilraum X ×X stimmt b mit dem inneren Produkt überein. Aus der Stetigkeit von b folgt nun, daß b sesquilinear und hermitesch ist und ∥x∥^{2} = b(x, x) für x ∈ E gilt. D.h. b ist positiv definit und erzeugt die Norm von E.

1.4.2 Satz (Vervollst. eines Prähilbertraumes) Die Vervollständigung X^{∼} eines ein Prähilbertraumes X ist ein Hilbertraum.

X^{∼} kann mit dem konjugiert dualen Raum \overline{X^{∗}} identifiziert werden.

Beweis. Für den Hilbertraum X^{∼} gilt nach Korollar 1.3.4 bzw. Bemerkung 1.3.7, daß X^{∼} = \overline{(X^{∼})^{∗}} ist. Da X und seine Vervollständigung X^{∼} denselben Dual haben folgt die Behauptung.

Man kann die Aussage, daß X ⊂ \overline{X^{∗}} dicht liegt, auch durch eine Vorschrift zur Approximation der Elemente von \overline{X^{∗}} belegen:

1.4.3 Bem. (maximierende Folge) Es sei X ein Prähilbertraum, φ ∈ X^{∗} und (y_{n})_{n} eine die Norm ∥φ∥ maximierende Folge in X:

φ(y_{n}) = ∥φ∥^{2} und lim_{n→∞} ∥y_{n}∥ = ∥φ∥.

Dann konvergieren die Funktionale φ_{y_{n}} := ⟨·, y_{n}⟩ gegen φ.

Beweis.

|φ(tx + \frac{1}{t} y_{n})|^{2} ≤ ∥φ∥^{2}∥tx + \frac{1}{t} y_{n}∥^{2}, t^{2}|φ(x)|^{2} + 2 Re φ(y_{n})\overline{φ(x)} + \frac{1}{t^{2}} |φ(y_{n})|^{2}

≤ ∥φ∥^{2}(t^{2}∥x∥^{2} + 2 Re⟨y_{n}, x⟩ + \frac{1}{t^{2}} ∥y_{n}∥^{2}),

2 Re (φ(y_{n})\overline{φ(x)} − ∥φ∥^{2}⟨y_{n}, x⟩)

≤ t^{2}(∥φ∥^{2}∥x∥^{2} − |φ(x)|^{2}) + \frac{1}{t^{2}} (∥φ∥^{2}∥y_{n}∥^{2} − |φ(y_{n})|^{2}).

Mit φ(y_{n}) = ∥φ∥^{2} und Lemma 1.1.8 folgt

∥φ∥ Re (\overline{φ(x)} − ⟨y_{n}, x⟩) ≤ \sqrt{∥φ∥^{2}∥x∥^{2} − φ(x)^{2}}\sqrt{∥y_{n}∥^{2} − ∥φ∥^{2}}.

Also ist

∥\overline{φ} − \overline{φ}_{y_{n}}∥^{2} ≤ ∥y_{n}∥^{2} − ∥φ∥^{2}.

1.4.1 L^{2} als Vervollständigung

1.4.4 Bsp. (Dichte Teilräume von L^{2}([0, 1])) Wir definieren die folgenden linearen Teilräume von C([0, 1]):

(i) C_{per}([0, 1]) = {f ∈ C([0, 1]) | f(0) = f(1)}

(ii) C_{0}([0, 1]) = {f ∈ C([0, 1]) | f(0) = f(1) = 0}

(iii) C_{c}((0, 1)) = {f ∈ C([0, 1]) | supp(f) ⊂ (0, 1)}

Wie man leicht sieht, liegen

C_{c}((0, 1)) ⊂ C_{0}([0, 1]) ⊂ C_{per}([0, 1]) ⊂ C([0, 1])

bezüglich der L^{2}-Norm ineinander dicht. Als Prähilberträume haben die Räume C_{c}((0, 1)), C_{0}([0, 1], C_{per}([0, 1] und C([0, 1]) also die gleiche Vervollständigung L^{2}([0, 1]) (vgl. Bemerkung A.1.5)

Um die Dichtheit zu zeigen, ändere man eine Funktion f ∈ C([0, 1]) auf zwei kleinem Teilintervallen um die Endpunkte 0 bzw. 1 durch Geradenstücke stetig ab, so daß die entstehende Funktion g in einem der kleineren Räume zu liegen kommt. Die L^{2}-Norm ∥f − g∥_{2} wird beliebig klein, wenn man die Gesamtlänge λ der beiden Teilintervalle nur klein genug wählt:

∥f − g∥_{2} ≤ λ · 2∥f∥_{sup}.

Anmerkung. Häufig startet man bei der Konstruktion eines Hilbertraumes mit einer positiv semidefiniten Sesquilinearform b auf einem Vektorraum V.

Durch die Vorschrift

p(x) := \sqrt{b(x, x)} für x ∈ V

erhält man nur eine Halbnorm p auf V. Auf dem Quotientenraum X := V/ Kern(p) induziert b dann ein inneres Produkt ⟨·, ·⟩ (siehe Bemerkung 1.1.11).

Anschließend vervollständigt man den Prähilbertraum X zu einem Hilbertraum H.

1.4.5 Bsp. (Prähilbertr. der Regelfunktionen) Es sei R = R([0, 1], 𝕂) der Raum der Regelfunktionen auf dem Intervall [0, 1]. Die Treppenfunktionen Trepp([0, 1]) liegen bezüglich der sup-Norm dicht in den Regelfunktionen. C([0, 1]) ist ein in der sup-Norm abgeschlossener echter Teilraum der Regelfunktionen.

Man betrachte auf R wie in Beispiel 1.2.4 die positive semidefinite Sesquilinearform

b(f, g) := ∫_{0}^{1} f(t)\overline{g(t)} dt

und die L^{2}-Halbnorm p(f) := \sqrt{b(f, f)}. In R gibt es Funktionen f ≠ 0 mit

p(f) = ( ∫_{0}^{1} |f(t)|^{2} dt)^{\frac{1}{2}} = 0.

Diese Nullfunktionen bilden einen linearen Teilraum N := Kern(b) ⊂ R.

Die Vervollständigung des Prähilbertraumes R/ N liefert einen Hilbertraum, den wir vorübergehend mit R_{2} bezeichnen. Wir zeigen R_{2} = L^{2}([0, 1]).

1.4.6 Bem. (Prähilbertr. der Regelfunktionen) Bei R_{2} (siehe 1.4.5) handelt es sich um denselben Hilbertraum wie L^{2}([0, 1]) (vgl. Beispiel 1.2.4).

Die Indentifizierung folgt daraus, daß die Abbildung von (C([0, 1]), ∥ · ∥_{2}) in R/ N ⊂ R_{2} isometrisch ist und dichtes Bild hat. D. h. R_{2} ist die Vervollständigung von C([0, 1] in der L^{2}-Norm.

Beweis. Da C([0, 1]) ∩ N = {0} ist, ist die Abbildung von C([0, 1]) in R/ N ⊂ R_{2} isometrisch. Wir zeigen, daß sie dichtes Bild hat.

Man kann jede Regelfunktion in der sup-Norm durch Treppenfunktionen approximieren. Aus der Abschätzung

p(f) = ∫_{0}^{1} |f(t)| dt)^{\frac{1}{2}} ≤ ∥f∥_{sup}

folgt, daß man jede Regelfunktion in der L^{2}-Halbnorm p durch Treppenfunktionen approximieren kann.

Jede Treppenfunktion läßt sich in der L^{2}-Halbnorm p durch stetige Funktionen approximieren. Man sieht das leicht, indem man die Stufen einer Treppenfunktion auf einem kurzen Teilintervall durch Geradenstücke stetig ausgleicht.

Also kann man jde Regelfunktion in der L^{2}-Halbnorm p durch stetige Funktionen approximieren. Also liegt C([0, 1]) in R/ N ⊂ R_{2} dicht.

Nach Bemerkung A.1.5 haben die Prähilberträume (C([0, 1]), ∥ · ∥_{2}) und R/ N die gleiche Vervollständigung D.h. L^{2}([0, 1]) = R_{2}.

1.5 Orthonormalsysteme

1.5.1 Def. (Orthonormalsysteme) Es sei X ein Prähilbertraum.

(i) Zwei Vektoren x, y ∈ X heißen orthogonal wenn ⟨x, y⟩ = 0. Bezeichnung

x ⊥ y : ⇔ ⟨x, y⟩ = 0

(ii) Eine Familie (x_{α})_{α∈I} von paarweise orthogonalen Vektoren heißt ein Orthogonalsystem.

(iii) Ein Orthogonalsystem (e_{α})_{α∈I} heißt ein Orthonormalsystem, wenn ∥e_{α}∥ = 1 ist. Es gilt also

⟨e_{α}, e_{β}⟩ = δ_{α,β},

wobei δ_{α,β} das Kroneckersymbol ist.

(iv) Ein Orthonormalsystem (e_{α})_{α∈I} heißt vollständig oder eine Orthonormalbasis, wenn die lineare Hülle lin{e_{α} | α ∈ I} dicht in X ist (siehe Satz 1.5.6).

Anmerkung. Wir schreiben Orthonormalsysteme in Form einer Famile (e_{α})_{α}, da die e_{α} vorwiegend in Summen über die Indexmenge I auftreten.

Da die e_{α} paarweise verschieden sind, kann man genauso gut die Menge S:= {e_{α} | α ∈ I} als Orthonormalsystem bezeichen.

Da die Zuordnung I ∋ α ↦ e_{α} ∈ S bijektiv ist, ist die Indizierung der Elemente von S eigentlich überflüssig und man könnte kürzer sagen:

Ein Orthonormalsystem ist eine Teilmenge von X, deren Elemente paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind.

In konkreten Beispielen hat die Indexmenge I meist noch weitere Struktur, die man in der Bezeichnung nicht verstecken sollte. Um ein einheitliches Bild der Formeln zu erreichen, verwenden wir deshalb für Orthonormalsysteme die Indexschreibweise.

1.5.2 Bem. (Pythagoras) x, y sind genau dann senkrecht, wenn die Formel von Pythagoras gilt:

x ⊥ y ⇔ ∥x + y∥^{2} = ∥x + iy∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2}.

1.5.3 Satz (Besselsche Ungl., Parsevalsche Gl.) Es sei (e_{α})_{α} ein Orthonormalsystem in einem Prähilbertraum X.

(i) Es gilt die Besselsche Ungleichung:

∑_{α∈I} |⟨x, e_{α}⟩|^{2} ≤ ∥x∥^{2} für alle x ∈ X.

Es sind also höchstens abzählbar viele ⟨x, e_{α}⟩ ≠ 0.

(ii) Gleichheit in der Besselschen Ungleichung gilt genau dann, wenn x = ∑_{α∈I}⟨x, e_{α}⟩e_{α} ist.

Die Beziehung ∑_{α∈I} |⟨x, e_{α}⟩|^{2} = ∥x∥^{2} heißt Parsevalsche

Gleichung.

Beweis. (i) Für endliche F ⊂ I ist

⟨∑_{α∈F}⟨x, e_{α}⟩e_{α}, (x − ∑_{β∈F}⟨x, e_{β}⟩e_{β})⟩

= ∑_{α∈F} |⟨x, e_{α}⟩|^{2} − ∑_{α,β∈F}⟨x, e_{α}⟩\overline{⟨x, e_{β}⟩} \underbrace{⟨e_{α}, e_{β}⟩}_{δ_{α,β}} = 0

Da ∑_{α∈F}⟨x, e_{α}⟩e_{α} ⊥ (x − ∑_{α∈F}⟨x, e_{α}⟩e_{α}), gilt die Formel

von Pythagoras:

∥x∥^{2} = ∥ ∑_{α∈F}⟨x, e_{α}⟩e_{α}∥^{2} + ∥x − ∑_{α∈F}⟨x, e_{α}⟩e_{α}∥^{2}
= ∑_{α∈F} |⟨x, e_{α}⟩|^{2} + ∥x − ∑_{α∈F}⟨x, e_{α}⟩e_{α}∥^{2}  (∗)

Da dies für alle endlichen F ⊂ I gilt, folgt mit Feststellung D.5

∑_{α∈I} |⟨x, e_{α}⟩|^{2} = sup_{F} ∑_{α∈F} |⟨x, e_{α}⟩|^{2} ≤ ∥x∥^{2}.

(ii) Nach Formel (∗) gilt

sup_{F} ∑_{α∈F} |⟨x, e_{α}⟩|^{2} = ∥x∥^{2}

genau dann, wenn

inf_{F} ∥x − ∑_{α∈F}⟨x, e_{α}⟩e_{α}∥^{2} = 0

ist. Dabei durchläuft F alle endlichen Teilmengen von I.

1.5.4 Bsp. (Orthonormalbasis des l_{2}) (i) Die Standardbasis (e_{1}, …, e_{n}) des l_{2}^{n} ist eine Orthonormalbasis.

(ii) Die Vektoren e_{n} := (δ_{n,ν})_{ν∈ℕ} nennen wir die Standardbasis des l_{2}(ℕ). Die lineare Hülle der e_{n}:

lin{e_{n} | n ∈ ℕ} = {x = (ξ_{ν})_{ν∈ℕ} | fast alle ξ_{ν} = 0 }

ist offensichtlich dicht in l_{2}(ℕ). Also ist (e_{n})_{n∈ℕ} eine Orthonormalbasis des l_{2}(ℕ).

(iii) Die Elemente des l_{2}(ℕ) lassen sich nach den Basisvektoren e_{n} in eine unbedingt konvergente unendliche Summe entwickeln:

x = ∑_{n∈ℕ}⟨x, e_{n}⟩e_{n} für x ∈ l_{2}(ℕ).  (∗)

Dies sieht man folgendermaßen: Zu x = (ξ_{ν})_{ν∈ℕ} ∈ l_{2}(ℕ)

und ε > 0 gibt es ein n_{0} ∈ ℕ so, daß ∑_{ν=n_{0}+1}^{∞} |ξ_{ν}|^{2} < ε.

Es sei F_{0} := {1, …, n_{0}}. Für alle endlichen G mit F_{0} ⊂ G ⊂ ℕ gilt dann:

∥x − ∑_{ν∈G} ξ_{ν}e_{ν}∥^{2} ≤ ∑_{ν=n_{0}+1}^{∞} |ξ_{ν}|^{2} < ε.

Also ist x = ∑_{ν∈ℕ} ξ_{ν}e_{ν}. Nach Definition des inneren Pro-

duktes ist ξ_{ν} = ⟨x, e_{ν}⟩.

1.5.5 Bem. Da die Koeffizienten ξ_{ν} der Reihe (∗) nur in l^{2} und nicht in l^{1} sind, ist die Reihe (∗) i. a. nicht absolut konvergent.

Ziel. Wir werden eine (∗) entsprechende Reihenentwicklung für alle separablen Hilberträume herleiten.

...

1.5.6 Satz (Entwicklng. nach orthonorm. Basis) Es seien X ein Prähilbertraum und (e_{α})_{α∈I} eine Orthonormalbasis von X (vgl. Definition 1.5.1 (iv)). Dann gilt

x = ∑_{α∈I}⟨x, e_{α}⟩e_{α} für alle x ∈ X.

Weiterhin gilt für x, y ∈ X die Parsevalsche Gleichung

∥x∥^{2} = ∑_{α∈I} |⟨x, e_{α}⟩|^{2} und ⟨x, y⟩ = ∑_{α∈I}⟨x, e_{α}⟩\overline{⟨y, e_{α}⟩}.

Beweis. Da nach Vorraussetzung lin{e_{α} | α ∈ I} in X dicht liegt, gibt es zu x ∈ X und ε > 0 ein endliches F_{0} ⊂ I und ein y ∈ lin{e_{α} | α ∈ F_{0}}, so daß ∥x − y∥ < ε. Für alle endlichen F, F_{0} ⊂ F ⊂ I ist y ∈ lin{e_{α} | α ∈ F } und daher

y = ∑_{F_{0}}⟨y, e_{α}⟩e_{α}.

Mit der Besselschen Ungleichung 1.5.3 (i) folgt nun

∥x − ∑_{α∈F}⟨x, e_{α}⟩e_{α}∥ ≤ ∥x − y∥ + ∥y − ∑_{α∈F}⟨x, e_{α}⟩e_{α}∥

= ∥x − y∥ + ∥ ∑_{F}⟨y − x, e_{α}⟩e_{α}∥

≤ 2∥x − y∥ < 2ε.

Nach Definition D.1 der Summe ist also x = ∑_{α∈I}⟨x, e_{α}⟩e_{α}.

1.5.7 Satz (Gram-Schmidt Orthonormalisierung) Es sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine linear unabhängige Folge in dem Prähilbertraum X. Dann gibt es eine orthonormale Folge (e_{n})_{n} in X, so daß

lin{e_{1}, …, e_{n}} = lin{x_{1}, …, x_{n}} für n ∈ ℕ.

Die e_{n} sind bis auf einen Faktor λ_{n} ∈ 𝕂 mit |λ_{n}| = 1 eindeutig bestimmt.

Beweis. Man setze e_{1} := ∥x_{1}∥^{−1}x_{1}. Induktiv bilde man dann

x′_{n+1} := x_{n+1} − ∑_{ν=1}^{n}⟨x_{n+1}, e_{ν}⟩e_{ν}
e_{n+1} := ∥x′_{n+1}∥^{−1}x′_{n+1}.

Da x_{n+1} ∉ lin{x_{1}, …, x_{n}} = lin{e_{1}, …, e_{n}}, ist x′_{n+1} ≠ 0.

Die Eindeutigkeitsaussage stimmt offensichtlich für n = 1 und folgt nun induktiv für alle n ∈ ℕ

1.5.8 Folg. (unitarer Raum ≅ l_{2}^{n}) Ein endlichdimensionaler Prähilbertraum X ist isometrisch zum l_{2}^{n}, wobei n = dim X.

Beweis. Aus einer Basis erhält man durch Orthonormalisierung (vgl. Satz 1.5.7) eine Orthonormalbasis (b_{1}, …, b_{n}) von X. Die lineare Abbildung, die b_{ν} ↦ e_{ν} ∈ 𝕂^{n} abbildet ist eine Isometrie (vgl. Beispiel 1.2.7(ii)).

1.5.9 Satz (ONBasis separabler Prähilberträume) (i) Ein unendlichdimensionaler separabler Prähilbertraum X hat eine abzählbare Orthonormalbasis (e_{n})_{n∈ℕ}.

(ii) Jede Orthonormalbasis eines unendlichdimensionalen separablen Prähilbertraumes ist abzählbar unendlich.

Beweis. (i) Es sei M} eine absählbare dichte Teilmengevon X. Induktiv findet man in M eine linear unabhängige Familie (x_{n})_{n∈ℕ}. Aus (x_{n})_{n∈ℕ} bildet man mit dem Gram-Schmidtschen Orthonormaliserungsverfahren ein Orthonormalsystem (e_{n})_{n∈ℕ}.

Da

M ⊂ lin{x_{n} | n ∈ ℕ} = lin{e_{n} | n ∈ ℕ}

ist, ist lin{e_{n} | n ∈ ℕ} dicht in X. Nach Definition 1.5.1 (iv) ist (e_{n})_{n∈ℕ} eine Orthonormalbasis von X

(ii) Eine Orthonormalbasis (e_{α})_{α∈I} ist eine zerstreute Menge, da ∥e_{α} − e_{β}∥^{2} = 2 für α ≠ β ist.

Da X separabel ist, ist nach Bemerkung A.2.1 die zerstreute Menge {e_{α} | α ∈ I} höchstens abzählbar. Da dim X = ∞ ist, ist I nicht endlich.

Anmerkung. 1. Anders als in dem Beweis des Satzes 1.5.9 bildet man abzählbar unendliche Orthonormalbasen i.a. nicht mit dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren, sondern findet sie auf anderen Wegen, z. B. als Eigenvektoren symmetrischer Operatoren.

2. Man benutzt den obigen Satz 1.5.9 zumeist in der folgenden Form:

1.5.10 Folg. (ONBasis in dichten Teilraum) Ist Y ein dichter linearer Teilraum eines Prähilbertraumes X, so hat X eine Orthonormalbasis aus Elementen von Y.

Bsp. L^{2}([0, 1]) hat Orthonormalbasen, die in ℂ_{per}([0, 1]) oder in C^{∞}([0, 1]) oder in den Polynomen liegen.

1.5.11 Festst. Es sei H ein Hilbertraum mit Orthonormalbasis (f_{n})_{n∈ℕ} und (ξ_{n})_{n∈ℕ} ∈ l_{2}(ℕ). Dann ist die Familie (ξ_{n}f_{n})_{n∈ℕ} summierbar in H:

x = ∑_{n∈ℕ} ξ_{n}f_{n} ∈ H ⇔ (ξ_{n})_{n} ∈ l_{2}(ℕ).

Beweis. Aus der Besselschen Ungleichung folgt, daß (ξ_{n}f_{n})_{n∈ℕ} das Cauchy-Kriterium D.4 für summierbare Familien erfüllt.

1.5.12 Satz (separable Hilbertr. isomorph) Jeder separable Hilbertraum ist isometrisch zu l_{2}(ℕ).

Beweis. Ein separabler Hilbertraum hat nach Satz 1.5.9 eine Orthonormalbasis (f_{n})_{n}. Da nach Satz 1.5.6 die Parsevalsche Gleichung

∥x∥^{2} = ∑_{n∈ℕ} |⟨x, f_{n}⟩|^{2} für x ∈ H

gilt, ist die Folge (⟨x, f_{n}⟩)_{n} der Koeffizienten in l_{2}(ℕ). Die Abbildung

H ∋ x = ∑_{n∈ℕ}⟨x, f_{n}⟩f_{n} ↦ (⟨x, f_{n}⟩)_{n} ∈ l_{2}(ℕ)

ist eine lineare Isometrie von H in l_{2}(ℕ).

Diese Abbildung ist aber auch surjektiv, da nach Feststellung 1.5.11 für (ξ_{n})_{n∈ℕ} ∈ l_{2}(ℕ) die Summe

x = ∑_{n∈ℕ} ξ_{n}f_{n} ∈ H

konvergiert.

1.5.1 Fourierreihen

1.5.13 Satz (Fourierentwicklung in L^{2}([0, 1])) Die Familie (e_{n})_{n∈ℤ}, mit

e_{n}(t) = e^{2πint} für t ∈ [0, 1],

ist eine orthonormale Basis von L^{2}([0, 1], ℂ). Die Entwicklung

x = ∑_{n∈ℤ}⟨x, e_{n}⟩e_{n}  (∗)

heißt die Fourierentwicklung von x ∈ L^{2}([0, 1], ℂ).

Anmerkung. 1. Die Fourierreihe (∗) ist für stetiges f ∈ C_{per}([0, 1]) i. a. nicht punktweise konvergent. Aus dem Satz von Fejer folgt aber:

Wenn die Fourierreihe von f ∈ C_{per}([0, 1]) in einem Punkt t ∈ [0, 1] konvergiert, so konvergiert sie gegen f(t).

2. Der Beweis beruht auf dem folgenden Approximationsatz für C_{per}([0, 1], ℂ).

1.5.14 Festst. (Approx. mit trig. Polynomen) Funktionen der Form

T_{m,n}(t) := ∑_{ν=−m}^{n} c_{ν}e^{2πint} für t ∈ [0, 1].

heißen trigonometrische Polynome.

Die trigonometrischen Polynome liegen in C_{per}([0, 1]) in der ∥ · ∥_{sup}-Norm dicht.

Anmerkung. Zur Definition von C_{per}([0, 1], ℂ) siehe Bsp. 1.4.4.

Es gibt es unterschiedliche Beweise für die obige Feststellung. Wir zeigen, wie die Behauptung aus dem Approximationssatz von Weierstraß folgt. Eine konkretere Approximation erhält man aus dem Satz von Fejer. Approximationssatz von Weierstraß. Es sei X ⊂ ℝ^{n} eine kompakte Teilmenge. Jede stetige Funktion f ∈ C(X, 𝕂) kann man gleichmäßig auf X durch Polynome aus 𝕂[ξ_{1}, …, ξ_{n}] approximieren.

Beweis. (von Feststellung 1.5.14) Es sei S^{1} die Einheitskreislinie in ℝ^{2}, oder mit komplexen Zahlen ζ = ξ + iη geschrieben:

S^{1} = {ζ ∈ ℂ | |ζ| = 1}.

Die Funktionen aus C(S^{1}, ℂ) kann man nach dem Approximationssatz von Weierstraß durch Polynome P ∈ ℂ[ξ, η] approximieren. Ersetzt man in P die Variablen ξ, η durch die komplexe Variable ζ:

ξ = \frac{ζ + \overline{ζ}}{2} , η = \frac{ζ − \overline{ζ}}{2i} ,

so erhält man ein Polynom in den Variablen ζ und \overline{ζ}. Da \overline{ζ} = ζ^{−1} für ζ ∈ S^{1} ist, hat P die Gestalt

P (ξ, η) = ∑_{ν=−m}^{n} c_{ν}ζ^{ν}.

Wir bezeichnen mit ψ : [0, 1] → S^{1} die Exponentialabbildung [0, 1] ∋ t ↦ e^{2πit} ∈ S^{1}. Die Komposition mit ψ erzeugt eine lineare isometrische Bijektion:

C(S^{1}, ℂ) ∋ φ ↦ f := φ ∘ ψ ∈ C_{per}([0, 1], ℂ).

Also kann man jedes f ∈ C_{per}([0, 1], ℂ) gleichmäßig auf [0, 1] durch trigonometrische Polynome T der Form

T (t) = ∑_{ν=−m}^{n} c_{ν}e^{2πiνt}

approximieren.

Beweis. (des Satzes 1.5.13) Aus der Abschätzung der Normen

∥f∥_{2} = ( ∫_{0}^{1} |f(t)|^{2} dt)^{\frac{1}{2}} ≤ ∥f∥_{sup}.

folgt, daß eine Approximation in der ∥·∥_{sup}-Norm eine Approximation in der L^{2}-Norm impliziert. aus der Feststellung 1.5.14 folgt nun, daß die lineare Hülle lin{e_{n} | n ∈ ℤ} dicht in C_{per}([01], ℂ) ist.

Da nach Beispiel 1.4.4 C_{per}([01]) dicht in L^{2}([0, 1]) ist, ist lin{e_{n} | n ∈ ℤ} dicht in L^{2}([0, 1]).

Also ist (e_{n})_{n∈ℤ} eine Orthonormalbasis von L^{2}([01], ℂ) (vgl. Definition 1.5.1 (iv)).

1.5.2 Hilbertraumdimension

1.5.15 Satz (Existenz von ONBasen) (i) In einem Hilbertraum kann man jedes Orthonormalsytem zu einer Orthonormalbasis ergänzen.

(ii) Jeder nichttriviale Hilbertraum hat eine Orthonormalbasis.

(iii) Alle Orthonormalbasen eines Hilbertraumes H haben die gleiche Mächtigkeit.

1.5.16 Def. (Hilbertraumdimension) Es sei H ein Hilbertraum. Die Mächtigkeit einer Orthonormalbasis von H heißt die Hilbertraumdimension von H.

Der Beweis des Satzes läuft genauso, wie der Beweis F.1.3 des entsprechenden Satzes über algebraische Basen.

Beweis. (i) Es sei L_{0} ein orthonormale Teilmenge des Hilbertraumes H.

Man bilde die Menge S aller nichtleeren, orthonormalen Teilmengen L von H, die L_{0} umfassen und ordne S durch die Inklusion:

K ≤ L : ⇔ K ⊂ L.

Behauptung: S ist induktiv geordnet.

Wenn M ⊂ S linear geordnet ist, so ist

S := ⋃_{L∈M} L

eine orthonormale Teilmenge von H. Also ist S eine obere Schranke von M.

Nach dem Zornschen Lemma gibt es ein maximales Element B ∈ S. Da B eine maximale orthonormale Teilmenge von H ist, folgt aus Aussage (v) des Zerlegungssatz 1.2.19, daß lin B dicht in H ist. Somit ist B eine Orthonormalbasis von H.

(ii) Man wende (i) auf L_{0} := {e_{1}} an, wobei e_{1} irgendein Einheitsvektor ist.

(iii) Für endlichdimensionale Räume ist die Behauptung klar. Es sei also H unendlichdimesional und (e_{α})_{α∈I}, (f_{β})_{β∈J} seien Orthonormalbasen von H.

Für β ∈ J ist nach Satz 1.5.6 ∥f_{β}∥^{2} = ∑_{α∈I} |⟨f_{β}, e_{α}⟩|^{2}.

Nach Feststellung D.2 ist also die Menge

I_{β} := {α ∈ I | |⟨f_{β}, e_{α}⟩| ≠ 0}

höchsten abzählbar unendlich. Da lin{f_{β} | β ∈ J} in H dicht ist, liegt jedes α ∈ I in mindestens einer der Mengen I_{β}. Dann ist aber die Mächtigkeit von I = ⋃_{β∈J} I_{β} kleiner oder gleich der Mächtigkeit von J.

Umgekehrt ist die Mächtigkeit von J kleiner oder gleich der Mächtigkeit von I. Also haben I und J die gleiche Mächtigkeit.

2 Beschränkte lineare Operatoren

Eine Besonderheit der Hilberträume H ist, daß man den Raum ℒ(H) der beschränkten linearen Operatoren auf H mit dem Raum B(H, H; 𝕂) der beschränkten Sesquilinearformen auf H identifizieren kann:

T ∈ ℒ(H) entspricht die Sesquilinearform ⟨·, T (·)⟩.

Durch diese Isomorphie transportiert man die besondere Struktur des Raumes B(H, H; 𝕂) auf ℒ(H). Was sind diese Strukturen B(H, H; 𝕂), die sich auf L(H) übertragen.

1. Zu jeder Sesquilinearform b gibt es die adjungierte Form b^{∗}. Entsprechend werden wir zu T ∈ L(H) den adjungierten Operator T^{∗} bilden.

Den hermiteschen bzw. den positiv semidefiniten Sesquilinearformen entsprechen die selbstadjungierten Operatoren T = T^{∗} bzw. die positiven Operatoren T ≥ 0.

Die quadratischen Formen zu hermiteschen Sesquilinearformen sind reelle Funktionen und haben als solche eine Ordnung. Wir untersuchen, welche Bedeutung die entsprechende Ordnung auf den selbstadjungierten Operatoren hat:

Wie in der reellen Analysis kann man die Approximation von selbstadjungierten Operatoren durch Ungleichungen beschreiben. Man kann aus einer Abschätzung 0 ≤ S ≤ T auf die Wertevorräte Bild S und Bild T schließen.

2. Die Existenz des adjungierten Operators hat aber auch starke Auswirkung auf die multiplikative Struktur der Banachalgebra ℒ(H):

Man kann jeden positiven Operator T eindeutig als Quadrat eines anderen positiven Operators schreiben. Man nennt letzteren die Wurzel T^{\frac{1}{2}} aus T. Für jedes T ∈ ℒ(H) ist T^{∗}T ein positiver Operator und |T | := (T^{∗}T)^{\frac{1}{2}} hat die Bedeutung eines Betrages. Man erklärt das sgn T und zerlegt T = sgn T · |T |.

3. Im Fall 𝕂 = ℂ wird die Banachalgebra ℒ(H) mit den obigen Zusatzeigenschaften zu einer C^{∗}-Algebra, die wir mit B(H) bezeichnen. Sie ist der Prototyp einer C^{∗}- Algebra, denn alle anderen C^{∗}-Algebren erweisen sich als ∗-Unteralgebren von B(H).

Man kann viele der Ergebnisse dieses Kapitels auch abstrakter aus der Theorie der C^{∗}-Algebren herleiten:

Zum Beispiel nennt man einen Operator T normal, wenn er mit seinem adjungierten Operator T^{∗} kommutiert, d.h. es gilt T^{∗}T = T T^{∗}. Die von normalen Operatoren T und T^{∗} erzeugte Algebra A ist eine kommutative C^{∗}-Algebra. Im Fall von normalen Matrizen wird diese Algebra mit Hilfe der komplexen Polynome P (ζ, \overline{ζ}) untersucht. Änlich kann man auch im Unendlichdimensionalen vorgehen.

Wir wollen in diesem Kapitel davon noch keinen Gebrauch machen, sondern die Resultate aus den Eigenschaften des Hilbertraumes folgern.

2.1 Der adjungierte Operator

2.1.1 Darstellung von Sesquilinearformen

Anmerkung. Definition und einfache Eigenschaften von beschränkten Sesquilinearformen und beschränkten lineare Operatoren werden in Abschnitt B Normierte Räume, Abschnitt B.1.3 und Abschnitt B.2 erklärt.

2.1.1 Satz (Darstellung von Sesquilinearformen) Es seien E ein normierter Raum, X ein Prähilbertraum. Zu einem beschränkter linearer Operator T ∈ ℒ(E, X) bilde man die Sesquilinearform

b_{T} : (x, y) ↦ ⟨x, T y⟩ für x ∈ X, y ∈ E.

b_{T} ist beschränkt mit ∥b_{T} ∥ = ∥T ∥. Wir bezeichnen b_{T} := ⟨·, T (·)⟩.

(i) Die Zuordnung ℒ(E, X) ∋ T ↦ b_{T} ∈ B(X , E; 𝕂) ist eine konjugiert lineare Isometrie.

(ii) Im Falle eines Hilbertraumes H gibt es zu jeder beschränkten Sesquilinearform b ∈ B(H, E; 𝕂) genau einen beschränkten linearen Operator T ∈ L(E, H), so daß b = ⟨·, T (·)⟩ ist. Es gilt also

b(x, y) = ⟨x, T y⟩ für alle x ∈ H, y ∈ E.

Anmerkung. Wir hatten jeden Vektor z ∈ H die beschränkte Linearform ⟨·, z⟩ zugeornet (siehe Bem. 1.3.1) Der Darstellungssatz 1.3.2 von Fréchet-Riesz besagt, daß dies eine konjugiert lineare Isometrie H ≅ H^{∗} ergibt.

Wendet man dies Verfahren auf den Vektor T y, so erhält man die Linearform ⟨·, T y⟩. Betrachtet man hierin y als weitere Variable, so entsteht die Sesquilinearform b_{T} = ⟨·, T (·)⟩.

Diese Bildung kann man für jeden linearen Operator T vornehmen und erhält so eine konjugiert lineare Isometrie L(E, H) ≅ B(H, E; 𝕂). Diese Konstruktion ist also die richtige Erweiterung der konjugiert linearen Isometrie H ≅ H^{∗}.

Beweis. (i) b_{T} : X × E → 𝕂 ist offensichtlich eine Sesquilinearform. Aus der Schwarzschen Ungleichung folgt, daß b_{T} beschränkt ist:

|b_{T} (x, y)| = |⟨x, T y⟩| ≤ ∥x∥∥T y∥ ≤ ∥x∥∥T ∥∥y∥.

für x ∈ X, y ∈ E. Nach Definition B.1.10 der Norm einer Sesquilineaform ist ∥b_{T} ∥ ≤ ∥T ∥.

Andererseits ist

∥T y∥^{2} = ⟨T y, T y⟩ = b_{T} (T y, y) ≤ ∥b_{T} ∥∥T y∥∥y∥,

Nach Definition B.2.1 der Norm eines linearen Operators ist also

∥T y∥ ≤ ∥b_{T} ∥∥y∥ für y ∈ E.

Also ist ∥T ∥ ≤ ∥b_{T} ∥.

(ii) Es sei b : H × E → 𝕂 eine beschränkte Sesquilinearform. Für y ∈ E ist die Abbildung

H ∋ x ↦ b(x, y)

eine beschränkte Linearform, deren Norm höchsten ∥b∥∥y∥ ist. Nach dem Satz von Fréchet -Riesz 1.3.2 gibt es genau einen darstellenden Vektor in H, den wir mit T y bezeichnen, so daß

b(x, y) = ⟨x, T y⟩ für alle x ∈ H

gilt. Wir erhalten so eine Abbildung T : E → H.

Wir zeigen, daß T homogen ist. Man beachte, daß in der folgenden Rechnung zweimal konjugiert wird. Da

⟨x, T (λy)⟩ = b(x, λy) = \overline{λ}b(x, y)

= \overline{λ}⟨x, T y⟩ = ⟨x, λ(T y)⟩ für x ∈ X

ist, und da der darstellende Vektor eindeutig ist, folgt T (λy) = λ(T y). Ebenso sieht man, daß T additiv ist:

⟨x, T (y_{1} + y_{2})⟩ = b(x, y_{1} + y_{2}) = b(x, y_{1}) + b(x, y_{2})

= ⟨x, T y_{1}⟩ + ⟨x, T y_{2}⟩ = ⟨x, T y_{1} + T y_{2}⟩

Also ist T (y_{1} + y_{2}) = T y_{1} + T y_{2}.

Anmerkung. Zu eine Sesquilinearform b kann man ohne weitere Vorraussetzungen immer die adjungierte Form b^{∗} bilden (siehe Def. 1.1.2). Mit Hilfe des Darstellungsatzes 2.1.1 übertragen wir die Bildung der Adjungierten auf beschränkte Operatoren zwischen Hilberträumen.

2.1.2 Festst. (Bildung des adjungierten Operat.) Es seien H ein Hilbertraum, X ein Prähilbertraum.

(i) Zu einem beschränkten linearen Operator T ∈ ℒ(H, X) gehört nach Satz 2.1.1 (i) die Sesquilinearform b_{T} := ⟨·, T (·)⟩. Zu b_{T} bilde man die adjungierte Sesquilinearform b_{T}^{∗}. Zu b_{T}^{∗} gibt es einen eindeutig bestimmten darstellenden Operator, den man mit T^{∗} bezeichnet, so daß

b_{T}^{∗} (x, y) = ⟨x, T^{∗}y⟩ für alle x ∈ H, y ∈ X

ist. Man nennt T^{∗} den adjungierten Operator zu T. Es gilt

∥T^{∗}∥ = ∥T ∥.

(ii) Die Abbildung ℒ(H, X) ∋ T → T^{∗} ∈ ℒ(X , H) ist konjugiert linear und isometrisch.

(iii) Es gilt die sogenannte C^{∗}-Identität

∥T^{∗}T ∥ = ∥T ∥^{2}.

Anmerkung. 1. Die Feststellung 2.1.2 (i) besagt, daß das Diagramm

B(X , H; 𝕂) ∋ b ⟶^{∼} b^{∗} ∈ B(H, X; 𝕂)
↑  ↓^{∼}
ℒ (H, X) ∋ T ⟶ T^{∗} ∈ ℒ (X , H)

kommutiert. In diesem Diagramm sind alle Pfeile konjugiert lineare Isometrien. Da H ein Hilbertraum ist, ist der rechte Pfeil sogar eine bijektive Isometrie

B(H, X; 𝕂) ≅ ℒ (X , H)

2. Die Isomtrie 2.1.2 (ii) ist für einen Prähiilbertraum X i. a. nicht surjektiv.

Beispiel: Es sei φ_{2}(ℕ) der Prähilbertraum der finiten Folgen. Die isometrische Einbettung S : φ_{2}(ℕ) ↪ l_{2}(ℕ) ist keine adjungierte Abbildung.

Beweis. (von Feststellung 2.1.2) (i) Nach Satz 2.1.1 (i) ist die Sesquilinearform

b_{T}^{∗} : H × X ∋ (x, y) ↦ \overline{⟨y, T x⟩} = ⟨T x, y⟩  (∗)

beschränkt und es gilt ∥b_{T}^{∗} ∥ = ∥b_{T} ∥ = ∥T ∥.

Nach Satz 2.1.1 (iii) gibt es genau einen darstellenden Operator T^{∗} ∈ ℒ(X , H), so daß

b_{T}^{∗} (x, y) = ⟨x, T^{∗}y⟩ für alle x ∈ H, y ∈ X

gilt. Ferner ist ∥T^{∗}∥ = ∥b_{T}^{∗} ∥ = ∥b_{T} ∥ = ∥T ∥.

(ii) Die Bildung b ↦ b^{∗} der adjungierten Sesquilinearform ist konjugiert linear. Die Zuordnung T ↦ b_{T} = ⟨·, T (·)⟩ ist ebenfalls konjugiert linear. Aus der Eindeutigkeit des darstellenden Operators folgt also:

b_{(S+T)^{∗}} = b_{(S+T)}^{∗} = b_{S}^{∗} + b_{T}^{∗} = b_{S^{∗}} + b_{T^{∗}} = b_{(S^{∗}+T^{∗})}

und somit (S + T)^{∗} = S^{∗} + T^{∗}. Analog folgt aus

b_{(λT)^{∗}} = b_{λT}^{∗} = (\overline{λ}b_{T} )^{∗} = λb_{T}^{∗} = b_{\overline{λ}T^{∗}},

daß λT)^{∗} = \overline{λ}T^{∗} gilt.

Also ist die Bildung der Adjungierten konjugiert linear und isometrisch nach (i).

(iii) Da

∥T^{∗}T x∥ ≤ ∥T^{∗}∥∥T x∥ ≤ ∥T^{∗}∥∥T ∥∥x∥

ist, gilt ∥T^{∗}T ∥ ≤ ∥T^{∗}∥∥T ∥ = ∥T ∥^{2}.

Andererseits folgt aus (∗) und der Schwarzschen Ungleichung

∥T x∥^{2} = ⟨T x, T x⟩ = ⟨x, T^{∗}T x⟩
≤ ∥T^{∗}T x∥∥x∥ ≤ ∥T^{∗}T ∥∥x∥^{2},

Also ist ∥T ∥^{2} ≤ ∥T^{∗}T ∥.

Später benutzt man die Feststellung 2.1.2(i) in dem wichtigen Fall zweier Hilberträume in etwas vereinfachter Form. Wir formulieren dies als eigenständigen Satz.

2.1.3 Satz (adjungierte Operatoren) Es seien H und K Hilberträume.

(i) Zu jedem beschränkten linearen Operator T ∈ ℒ(H, K) gibt es einen eindeutig bestimmten Operator T^{∗} ∈ ℒ(K, H), so daß

⟨T x, y⟩ = ⟨x, T^{∗}y⟩ für alle x ∈ H, y ∈ X

gilt. Man nennt T^{∗} den adjungierten Operator zu T.

(ii) Für den biadjungierten Operator T^{∗∗} := (T^{∗})^{∗} gilt

T^{∗∗} := T.

(iii) Die Bildung des adjungierten Operators

ℒ(H, K) ∋ T → T^{∗} ∈ L(K, H)

ist eine konjugiert lineare, bijektive Isometrie der Räume ℒ(H, K) und ℒ(K, H).

(iv) Für die Komposition von Operatoren S ∈ ℒ(H_{1}, H_{2}), T ∈ ℒ(H_{2}, H_{3}) gilt

(T S)^{∗} = S^{∗}T^{∗}.

2.1 Der adjungierte Operator 17

(v) Wenn T ∈ ℒ(H, K) eine Inverse T^{−1} ∈ ℒ(K, H) hat, dann ist auch T^{∗} invertierbar und es gilt

(T^{∗})^{−1} = (T^{−1})^{∗}.

Beweis. (i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v) Es existiere T^{−1} ∈ ℒ(K, H). Aus T T^{−1} = id_{K} und T^{−1}T = id_{H} folgt nach (iii), daß

(T^{−1})^{∗}T^{∗} = (id_{K})^{∗} = id_{K},
T^{∗}(T^{−1})^{∗} = (id_{H})^{∗} = id_{H} .

Also ist (T^{−1})^{∗} die Inverse von T^{∗}.

Anmerkung. (C^{∗}-Algebren) 1. Es sei A eine komplexe Algebra. Eine konjugiert lineare Abbildung T ↦ T^{∗} von A, mit den Eigenschaften

T^{∗∗} = T und (T S)^{∗} = S^{∗}T^{∗}

heißt ein Involution. A nennt man dann eine involutive Algebra.

2. Eine involutive Banachalgebra A, in der die C^{∗}-Bedingung

∥T^{∗}T ∥ = ∥T ∥^{2} für T ∈ A

erfüllt ist, heißt eine C^{∗}-Algebra. Beispiel von C^{∗}- Algebren:

• die komplexen Zahlen ℂ mit der Involution ζ ↦ \overline{ζ}.

• Die stetigen komplexen Funktionen C([0, 1]) mit der sup-Norm und der Involution f ↦ \overline{f} bilden eine kommutative C^{∗}-Algebra.

• Die Banachalgebra B(H) := ℒ (H) der beschränkten Operatoren auf dem Hilbertraum mit der Involution T ↦ T^{∗} ist eine C^{∗}-Algebra.

3. Jede C^{∗}-Algebra ist isometrisch isomorph zu einer ∗-Unter-algebra der Algebra B(H), für einen passenden Hilbertraum H. Die C^{∗}-Bedingung ∥T^{∗}T ∥ = ∥T ∥^{2} ist der Schlüssel für eine mehr algebraische Theorie der Operatoren auf dem Hilbertraum.

2.1.2 selbstadj, positive und normale Op.

2.1.4 Def. (selbstadjungierte Operatoren ℒ(H)_{sa}) Es sei H ein Hilbertraum und T ∈ ℒ(H).

(i) T heißt selbstadjungiert oder hermitesch, wenn T = T^{∗} ist.

Der Raum ℒ(H)_{sa} der der selbstadjungierten Operatoren ist ein ℝ-linearer Teilraum von ℒ(H).

Im Falle 𝕂 = ℂ reicht es, ⟨T x, x⟩ ∈ ℝ zu fordern. Aus der Polarisationsformel folgt dann T = T^{∗}.

(ii) Im Falle 𝕂 = ℂ definiert man den Realteil und den Imaginärteil von T:

Re T := \frac{T + T^{∗}}{2} ,

Im T := \frac{T − T^{∗}}{2i}

Re T und Im T sind selbstadjungiert. Es gilt T = Re T + i Im T.

(iii) Im Falle 𝕂 = ℝ bildet man den symmetrischen und den schiefsymmetrischen Anteil von T:

\frac{T + T^{∗}}{2} (symmetrisch)

\frac{T − T^{∗}}{2} (schiefsymmetrisch).

Anmerkung. 1. Für die quadratische Form q_{T} zu einem Operator T gilt: Re q_{T} = q_{Re T}. Man beachte, daß im allg. Re b_{T} ≠ b_{Re T} ist.

2. Im allgemeinen kommutieren Re T und Im T nicht. Beispiele hierfür findet man bereits bei 2×2-Matrizen.

2.1.5 Def. (Ordnung unter Operatoren) Es seien H ein Hilbertraum und S, T ∈ ℒ(H).

(i) T heißt positiv, wenn T selbstadjungiert und

⟨T x, x⟩ ≥ 0 für alle x ∈ H.

Man bezeichnet dies mit 0 ≤ T oder T ≥ 0.

(ii) Es seien S, T selbstadjungiert. S heißt kleiner als T, wenn 0 ≤ T − S ist.

Man bezeichnet dies mit S ≤ T oder T ≥ S.

Anmerkung. 1. Bei Matrizen ist die Bezeichnung positiv semidefinit statt positiv üblich.

2. Im Falle 𝕂 = ℂ reicht es, ⟨T x, x⟩ ≥ 0 zu fordern. Aus der Polarisationsformel folgt dann T = T^{∗}.

3. Die Relation ≤ ist eine Ordnung auf dem Raum ℒ (H)_{sa} der selbstadjungierten beschränkten Operatoren (siehe Orthogonale Projektoren 2.2.1, siehe Ordnung auf den Operatoren 2.4)

4. Im allgemeinen werden Ungleichungen mit Operatoren zerstört, wenn man sie einseitig von links oder rechts mit einem positiven Operator multipliziert. Gut geht das nur, sofern die Faktoren kommutieren (siehe Satz 2.4.5 ) Wenn man die Faktoren aber symmetrisch links und rechts anbringt, so bleiben Ungleichungen erhalten. Symmetrisch bedeutet hier, daß man links mit A^{∗} und rechts mit A multipliziert:

2.1.6 Satz (Symmetrischer Faktoren bei Ungl.) Es seien H ein Hilbertraum, A, S, T ∈ ℒ(H).

(i) Da

⟨T^{∗}T x, x⟩ = ∥T x∥^{2} für x ∈ H

gilt, ist T^{∗}T ≥ 0.

(ii) Aus S ≤ T folgt A^{∗}SA ≤ A^{∗}T A.

(iii) T^{∗}T ≤ id_{H} ⇔ ∥T ∥ ≤ 1.

(iv) T^{∗}T ≤ id_{H} ⇔ T T^{∗} ≤ id_{H}.

(v) Wenn S ≥ 0 ist, so gilt

0 ≤ T^{∗}ST ≤ ∥S∥T^{∗}T.

Insbesondere gilt für beliebiges A:

0 ≤ (AT)^{∗}(AT) ≤ ∥A∥^{2}T^{∗}T.

Anmerkung. 1. Mit Hilfe der positiven Wurzel aus einem positiven Operator können wir des obigen Satz auf die Situation 0 ≤ S ≤ T ausdehen (siehe Festst. 2.5.6).

2. Beispiele mit 2×2-Matrizen zeigen, daß man (T A)^{∗}(T A) nicht durch ein Vielfaches von T^{∗}T abschätzen kann:

A := [\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] , T := [\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] .

(AT)^{∗}(AT) = [\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] = T^{∗}T,

wogegen für alle c ≥ 0

(T A)^{∗}(T A) = [\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] ≰ cT^{∗}T

ist.

2.Man bevorzugt die Quadrate in der Reihenfolge T^{∗}T gegenüber denen in der Reihenfolge T T^{∗}. Für die Quadrate T^{∗}T gilt Satz 2.1.6(i):

q_{T^{∗}T} = ∥T ·∥^{2}

und für die Linksmultiplikation L_{A} : T ↦ AT gilt Satz 2.1.6(v):

(L_{A}T)^{∗}(L_{A}T) ≤ ∥A∥^{2}T^{∗}T.

Für die Rechtsmultiplikation R_{A} gibt es eine entsprechende Abschätzung, wenn man das andere Quadrat T T^{∗} verwendet. Man bevorzugt aber die Linksmultiplikation gegenüber der Rechtmultiplikation, da die Linksmultipliakation ein Algebrenhomomorphismus ist:

L_{AB} = L_{A} ∘ L_{B}.

Dagegen ist die Rechtsmultiplikation ein Algebren-Antihomorphismus:

R_{AB} = R_{B} ∘ R_{A}.

Beweis. (i) Nach Definition der Ordnung gilt

T^{∗}T ≥ 0 ⇔ ⟨T^{∗}T x, x⟩ ≥ 0 für x ∈ H.

(ii) Für x ∈ H gilt:

⟨A^{∗}SAx, x⟩ = ⟨SAx, Ax⟩ ≤ ⟨T Ax, Ax⟩ = ⟨A^{∗}T Ax, x⟩.

(iii) Nach Definition der Ordnung und der Norm eines Operators gilt

T^{∗}T ≤ id_{H} ⇔ ⟨T^{∗}T x, x⟩ ≤ ⟨id_{H} x, x⟩ für x ∈ H.

⇔ ∥T x∥ ≤ ∥x∥ für x ∈ H. ⇔ ∥T ∥ ≤ 1.

(iv) Mit der C^{∗}-Identität ∥T^{∗}T ∥ = ∥T ∥^{2} = ∥T T^{∗}∥ (siehe Festst. 2.1.2 (iii)) und (iii) erhält man die Äquivalenzen:

T^{∗}T ≤ id_{H} ⇔ ∥T T^{∗}∥ = ∥T ∥^{2} ≤ 1

⇔ T T^{∗} ≤ id_{H} .

(v) Die Behauptungen folgen sofort aus (i) bzw. (iii).

Anmerkung. 1. Im allgemeinen ist T^{∗}T ≠ T T^{∗} (siehe 2.1.7[normale Operatoren]). Beispiele hierfür findet man bereits bei 2×2-Matrizen:

T := [\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

2. Für T ∈ ℒ (H) folgt aber aus der C^{∗}-Identität 2.1.2 (iii), daß ∥T^{∗}T ∥ = ∥T T^{∗}∥ ist. Eine entsprechende Aussage gilt für die Ordnung (siehe Satz 2.1.6(iv)).

Für eine Matrix T haben T^{∗}T und T T^{∗} die gleichen Eigenwerte. Eine ähnliche Aussage gilt für das Spektrum der Operatoren T^{∗}T und T T^{∗} (siehe...).

2.1.7 Def. (normale Operatoren) Es sei H ein Hilbertraum. Ein Operator T ∈ ℒ(H) heißt normal, wenn T und sein adjungierter T^{∗} vertauschen (kommutieren):

T^{∗}T = T T^{∗}.

Anmerkung. Im Falle 𝕂 = ℂ gilt:

T normal ⇔ Re T und Im T vertauschen.

2.1.8 Bem. (Charakterisierung normaler Op.) Es seien H ein Hilbertraum und T ∈ ℒ(H). Die folgenden Aussagen sind äquivalent.

(a) T ist normal.

(b) ∥T x∥ = ∥T^{∗}x∥ für alle x ∈ H.

(c) ⟨T x, T y⟩ = ⟨T^{∗}x, T^{∗}y⟩ für alle x, y ∈ H.

Beweis. (a) ⇒ (b): ∥T x∥^{2} = ⟨T x, T x⟩ = ⟨x, T^{∗}T x⟩ = ⟨x, T T^{∗}x⟩ = ⟨T^{∗}x, T^{∗}x⟩ = ∥T^{∗}x∥^{2}.

(b) ⇒ (c): Im Falle 𝕂 = ℂ erhält man dies aus der Polarisationsformel 1.1.4 (i) und im Falle 𝕂 = ℝ aus 1.1.4 (ii).

(c) ⇒ (a): Da ⟨x, T^{∗}T y⟩ = ⟨T x, T y⟩ = ⟨T^{∗}x, T^{∗}y⟩ = ⟨x, T T^{∗}y⟩ für alle x, y ∈ H gilt, ist T^{∗}T = T T^{∗}.

2.1.9 Bez. (adjunierbare Op. auf Prähilbertr.) Es seien X, Y Prähilberträume und T ∈ ℒ(X , Y).

(i) T heißt adjungierbar, wenn es einen Operator S ∈ hom(Y, X) so gibt, daß

⟨T x, y⟩ = ⟨x, Sy⟩ für x ∈ X, y ∈ Y

gilt.

S ist eindeutig bestimmt und wird mit meist mit T^{∗} bezeichnet. Es gilt ∥S∥ = ∥T ∥.

Im Falle X = Y definiert man weiter:

(ii) T heißt normal, wenn T adjungierbar ist und T T^{∗} = T^{∗}T gilt.

(iii) T heißt symmetrisch, wenn die zugehörige Sesquilinearform hermitesch ist:

⟨T x, y⟩ = ⟨x, T y⟩ für x, y ∈ X.

Anmerkung. (symmetrisch–selbstadjungiert) 1. Im Hinblick auf unbeschränkte Operatoren ist der Begriff selbstadjungiert für den Hilbertraumfall reserviert. Im Falle unbeschränkter Operatoren muß man sorgfältig zwischen selbstadjungierten und symmetrischen Operatoren unterscheiden.

2. Man beachte, daß die obige Definitionen von normal so nur für beschränkte Operatoren gilt. Bei der Definition unbeschränkter normaler Operatoren kommen noch weitere Forderungen hinzu.

2.1.10 Bem. (stetige Fortsetz. adjunbierbarer Op.) Es seien X, Y Prähilberträume. T ∈ ℒ(X , Y) sei adjungierbar mit der adjungierten S ∈ ℒ(Y, X). Für die stetigen Fortsetzungen S^{∼}, T^{∼} auf die Vervollständigungen von X bzw. Y gilt dann

S^{∼} = (T^{∼})^{∗}.

2.1.3 Operatoren von endlichem Rang

2.1.11 Bsp. (adjungierte Matrix) Es seien H, K endlichdimensionale Hilberträume mit Orthonormalbasen (e_{1}, ⋯ e_{m}) bzw (f_{1}, ⋯, f_{n}). Ist T : H → K ein linearer Operator mit der Matrix A, so gehört zu T^{∗} die adjungierte Matrix A^{∗}.

Anmerkung. Die Aussage von Beispiel 2.1.11 gilt nur, wenn beide Basen Orthonormalbasen sind.

Beweis. Für x = ∑_{μ=1}^{n} ξ_{μ}e_{μ} ∈ H gilt

T x = ∑_{μ=1}^{m} ξ_{μ}T e_{μ} = ∑_{μ=1}^{m} ξ_{μ} ∑_{ν=1}^{n}⟨T e_{μ}, f_{ν}⟩f_{ν}

= ∑_{ν=1}^{n} ( ∑_{μ=1}^{n}⟨T e_{μ}, f_{ν}⟩ξ_{μ})f_{ν}

Folglich gehört zu T die n × m–Matrix

A = [a_{ν,μ}]_{ν=1,...,n}^{μ=1,...,m} mit a_{ν,μ} = ⟨T e_{μ}, f_{ν}⟩.

Entsprechend gehört zu dem adjungierte Operator T^{∗} : K → H die n × m–Matrix

B = [b_{μ,ν}]_{μ=1,...,m}^{ν=1,...,n} mit b_{μ,ν} = ⟨T^{∗}f_{ν}, e_{μ}⟩.

Nach Definition des adjungierten Operators gilt:

b_{μ,ν} = ⟨T^{∗}f_{ν}, e_{μ}⟩ = ⟨f_{ν}, T e_{μ}⟩ = \overline{⟨T e_{μ}, f_{ν}⟩} = \overline{a}_{ν,μ}.

Also ist B die adjungierte Matrix zu A:

B := A^{∗} = [\overline{a}_{ν,μ}]_{μ=1,...,m}^{ν=1,...,n}.

2.1.12 Bem. (Adjungierte einer Linearform) Es sei φ eine beschränkte Linearform auf dem Hilbertraum H. Nach dem Darstellungssatz 1.3.2 von Fréchet-Riesz gibt es genau einen darstellenden Vektor y_{φ} ∈ H, so daß

φ(x) = ⟨x, y_{φ}⟩ für x ∈ H.

Die adjungierte Abbildung φ^{∗} : 𝕂 → H hat die Form

φ^{∗} : λ ↦ λy_{φ} für λ ∈ 𝕂.

Somit gilt

φ^{∗}φ : x ↦ φ(x)y_{φ} = ⟨x, y_{φ}⟩y_{φ}.
φφ^{∗} = ⟨y_{φ}, y_{φ}⟩ = ∥φ∥^{2}.

Identifiziert man, wie üblich, ℒ(𝕂, H) ≅ H, indem man einen Vektor y ∈ H mit der linearen Abbildung y : λ ↦ λy identifiziert, so folgt

φ^{∗} = y_{φ}, und y_{φ}^{∗} = ⟨·, y_{φ}⟩ = φ.

2.1.13 Bez. (Rang einer linearen Abbildung) Es seien V, W 𝕂-Vektorräume. Der Rang einer linearen Abbildung T ∈ hom(V, W) ist die Vektorraumdimension des Bildraumes:

Rang T := dim Bild T.

Wir sagen, T hat endlichen Rang, wenn Rang T ∈ ℕ ist.

Anmerkung. Wenn T injektiv ist, so ist Rang T = dim V.

2.1.14 Bem. (Rang der Adjungierten) Es seien H ein Hilbertraum, X ein Prähilbertraum und T ∈ ℒ(H, X) habe endlichen Rang. Dann gilt

Rang T^{∗}T = Rang T T^{∗} = Rang T^{∗} = Rang T.

Beweis. Da dim Bild T = Rang T ∈ ℕ ist, gilt X = Bild T ⊕ (Bild T)^{⊥} (siehe Folgerung 1.2.18). Wir zeigen, daß Kern T^{∗} = (Bild T)^{⊥} ist:

y ∈ Kern T^{∗} ⇔ 0 = ⟨x, T^{∗}y⟩ = ⟨T X, y⟩ für x ∈ H
⇔ y ∈ (Bild T)^{⊥}.

Aus X = Bild T ⊕ Kern T^{∗} folgt, daß Bild(T^{∗}) = T^{∗}(Bild T) ist und daß T^{∗}|Bild T injektiv ist. Hieraus folgt

Rang T^{∗} = dim(T^{∗}(Bild T)) = dim Bild T = Rang T.

Weiterhin ist Rang T^{∗}T = dim(T^{∗}(Bild T)) = Rang T. Da Rang T^{∗} ∈ ℕ ist, folgt analog

H = Bild T^{∗} ⊕ Kern T.

Da T |Bild T^{∗} injektiv ist. erhalten wir

Rang T T^{∗} = dim(T Bild T^{∗}) = dim Bild T^{∗}
= Rang T^{∗} = Rang T.

2.1.15 Bsp. (Gramsche Matrix) Es sei X ein Prähilbertraum. Zu x_{1}, … x_{n} ∈ X bildet man die Gramsche Matrix

G : [⟨x_{μ}, x_{ν}⟩]_{ν=1...n}^{μ=1...n}.

Der Rang der Gramschen Matrix ist geich der Anzahl der linear unabhängigen Elemente in {x_{1}, …, x_{n}}:

Rang G = dim lin{x_{1}, …, x_{n}}.

Beweis. Man bilde die lineare Abbildung T : ℓ_{2}^{n} → X mit

T : (ξ_{ν})_{ν=1}^{n} ↦ ∑_{ν=1}^{n} ξ_{ν}x_{ν}.

Die adjungierte Abbildung T^{∗} : X → ℓ_{2}^{n} und T^{∗}T ∈ ℒ(ℓ_{2}^{n} haben die Form

T : y ↦ (⟨y, x_{ν}⟩)_{ν=1}^{n},
T^{∗}T : (ξ_{ν})_{μ=1}^{n} ↦ ∑_{μ=1}^{n}⟨x_{μ}, x_{ν}⟩ξ_{μ}.

Die Matrix von T^{∗}T bezüglich der Standardbasis des ℓ_{2}^{n} ist also die Gramsche Matrix:

G : [⟨x_{μ}, x_{ν}⟩]_{ν=1...n}^{μ=1...n}.

Nach Bemerkung 2.1.14 ist also

Rang G = Rang T^{∗}T = Rang T = dim lin{x_{1}, …, x_{n}}.

2.1.16 Bsp. (orthogonaler Proj. auf lin{e_{1}, …, e_{n}}) Es sei X ein Prähilbertraum. Für ein Orthonormalsystem {e_{1}, …, e_{n}} in X hat der orthogonale Projektor P_{n} auf den Unterraum lin{e_{1}, …, e_{n}} die Gestalt:

P_{n}x = ∑_{ν=1}^{n}⟨x, e_{ν}⟩ für x ∈ X.

Beweis.

2.2 Bild T und Kern T^{∗} 21

2.2 Bild T und Kern T^{∗}

2.2.1 Orthogonale Projektoren

Anmerkung. (direkte Summen und Projektoren) 1. Der Vektorraum V sei die direkte Summe V = V_{1} ⊕ V_{2} zweier Unterräume V_{1} und V_{2}. Jeder Vektor v ∈ V hat also eine eindeutige Darstellung

v = v_{1} + v_{2} mit v_{1} ∈ V_{1}, v_{2} ∈ V_{2}.

Zu dieser Zerlegung von V in eine direkte Summe gehören die Abbildungen P_{i} : V → V, die jedem Vektor seine Komponenten zuordnen:

P_{i} : v ↦ v_{i} (i = 1, 2),

Die P_{i} sind linear und idempotent, d.h.

P_{i}^{2} = P_{i} ⇔ P_{i}| Bild P_{i} = id_{Bild P_{i}}

und komplementär, d.h.

id_{V} = P_{1} + P_{2}.

2. Ein idempotenter Operator P ∈ hom(V) heiße ein Projektor. Es gibt immer die beiden trivialen Projektoren 0 und id_{V} .

Wenn P ein Projektor auf V ist, dann ist V = Bild P ⊕ Kern P.

3. Wenn P ein Projektor ist, dann ist auch Q := id_{V} −P ein Projektor:

Q^{2} = (id_{V} −P)^{2} = id_{V} −2P + P^{2} = id_{V} −P = Q.

Zwei Projektoren P, Q mit id_{v} = P + Q heißen komplementäre Projektoren.

4. Für P, Q ∈ hom V sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(i) P und Q sind komplementäre Projektoren. (ii) P + Q = id_{V} und P Q = 0. (iii) P und Q sind Projektoren und

Kern P = Bild Q, Bild P = Kern Q.

(iv) P und Q sind Projektoren. Es gilt P Q = QP = 0 und V hat die Zerlegung V = Bild P ⊕ Bild Q.

2.2.1 Bez. (orthogonaler Projektor) Es sei X ein Prähilbertraum.

(i) Ein Projektor P ∈ ℒ(X) heiße ein orthogonaler Projektor, wenn

Bild P ⊥ Kern P

gilt. Für einen orthogonalen Projektor P ist also X = Bild P ⊕ Kern P eine orthogonale direkte Summe.

(ii) Ist Y ⊂ X ein linearer Teilraum und gilt X = Y ⊕ Y^{⊥}, so nennen wir den zugehörigen Projektor

P_{Y} : x ↦ y für x = y + z ∈ X mit y ∈ Y, z ∈ Y^{⊥}

den orthogonalen Projektor auf den Unterraum Y.

Anmerkung. In der Theorie der Hilberträume kommen idempotente beschränkte lineare Operatoren, die nicht orthogonal sind, selten vor. Daher ist es hier üblich, die orthogonalen Projektoren kurz als Projektoren zu bezeichnen. Auf Grund der Äquivalenzen in Feststellung 2.2.2 und Satz 2.2.3 ist i.a. klar, daß ein betreffender Projektor orthogonal ist.

2.2.2 Festst. (Char. orthogonaler Projektoren) Es sei X ein Prähilbertraum und P ∈ hom X idempotent. Dann sind äquivalent:

(a) P ist ein orthogonaler Projektor.

(b) Bild P ⊥ Kern P.

(c) ⟨P x, x⟩ = ∥P x∥^{2} für alle x ∈ X.

(d) 0 ≤ ⟨P x, x⟩ für alle x ∈ X.

(e) P ist beschränkt und ∥P ∥ ≤ 1.

Beweis. (a) ⇒ (b) ist offensichtlich.

(b) ⇒ (c): Da Bild P ⊥ Kern P ist, gilt

⟨P x, (id_{X} −P)x⟩ = 0 ⇔ ⟨P x, x⟩ = ∥P x∥^{2}.

(c) ⇒ (d) ist offensichtlich.

(d) ⇒ (b): Für y ∈ Bild P ist y = P y. Für y ∈ Bild P, z ∈ Kern P und 0 < t folgt aus

0 ≤ ⟨P (ty ± z), ty ± z⟩ = t^{2}∥y∥^{2} ± t⟨y, z⟩,

daß

±⟨y, z⟩ ≤ t∥y∥^{2}

ist. Für t ↓ 0 folgt hieraus ⟨y, z⟩ = 0. Also ist Bild P ⊥ Kern P.

(b) ⇒ (e): Für alle x ∈ X ist P x ⊥ (id_{X} −P)x. Nach dem Satz von Pythagoras folgt hieraus

∥P x∥^{2} ≤ ∥P x∥^{2} + ∥(id_{X} −P)x∥^{2} = ∥x∥^{2} für x ∈ X.

Also ist ∥P ∥ ≤ 1.

(e) ⇒ (a): Für y ∈ Bild P ist y = P y. Für y ∈ Bild P, z ∈ Kern P und 0 < t folgt aus

∥y∥^{2} = ∥P (y ± tz)∥^{2} ≤ ∥P ∥^{2}∥y ± tz∥^{2}
= ∥y∥^{2} ± 2t Re⟨y, z⟩ + t^{2}∥z∥^{2}

daß

±2 Re⟨y, z⟩ ≤ t∥z∥^{2}

ist. Für t ↓ 0 folgt Re⟨y, z⟩ = 0.

Im Fall 𝕂 = ℂ gilt entsprechend Im⟨y, z⟩ = Re⟨y, iz⟩ = 0.

P ist also beschränkt, idempotent und Bild P ⊥ Kern P. Nach Bezeichnung 2.2.1 ist P ein orthogonaler Projektor.

Anmerkung. Im Falle eines Hilbertraumes kann man die orthogonalen Projektoren mit Hilfe des adjungierten Operators charakterisieren. Zusätzlich zu den Charakterisierungen 2.2.2(a)-(e) gilt dann:

2.2.3 Satz (orthogonale Projektoren) Es sei H ein Hilbertraum und P ∈ ℒ(H) sei idempotent. Dann sind äquivalent:

(a) P ist ein orthogonaler Projektor (d’) P ≥ 0.

(f) P = P^{∗}.

(g) P ist normal.

(h) Kern P = Kern P^{∗}.

Beweis. (a) ⇒ (d’): Aus Bild P ⊥ Kern(id_{H} −P) folgt

⟨P x, y⟩ = ⟨P x, P y⟩ für x, y ∈ H.

Also ist die Sesquilinearform (x, y) ↦ ⟨P x, y⟩ hermitesch. Mit Feststellung 2.2.2 (d) folgt nun P ≥ 0.

(d’) ⇒ (f) und (f) ⇒ (g) sind klar.

(g) ⇒ (h) Da P normal ist, gilt ∥P x∥ = ∥P^{∗}x∥ für alle X ∈ H. Folglich ist Kern P = Kern P^{∗}.

(h) ⇒ (a) Wir zeigen, daß (Bild P)^{⊥} = Kern P^{∗} ist:

y ∈ Kern P^{∗} ⇔ 0 = ⟨x, P^{∗}y⟩ = ⟨P x, y⟩ für x ∈ H

⇔ y ∈ (Bild P)^{⊥}.

Also ist Bild P ⊥ Kern P. Nach Bezeichnung 2.2.1 ist P ein orthogonaler Projektor.

2.2.4 Satz (Ordnung unter orth. Projektoren) Es sei H ein Hilbertraum und P, Q ∈ ℒ(H) orthogonale Projektoren.

(i) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) Es ist P ≤ Q.

(b) Für x ∈ H ist ∥P x∥ ≤ ∥Qx∥.

(c) Es ist Kern Q ⊂ Kern P.

(d) Es ist Bild P ⊂ Bild Q.

(e) Es gilt QP = P.

(f) Es gilt P Q = P.

(g) Q − P ist ein orthogonaler Projektor.

(ii) In diesem Fall ist Bild Q = Bild P ⊕ Bild(Q − P) eine orthogonale direkte Summe.

Bezeichnung. Man bezeichnet den obigen Fall 2.2.4 auch kurz mit

Bild Q ⊖ Bild P := Bild(Q − P).

Bild Q ⊖ Bild P ist das relative Orthogonalkomplement von Bild P in Bild Q:

Bild Q ⊖ Bild P = Bild(id_{H} −P) ∩ Bild Q

= (Bild P)^{⊥} ∩ Bild Q.

Beweis. (i) (a) ⇔ (b): Da P und Q orthogonale Projektoren sind ist P = P^{∗} = P^{2} und ebenso Q = Q^{∗} = Q^{2} (siehe Satz 2.2.3 (f)). Für x ∈ H folgt aus P ≤ Q:

∥P x∥^{2} = ⟨P^{∗}P x, x⟩ = ⟨P x, x⟩

≤ ⟨Qx, x⟩ = ⟨Q^{∗}Qx, x⟩ = ∥Qx∥^{2}.

(b) ⇒ (c) ist offensichtlich.

(c) ⇒ (d): Aus Kern Q ⊂ Kern P folgt für die senkrechten Räume:

Bild P = (Kern P)^{⊥} ⊂ (Kern Q)^{⊥} = Bild Q.

(d) ⇒ (e): Da Q| Bild Q = id_{Bild Q} ist, erhält man:

Bild P ⊂ Bild Q ⇒ QP = P.

(e) ⇔ (f): Adjungiert man die Gleichung QP = P so folgt P Q = P und umgekehrt.

(f) ⇒ (g): Q − P ist selbstadjungiert und idempotent:

(Q−P)^{2} = Q^{2}−QP −P Q+P^{2} = Q−P −P +P = Q−P.

Nach Satz 2.2.3 (f) ist P − Q ein orthogonaler Projektor.

(g) ⇒ (a): Da Q − P ein orthogonaler Projektor ist nach Satz 2.2.3 (d’) 0 ≤ Q − P und somit P ≤ Q.

(ii) Da Q − P ≤ Q ist, ist nach (i)(d) Bild(Q − P) ⊂ Bild Q. Da auch Bild P ⊂ Bild Q ist, folgt

Bild P + Bild(Q − P) ⊂ Bild Q.

Anderseits gilt

Qx = P x + (Q − P)x für x ∈ H.

Also ist Bild P + Bild(Q − P) = Bild Q.

Da

⟨P x, (Q − P)y⟩ = ⟨x, P (Q − P)y⟩ = 0 für x, y ∈ H

gilt, ist Bild P ⊥ Bild(Q − P). Also ist Bild Q = Bild P ⊕ Bild(Q − P) eine orthogonale direkte Summe.

2.2.5 Satz (Produkt und Summe orth. Proj) Es sei H ein Hilbertraum und P, Q ∈ ℒ(H) orthogonale Projektoren. Dann gilt:

(i) Die komposition P Q ist genau dann ein orthogonaler Projektor, wenn P Q = QP ist.

In diesem Fall ist Bild P Q = Bild P ∩ Bild Q.

(ii) die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) Die Summe P + Q ist ein orthogonaler Projektor.

(b) P Q = 0.

(c) Bild P ⊥ Bild Q

In diesem Fall ist Bild(P + Q) = Bild P ⊕ Bild Q.

Beweis. (i) Wenn P Q ein orthogonaler Projektor ist, so ist P Q = (P Q)^{∗} = QP (siehe Satz 2.2.4).

Wenn P Q = QP so ist P Q idempotent und selbstadjungiert:

(P Q)^{2} = P^{2}Q^{2} = P Q und (P Q)^{∗} = QP = P Q.

Nach Satz 2.2.4 ist P Q ein orthogonaler Projektor.

(ii) (a) ⇒ (b): Da P ≤ P + Q und P + Q orthogonaler Projektor ist, gilt P (P + Q) = P, d.h. P Q = 0 (siehe Satz 2.2.4).

(b) ⇔ (c) Da P Q = 0 ist, ist

⟨P x, Qy⟩ = ⟨x, P Qy⟩ = 0 für x, y ∈ H.

Somit ist Bild P ⊥ Bild Q. Offensichtlich gilt auch die umgekehrte Schlußweise.

(b) ⇒ (a): Es sei P Q = 0 und somit auch QP = (P Q)^{∗} = 0. Da P + Q selbstadjungiert und idempotent ist:

(P + Q)^{2} = P^{2} + P Q + QP + Q^{2} = P + Q,

ist P + Q ein orthogonaler Projektor (siehe Satz 2.2.3). Nach Satz 2.2.4 (ii) ist

Bild(P + Q) = Bild P ⊕ Bild((P + Q) − P)

= Bild P ⊕ Bild(Q).

2.2.2 Isometrien und partielle Isometrien

2.2.6 Bez. (Isometrie) Es sei X, Y Prähilberträume. Ein linearer Operator V ∈ ℒ(X , Y) heißt eine Isometrie, wenn

∥V x∥ = ∥x∥ für x ∈ H.

Anmerkung. 1. Eine surjektive Abbildung V : X → Y, für die

⟨V x, V y⟩ = ⟨x, y⟩ für x, y ∈ X

gilt, ist linear und isometrisch.

2. Beachte: Eine Isometrie ist nicht notwendig surjektiv, wie das Beispiel 2.2.7 des Shift-Operators zeigt.

2.2.7 Bsp. (Shift-Operator) (i) Der Shift-Operator S : ℓ_{2}(ℕ_{0}) → ℓ_{2}(ℕ_{0}) mit

S : (x_{0}, x_{1}, x_{2}, …) ↦ (0, x_{0}, x_{1}, x_{2}, …)

ist isometrisch aber nicht surjektiv.

Der Adjungierte Operator S^{∗} heißt der Rückwärst-Shift und hat die Form

S^{∗} : (y_{0}, y_{1}, y_{2}, …) ↦ (y_{1}, y_{2}, …)

S^{∗} ist nicht injektiv, aber die Einschränkung von S^{∗} auf den Unterraum e_{1}^{⊥} = {(0, y_{1}, y_{2}, …) ∈ ℓ_{2}(ℕ_{0})} ist isometrisch. Man sagt, S^{∗} ist eine partielle Isometrie (siehe Bez. 2.2.11)

(ii) Da jeder separable unendlichdimensionale Hilbertraum isometrisch isomorph zum l_{2}(ℕ_{0}) ist, findet man den Shift-Operator in vielerlei Gestalt auf anderen Hilberträumen wieder.

(iii) Eine solche Realisierung des Shift-Operators erhält man durch den Multiplikationsoperator M_{z} auf dem Hardy-Raum H^{2}(D):

Zu der identischen Funktion z ∈ A(D) bilde man den Multiplikationsoperator

M_{z} : H^{2}(D) → H^{2}(D) mit M_{z}(f)(ζ) := ζf(ζ)

für f ∈ H^{2}(D) und ζ ∈ D. Wir schreiben kurz zf := M_{z}(f).

Die Potenzen (z^{n})_{n∈ℕ_{0}} bilden eine Orthonormalbasis des H^{2}(D). Die Hilberträume l_{2}(ℕ_{0}) und H^{2}(D) sind isometrisch isomorph unter dem Isomorphismus

ℓ_{2}(ℕ_{0}) ⟶^{∼} H^{2}(D), (a_{n})_{n∈ℕ_{0}} ↦ f = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}.

Unter diesem Isomorphismus entspricht dem Shif-Operator S ∈ ℒ(ℓ_{2}(ℕ_{0})) der Multiplikationsoperator M_{z} ∈ ℒ(H^{2}(D)).

2.2.8 Bem. (Adjungierte einer Isometrie) Es seien H ein Hilbertraum, X ein Prähilbertraum und V ∈ ℒ(H, X).

(i) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) V ist eine Isometrie

(b) V^{∗}V = id_{H}.

(c) V : H → Bild V hat die Inverse V^{∗}| Bild V.

(d) V ist injektiv und V^{∗}| Bild V ist eine Isometrie.

(ii) Für eine Isometrie V ist

X = Bild(V V^{∗}) ⊕ Bild(id_{X} −V V^{∗})

eine orthogonale direkte Summe. Die Projektoren auf die Summanden sind V V^{∗} und id_{X} −V V^{∗}.

(iii) Für eine Isometrie V ist

Bild V = Bild(V V^{∗}),
Kern V^{∗} = Bild(id_{X} −V V^{∗})

und es gilt die Orthogonalzerlegung

X = Bild V ⊕ Kern V^{∗}.

Beweis. (i) (a) ⇔ (b): Aus der Polarisationsformel 1.1.1 und der Definition der Adjungierten gilt

V Isometrie ⇔ ⟨V x, V y⟩ = ⟨x, y⟩ für x, y ∈ H. ⇔ V^{∗}V = id_{H}

(c) ist nur eine andere Formulierung von (b).

(d) ⇔ (b):

∥V^{∗}V x∥ = ∥V x∥  für x ∈ H.
⇔ ⟨V^{∗}V x, V^{∗}V y⟩ = ⟨V x, V y⟩  für x, y ∈ H.
⇔ ⟨V x, V V^{∗}V y⟩ = ⟨V x, V y⟩  für x, y ∈ H.
⇔ V V^{∗}V y = V y  für y ∈ H.

⇔ V V^{∗}V = V ⇔ V^{∗}V = id_{H} .

Letzteres folgt, da V nach Voraussetzung (c) injektiv ist. (ii) Da für alle y, z ∈ X

⟨V V^{∗}y, (z − V V^{∗}z)⟩ = ⟨V^{∗}y, V^{∗}z⟩−⟨V V^{∗}y, V V^{∗}z⟩ = 0

gilt, ist Bild(V V^{∗}) ⊥ Bild(id_{X} −V V^{∗}). Da für y ∈ X

y = V V^{∗}y + (id_{X} −V V^{∗})y

gilt, ist X = Bild(V V^{∗}) + Bild(id_{X} −V V^{∗}). Somit ist X die orthogonale direkte Summe von Bild(V V^{∗}) und Bild(id_{X} −V V^{∗}) und V V^{∗} bzw. id_{X} −V V^{∗} sind die Projektoren auf die Komponenten. (iii) Da V^{∗}V = id_{H} ist, folgt

y ∈ Bild V ⇔ y = V V^{∗}y.

Also ist Bild V = Bild(V V^{∗}). Genauso folgt

y ∈ Kern V^{∗} ⇔ y = (id_{X} −V V^{∗})y.

Also ist Kern V^{∗} = Bild(id_{X} −V V^{∗}). Aus (ii) folgt nun X = Bild V ⊕ Kern V^{∗}

2.2.9 Folg. (bijektive Isometrie) Es seien H, K Hilberträume und V ∈ ℒ(H, K). Dann sind äquivalent:

(a) V ist eine Isometrie von H auf K.

(b) V^{∗} ist eine Isometrie von K auf H.

(c) V und V^{∗} sind Isometrien.

(d) Es gilt V^{∗}V = id_{H} und V V^{∗} = id_{K}.

(e) V^{∗} ist die Inverse zu V.

Anmerkung. Ein wichtiger Spezialfall sind die isometrischen Abbildungen eines Hilbertraumes auf sich.

Beachte: Wenn der Raum H unendlichdimensional ist, so muß man in 2.2.10 (d) beide Gleichungen U^{∗}U = id_{H} und UU^{∗} = id_{H} fordern.

2.2.10 Bez. (unitärer Operator) Eine bijektive isometrischr Abbildung eines Hilbertraumes auf sich heißt ein unitärer Operator. Im Fall 𝕂 = ℝ nennt man U auch einen orthogonalen Operator.

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) U ist unitär.

(b) U^{∗} ist unitär.

(c) U und U^{∗} sind Isometrien.

(d) U^{∗}U = UU^{∗} = id_{H}

(e) U ist bijektiv und U^{−1} = U^{∗}.

Beweis. (der Folgerung 2.2.9) (a) ⇔ (b): Dies folgt aus Bemerkung 2.2.8 (i) (a) und (d).

(b) ⇒ (c): Wenn V^{∗} eine Isometrie ist, so ist, wie oben gezeigt, auch V^{∗∗} eine Isometrie.

(c) ⇔ (d): Dies folgt aus Bemerkung 2.2.8 (i) (a) und (b).

(d) ⇔ (e) ist offensichtlich.

(c) ⇒ (a): Nach Bemerkung 2.2.8 (iii) ist K = Bild V ⊕ Kern V^{∗} und nach Voraussetzung ist Kern V^{∗} = 0.

2.2.11 Bez. (partielle Isometrie) Es seien H, K Hilberträume.

(i) Ein Operator V ∈ ℒ(H, K) heißt partielle Isometrie, wenn es einen Unterraum Y ⊂ H gibt, so daß

V |Y : Y → K isometrisch und V |Y^{⊥} = 0

ist.

Da V |Y isometrisch ist, ist auch V |Y^{−} isometrisch. Man kann also ohne Einschränkung Y als abgeschlossen vorraussetzen.

(ii) In diesem Fall ist Kern V = Y^{⊥} und V^{∗}V ist die orthogonale Projektion auf Y (siehe Bez. 2.2.1)

Beweis. (ii) Da Y ein abgeschlossener Unterraum ist, ist H = Y ⊕ Y^{⊥}. Es sei P_{Y} die orthogonale Projektion auf Y.

Da V |Y^{⊥} = 0 ist, ist Y^{⊥} ⊂ Kern V.

Es sei x = y + z ∈ Kern V mit y ∈ Y und z ∈ Y^{⊥}. Aus

∥y∥ = ∥V y∥ = ∥V y + V z∥ = ∥V z∥ = 0

folgt Kern V ⊂ Y^{⊥}. Also ist Kern V = Y^{⊥}.

Für x = y + z ∈ H mit y ∈ Y und z ∈ Y^{⊥} ist

⟨V^{∗}V x, x⟩ = ∥V x∥^{2} = ∥V y∥^{2} = ∥y∥^{2} = ⟨y, x⟩
= ⟨P_{Y}x, x⟩.

Hieraus folgt V^{∗}V x = P_{Y}x. Also ist V^{∗}V ist die orthogonale Projektion auf Y.

2.2.12 Satz (partielle Isometrie) Es seien H, K Hilberträume und V ∈ ℒ(H, K). Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) V ist eine partielle Isometrie.

(b) V^{∗}V ist ein orthogonaler Projektor.

(c) V V^{∗} ist ein orthogonaler Projektor.

(d) V^{∗} ist eine partielle Isometrie.

Beweis. (a) ⇔ (b): Nach Bezeichnung 2.2.11 (ii) gilt (a) ⇒ (b).

Wir zeigen (b) ⇒ (a): Es sei Y := Bild V^{∗}V. Da V^{∗}V ein orthogonaler Projektor ist, ist Kern V^{∗}V = Y^{⊥} und H = Y ⊕ Y^{⊥}. (siehe Bez. 2.2.1) Da

∥V y∥^{2} = ⟨V^{∗}V y, y⟩ = ⟨y, y⟩ = ∥y∥^{2} für y ∈ Y,
∥V z∥^{2} = ⟨V^{∗}V z, z⟩ = 0 für z ∈ Y^{⊥},

ist, ist V eine partielle Isometrie.

(b) ⇔ (c): Da

⟨V^{∗}V x, x⟩ = ∥V x∥^{2}

gilt, ist Kern V = Kern V^{∗}V. Da V^{∗}V ein Projektor ist, ist Kern V^{∗}V = Bild(id_{H} −V^{∗}V). Also ist V (id_{H} −V^{∗}V) = 0. Hieraus folgt nun

(V V^{∗})^{2} = V (V^{∗}V)V^{∗} = V id_{H} V^{∗} = V V^{∗}.

Nach Satz 2.2.3 (f) ist V V^{∗} ein orthogonaler Projektor. Vertauscht man in der Implikation (b) ⇒ (c) die Rollen

von V^{∗} und V = V^{∗∗}, so erhält man (c) ⇒ (b).

(c) ⇔ (d): Man wende die Aussage (a) ⇔ (b) auf V^{∗} an.

2.2.3 Linksträger und Bildprojektion

2.2.13 Festst. Es seien H ein Hilbertraum, X ein Prähilbertraum und T ∈ ℒ(H, X). Dann gilt

(i) Kern T = (Bild T^{∗})^{⊥}

(ii) \overline{Bild}T^{∗} = (Kern T)^{⊥}

(iii) H = \overline{Bild}T^{∗}⊕Kern T ist eine orthogonale direkte Summe.

Beweis. (i) Nach Definition des Adjungierten Operators folgt

(Bild T^{∗})^{⊥} = {x ∈ H | ⟨x, T^{∗}y⟩ = 0 für y ∈ X }
= {x ∈ H | ⟨T x, y⟩ = 0 für y ∈ X }
= Kern T.

(ii) Hieraus und Satz 1.2.19 (iii) folgt für den Abschluß von Bild T^{∗}:

\overline{Bild}T^{∗} = (Bild T^{∗})^{⊥⊥} = (Kern T)^{⊥}.

(iii) Nach dem Zerlegungssatz 1.2.19 (i) erhält man die Orthogonalzerlegung

H = Kern T ⊕ (Kern T)^{⊥} = Kern T ⊕ \overline{Bild}T^{∗}.

2.2.14 Bem. (dichtes Bild) Es seien H, K Hilberträume und T ∈ ℒ(H, K). Dann sind äquivalent:

(a) T ist injektiv und Bild T ist dicht in K.

(b) T^{∗} ist injektiv und Bild T^{∗} ist dicht in H.

2.2.15 Bez. (Rechtträger und Bildprojektion) Es seien H, K Hilberträume und T ∈ ℒ(H, K. Zu der orthogonalen Zerlegung H = Kern T ⊕ (Kern T)^{⊥} bzw. K = \overline{Bild} T ⊕ Kern T^{∗} gehören die Projektoren auf die Komponenten.

(i) Der orthogonale Projektor:

P_{T} = P_{\overline{Bild} T} : K → \overline{Bild} T = (Kern T^{∗})^{⊥}

mit Kern P_{T} = (Bild T)^{⊥}

heißt der Linksträger oder die Bildprojektion von T. Es gilt P_{T} T = T.

(ii) Der orthogonale Projektor

P_{T^{∗}} = P_{(Kern T)^{⊥}} : H → (Kern T)^{⊥} mit

Kern P_{T} = Kern T

heißt der Rechstträger von T. Es gilt T P_{T^{∗}} = T.

Da (Kern T)^{⊥} = \overline{Bild} T^{∗} ist, ist der Rechtsträger von T die Bildprojektion von T^{∗}. Die Bezeichnung P_{T^{∗}} für den Rechtsträger von T ist also sinnvoll.

(iii) Für einen normalen Operator T ∈ ℒ(H) ist Kern T = Kern T^{∗}(siehe Bem. 2.1.8). Also sind Rechtsund Linksträger gleich . P_{T} heißt in diesem Fall der Träger von T.

2.2.16 Bem. (Vertauschung mit der Bildprojekt.) Es sei H ein Hilbertraum und R, T ∈ ℒ(H).

(i) Wenn R mit T und T^{∗} vertauscht, dann vertauscht R mit den Bildprojektionen P_{T} und P_{T^{∗}}.

Weiterhin gilt P_{T} P_{R} = P_{R}P_{T}.

(ii) Wenn T normal ist und RT = T R ist, dann gilt P_{T} R = RP_{T}.

Beweis. (i) 1. Aus RT = T R folgt R \overline{Bild} T ⊂ \overline{Bild} T und somit P_{T} RP_{T} = RP_{T}. Aus RT^{∗} = T^{∗}R folgt R Kern T^{∗} ⊂ Kern T^{∗} = (Bild T)^{⊥}. Also gelten die Gleichungen

P_{T} RP_{T} = RP_{T} ,
(id_{H} −P_{T})R(id_{H} −P_{T}) = R(id_{H} −P_{T}).

Aus der zweiten Gleichung folgt:

P_{T} RP_{T} = P_{T} R.

Also ist RP_{T} = P_{T} R.

(ii) Adjungiert man die Gleichung RP_{T} = P_{T} R, so folgt P_{T} R^{∗} = R^{∗}P_{T}. Wir in 1. gezeigt, folgt aus diesen beiden Gleichungen P_{T} P_{R} = P_{R}P_{T}.

(iii) Aus RT = T R folgt R \overline{Bild} T ⊂ \overline{Bild} T und R Kern T ⊂ Kern T. Da T normal ist, gilt Kern T = Kern T^{∗} = (Bild T)^{⊥}. (siehe Bem. 2.1.8). Also gelten die Gleichungen

P_{T} RP_{T} = RP_{T} ,
(id_{H} −P_{T})R(id_{H} −P_{T}) = R(id_{H} −P_{T} .

Wie in (i) folgt hieraus RP_{T} = P_{T} R.

Anmerkung. Es sei V ein Vektorrraum und T ∈ hom(V). Ein Unterraum V_{0} ⊂ V heißt ein invarianter Unterraum von T, wenn T V ⊂ V ist.

Noch hilfreicher ist eine Zerlegung V = V_{0} ⊕ V_{1} in Unterräume, die unter T invariant sind.

Im Fall eines Hilbertraumes fragt man nach orthogonalen Zerlegungen in invariante Unterräume:

2.2.17 Bez. (reduzierender Unterraum) Es seien H ein Hilbertraum, X ⊂ H ein Unterraum und T ∈ ℒ(H). Man sagt X reduziert den Operator T, wenn

T X ⊂ X und T X^{⊥} ⊂ X^{⊥}

ist. Mit anderen Worten: X und X^{⊥} sind invariant unter T.

Man beachte, wenn X den Operator T reduziert, dann reduziert X auch den adjungierten Operator T^{∗}:

T^{∗}X ⊂ X und T^{∗}X^{⊥} ⊂ X^{⊥}

und der adjungierte Operator der Einschränkung T |X ist die Einschränung T^{∗}|X des adjungierten Operators T^{∗}.

2.2.18 Bem. (reduzierender orth. Projektor) Es seien H ein Hilbertraum, T ∈ ℒ(H) und Q ∈ ℒ(H) ein orthogonaler Projektor. Dann sind äquivalent

(a) QT = T Q.

(b) (id_{H} −Q)T = T (id_{H} −Q).

(c) T Bild Q ⊂ Bild Q und T Kern Q ⊂ Kern Q. D.h., der Unterraum Bild Q reduziert den Operator T.

(d) T Bild Q ⊂ Bild Q und T^{∗} Bild Q ⊂ Bild Q.

In diesem Fall sagt man auch, der orthogonale Projektor Q reduziert den Operator T.

Beweis. (a) ⇔ (b) ist offensichtlich. (a) ⇔ (c) Aus SQ = QS folgt

26 2 BESCHRÄNKTE LINEARE OPERATOREN

S Bild Q ⊂ Bild Q und S Kern Q ⊂ Kern Q Andererseits folgen hieraus die Gleichungen

SQ = QSQ und QS(id_{H} −Q) = 0

und somit SQ = QSQ = SQ.

(a) ⇔ (d): Aus SQ = QS folgt S^{∗}Q = QS^{∗}. Aus diesen Gleichungen folgt

S Bild Q ⊂ Bild Q und S^{∗} Bild Q ⊂ Bild Q.

Andererseits folgen hieraus die Gleichungen

SQ = QSQ und S^{∗}Q = QS^{∗}Q

und somit SQ = QSQ = (QS^{∗}Q)^{∗} = QS.

Anmerkung. (Operatormatrizen) Man kann die Begriffe invarianter Unterraum und reduzierender Unterraum sehr prägnant mit 2 × 2-Operatormatrizen beschreiben.

Der Hilbertraum H ist die direkte Summe aus dem abgeschlossenen Unterraum X und dem senkrechten Raum X^{⊥}. Man schreibe die Elemente von H = X ⊕ X^{⊥} als 2-tupel

x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] mit x_{1} ∈ X und x_{2} ∈ X^{⊥}.

Zu dem Operator T ∈ ℒ (X ⊕X^{⊥} bilde man die vier Komponenten

T_{11} := P_{X} T P_{X} T_{12} := P_{X} T P_{X^{⊥}}
T_{21} := P_{X^{⊥}}T P_{X} T_{12} := P_{X^{⊥}}T P_{X^{⊥}}

und schreibe diese in Form einer Operatormatrix T = [ \begin{matrix}T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{matrix} ].

Beachtet man, daß Operatoren nicht kommutieren, so gelten für Summe und Produkt von Operatormatrizen die üblichen Rechenregeln. Insbesondere gilt also

T x = [\begin{matrix}T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix}T_{11}x_{1} + T_{12}x_{2} \\ T_{21}x_{1} + T_{22}x_{2} \end{matrix}]

Zu dem adjungierten Operator gehört die adjungierte Matrix:

T^{∗} = [ \begin{matrix}T_{11}^{∗} & T_{21}^{∗} \\ T_{12}^{∗} & T_{22}^{∗} \end{matrix} ].

Dies kann man folgendermaßen einsehen:

Rechnung …

X ist genau dann invariant unter T, wenn T_{21} = 0 ist. D. h., T = [ \begin{matrix}T_{11} & T_{12} \\ 0 & T_{22} \end{matrix} ] ist eine obere Dreiecksmatrix.

X reduziert den Operator T genau dann, wenn T_{12} = 0 und T_{12} = 0 sind. D.h., T = [ \begin{matrix}T_{11} & 0 \\ 0 & T_{22} \end{matrix} ] ist eine Diagonalmatrix.

2.2.19 Satz (Monotonie der Bildprojektion) Es seien H ein Hilbertraum, S, T ∈ ℒ(H) und Q ∈ ℒ(H) ein orthogonaler Projektor. Dann gilt

(i) Aus 0 ≤ S ≤ T folgt P_{S} ≤ P_{T}.

(ii) Aus −T ≤ S ≤ T folgt P_{S} ≤ P_{T}.

Anmerkung. 1. Aus Satz 2.2.19 (ii) folgt natürlich (i) wir werden für (i) aber einen unabhängigen Beweis geben.

2. In Folgerung 2.5.18 wird mit anderen Mitteln eine schärfere Aussage hergeleitet.

Satz 2.2.19 (i) kann man auch leicht beweisen, wenn man die positive Wurzel S^{1/2} verwendet (siehe Satz 2.5.2):

Aus 0 ≤ S ≤ T folgt ∥(id_{H} −P_{T})S(id_{H} −P_{T})∥ = 0. Mit der C^{∗}-Gleichung folgt hieraus

∥(id_{H} −P_{T})S^{1/2}∥^{2} = ∥(id_{H} −P_{T})S(id_{H} −P_{T})∥ = 0

und somit

S = (S^{1/2})^{2} = P_{T} (S^{1/2})^{2} = P_{T} S.

Beweis. (i) Aus der Reidschen Ungleichung 2.4.4 folgt

∥Sx∥^{2} = ⟨S^{2}x, x⟩ ≤ ∥S∥⟨Sx, x⟩ ≤ ∥S∥⟨T x, x⟩

für x ∈ H. Also ist Kern T ⊂ Kern S und folglich

\overline{Bild} S = (Kern S)^{⊥} ⊂ (Kern T) = \overline{Bild} T.

(siehe Festst. 2.2.13). Nach Definition der Bildprojektion folgt mit Satz 2.2.4 P_{S} ⊂ P_{T}.

(ii) Es gelte

−T ≤ S ≤ T.  (∗)

Multipliziert man die Ungleichung (∗) symmetrisch mit id_{H} −P_{T} so folgt

0 ≤ (id_{H} −P_{T})S(id_{H} −P_{T}) ≤ 0.

und somit

(id_{H} −P_{T})S(id_{H} −P_{T}) = 0  (∗∗)

Multipliziert man die Ungleichung (∗) symmetrisch mit tP_{T} + t^{−1}(id_{H} −P_{T}), so folgt für t > 0 mit (∗):

−t^{2}T ≤ t^{2}S + P_{T} S(id_{H} −P_{T}) + (id_{H} −P_{T})SP_{T} ≤ t^{2}T

Für t → 0 erhält man

P_{T} S(id_{H} −P_{T}) + (id_{H} −P_{T})SP_{T} = 0  (∗∗∗)

Addiert man die Gleichung (∗∗) und (∗∗∗), so folgt

S = P_{T} SP_{T} und folglich S = P_{T} S = SP_{T} .

Also ist P_{S} ≤ P_{T}.

2.3 Nach unten beschränkte Operatoren

Wir untersuchen Operatoren T mit abgeschlossenem Bild. Eine engverwandte Frage ist, wie man einem beschränktem linearen Operator T ∈ ℒ(H, K) ansehen kann, ob er eine beschränkte Inverse hat.

1. Ein einfache Antwort auf die Frage nach der Inversen ist, daß T injektiv und surjektiv sein muß. Aus der linearen Algebra wieß man, daß dann die Inverse T^{−1} existiert und linear ist. Wir werden später zeigen, daß die Inverse sogar beschränkt ist (siehe Prinzip der offenen Abbildung).

Für einen konkreten Operator T ist es i. allg. schwierig, die Surjektivität dadurch nachzuweisen, daß man die Gleichung T x = y für y ∈ K explizit löst, d.h. ein Lösungsverfahren angibt.

Die Untersuchung der homogenen Gleichung T x = 0 ist meistens einfacher. Wenn diese nur die triviale Lösung hat, ist T injektiv. Wenn H endlichdimensional ist, reicht es aus, daß T und T^{∗} injektiv sind, um zu schließen, daß T bijektiv ist. Im Fall dim H = dim K < ∞ reicht es sogar zu zeigen, daß T injektiv ist (siehe Lineare Algebra).

Wenn H und K unendlichdimensional sind versagen die Schlußweisen aus der linearen Algebra, wie das Beispiel 2.3.2 zeigt. Wenn der adjungierte Operator T^{∗} injektiv ist, dann liegt Bild T im Zielraum K i. allg. nur dicht. Wir werden die Forderung ”T ist injektiv“ soweit verschärfen, daß wir schließen können, T ist injektiv und Bild T ist abgeschlossen. Wenn Bild T abgeschlossen und dicht in K ist, so ist Bild T = K. Mit diesem Kriterium kann man häufig zeigen, daß ein Operator T bijektiv ist, ohne ein explizites Lösungsverfahren für die Gleichung T x = y zu kennen.

Dies Kriterium beinhaltet, daß man die Norm ∥T x∥ auf der Einheitssphäre ∥x∥ = 1 durch eine Konstante c > 0 nach unten abschätzen kann. Man sagt hierfür, T ist nach unten beschränkt.

Anmerkung: Diese Forderung ist auch notwendig. Wir werden später das Prinzip der offenen Abbildung kennen lernen, und daraus folgern, daß injektive Operatoren T ∈ ℒ(H, K) mit abgeschlossenen Bild nach unten beschränkt sind. Wir erinnern, Beschränktheit nach oben besagt, daß T stetig ist. Die Beschränktheit nach unten besagt, daß T : H → Bild T offen ist.

2. Nach unten beschränkte Operatoren T haben abgeschlossenes Bild und und eine beschränkte Linksinverse. Unter allen Linksinversen zu T gibt es genau eine, die man mit T^{(−)} bezeichnet, derart daß ∥T T^{(−)}∥ minimal ist. Diese Linksinverse T^{(−)} ist beschränkt und T T^{(−)} ist der orthogonale Projektor auf Bild T. Deshalb heißt T^{(−)} auch die orthogonale Linksinverse von T.

3. Wenn T nicht injektiv ist, untersucht man, ob die Einschränkung T |(Kern T)^{⊥} nach unten beschränkt ist. Die optimale untere Schranke von T |(Kern T)^{⊥} heißt der Minimalmodul γ(T) von T. Wenn γ(T) > 0 ist, so gibt es die orthogonale Linksinverse zu T |(Kern T)^{⊥}, die man die Pseudoinverse von T nennt.

Wir werden jedoch den Minimalmodul und die Pseudoinverse unabhängig von den vorangehenden Entwicklungen herleiten und untersuchen. Das ist einmal schneller getan, als alle Zitate aufzubereiten. Der entscheidende Grund ist aber die Symmetrie in den Eigenschaften von T und T^{∗}, die erst in dieser allgemeinen Situation gegeben ist. Es ist γ(T) = γ(T^{∗}) und die Adjungierte der Pseudoinversen von T ist die Pseudoinverse von T^{∗}.

4. Allgemeiner betrachten wir am Ende dieses Abschnittes die Frage, wann sich ein Operator S über einen anderen Operator T faktorisieren läßt. D. h., wann gibt es einen beschränkten Operator A, so daß S = AT ist und wie kann man unter den möglichen Lösungen eine optimale eindeutig charakterisieren? Auch hier ist eine Abschätzung zwischen ∥Sx∥ und ∥T x∥ der Schlüssel. Der Fall S = id ergibt die Frage nach der Linksinversen zu T und der Fall S = P_{(Kern T)^{⊥}} führt auf die Frage nach der Pseudoinversen von T. Ein anderer Spezialfall ist die Polarzerlegung 2.5.3 eines Operators. Solche Faktorisierungen helfen bei der Charakterisierung von Ordnungsidealen (siehe Satz 2.5.17) und Operatoridealen.

2.3.1 Inverse und Linksinverse

2.3.1 Bez. (nach unten beschränkt) Es seien H, K Hilberträume. Ein Operator T ∈ ℒ(H, K) heißt nach unten beschränkt, wenn es gibt ein 0 < c < ∞ gibt, so daß

c∥x∥ ≤ ∥T x∥ für x ∈ H.

Man nennt c eine untere Schranke von T.

2.3.2 Bsp. (nicht nach unten beschränkter Op) Auf dem ℓ_{2}(ℕ_{0}) definiere man einen beschränkten Operator T durch

T : (ξ_{n})_{n} ↦ (2^{−n/2}ξ_{n})_{n} für (ξ_{n})_{n} ∈ ℓ_{2}(ℕ_{0}).

Es ist ∥T ∥ = 1. Da T ist injektiv und selbstadjungiert ist, folgt:

\overline{Bild} T = (Kern T^{∗})^{⊥} = \{0\}^{⊥} = ℓ_{2}(ℕ_{0}).

(siehe Bem. 2.2.14). T ist aber nicht surjektiv, da z. Bsp.

y := (2^{−n/2})_{n∈ℕ_{0}} ∈ ℓ_{2}(ℕ_{0}) aber y ∉ Bild T

ist. Als mögliche Lösung der Gleichung T x = y käme nur die Folge (1, 1, …) ∉ ℓ_{2}(ℕ_{0}) in Frage.

2.3.3 Lemma (nach unten beschränkt) Es seien H, K Hilberträume und T ∈ ℒ(H, K). Wenn T nach unten beschränkt ist, dann ist Kern T = {0} und Bild T ist abgeschlossen.

Anmerkung. Die allgemeinere Aussage lautet: Wenn der Minimalmodul γ(T) > 0 ist, dann ist Bild T abgeschlossen (siehe Lemma 2.3.11)

Beweis. Da T nach unten beschränkt ist, gibt es ein c > 0, derart daß

c ∥x∥ ≤ ∥T x∥ für x ∈ H.

T ist offensichtlich injektiv.

Wir zeigen, daß Bild T abgeschlossen ist: Es sei (y_{n})_{n} eine Cauchy-Folge in Bild T und y := lim_{n→∞} y_{n}. Es gibt eine Folge (x_{n})_{n} in H mit T x_{n} = y_{n}. Für n, m ∈ ℕ gilt:

∥x_{n} − x_{m}∥ ≤ c^{−1}∥T (x_{n} − x_{m})∥ = c^{−1}∥y_{n} − y_{m}∥.

Also ist (x_{n})_{n} eine Cauchyfolge in H. In dem Hilbertraum H existiert der Grenzwert x := lim_{n→∞} x_{n} und es folgt

T x = T lim_{n→∞} x_{n} = lim_{n→∞} y_{n} = y.

2.3.4 Festst. (Existenz des Inversen Op.) Es seien H, K Hilberträume und T ∈ ℒ(H, K).

(i) Dann sind äquivalent:

(a) T hat eine beschränkte Inverse.

(b) Bild T ist dicht in K und T ist nach unten beschränkt.

(c) T^{∗} ist injektiv und T ist nach unten beschränkt.

(ii) Im Fall (i) gilt:

∥T^{−1}∥^{−1} = max{c | c untere Schranke von T }.

(iii) Im Fall (i) gilt: Die Adjungierte T^{∗} ist nach unten beschränkt mit derselben unteren Schranke wie T.

Anmerkung. 1. Es seien H, K Hilberträume und T ∈ ℒ (H, K) ein bijektiver Operator. Aus dem Prinzip der offenen Abbildung bzw. dem Satz vom abgeschlossenen Graphen folgt, daß die Inverse T^{−1} beschränkt ist.

Zu den äquivalenten Aussagen (a) - (d) in Festst. 2.3.4 kommen noch die folgenden beiden Aussagen hinzu:

(a’) T ist bijektiv. (b’) T^{∗} ist bijektiv.

2. Man kann auch den Operator T^{∗}T oder T T^{∗} für weitere Charakterisierungen heranziehen (siehe Festst. 2.3.7).

3. Zur Aussage (iii) siehe Folg. 2.3.13).

Beweis. (i) (a) ⇒ (b): Da für alle x ∈ H

∥x∥ = ∥T^{−1}T x∥ ≤ ∥T^{−1}∥∥T x∥

gilt, ist c := ∥T^{−1}∥^{−1} eine untere Schranke für T.

(b) ⇒ (a): Da T nach unten beschränkt ist, ist T : H → Bild T injektiv. Es sei S : Bild T → H die Inverse. S ist linear und beschränkt, da nach Voraussetzung

∥Sy∥ ≤ \frac{1}{c}∥T Sy∥ = \frac{1}{c}∥y∥ für y ∈ Bild T.

ist. Es ist ∥S∥ ≤ c^{−1}.

Nach Lemma 2.3.3 ist Bild T abgeschlossen. Da nach Vorrausetzung Bild T in K dicht liegt, ist Bild T = \overline{Bild} T = K. Also ist T invertierbar und S ist die beschränkte Inverse von T.

(b) ⇔ (c): Nach Feststellung 2.2.13 (iii) ist

K = \overline{Bild}T ⊕ Kern T^{∗}.

Somit gilt:

\overline{Bild}T = K ⇔ Kern T^{∗} = \{0\}

(ii) In dem Schluß (a) ⇒ (b) wurde gezeigt, daß ∥T^{−1}∥^{−1} eine untere Schranke ist.

In dem Schluß (b) ⇒ (a) wurde gezeigt, daß jede untere Schranke c ≤ ∥T^{−1}∥^{−1} ist.

(iii) Nach Satz 2.1.3 (v) ist (T^{∗})^{−1} = (T^{−1})^{∗}. Aus dieser Gleichung und (ii) folgt nun die Behauptung über die untere Schranke von T^{∗}

Anmerkung. (beschränkte Inverse von T ∈ ℒ (H)) Wenn dim H endlich ist, so folgt für lineare T : H → H aus der Rangformel, daß T genau dann injektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Das Beispiel 2.2.7 des Shift-Operators S : ℓ_{2}(ℕ_{0}) → ℓ_{2}(ℕ_{0}) zeigt, daß dieses Prinzip in unendlichdimensionalen Hilberträumen nicht mehr gilt. Da S eine Isometrie ist, ist S nach unten beschränkt. S ist aber nicht surjektiv.

Daher benötigt man in Feststellung 2.3.4 (b) bzw. (c) außer der Beschränktheit von T nach unten i. allg. noch eine weitere Bedingung.

Eine Ausnahme hiervon bilden die normalen Operatoren (siehe Folg. 2.3.5)

2.3.5 Folg. (nach unten beschr. normale Op.) Es seien H ein Hilbertraum und T ∈ ℒ(H) normal. Dann sind äquivalent:

(a) T hat eine beschränkte Inverse.

(b) T ist nach unten beschränkt.

Beweis. (a) ⇒ (b) erhält man aus der obigen Feststellung 2.3.4 (a) und (c).

(b) ⇒ (a): Da T nach unten beschränkt ist, ist T injektiv. Nach Bemerkung 2.1.8 ist Kern T = Kern T^{∗}. Nach Feststellung 2.3.4 (c) existiert also T^{−1} ∈ ℒ(H).

2.3.6 Bez. (Linksinverse) Es seien H, K Hilberträume. Ein Operator T ∈ ℒ(H, K) heißt linksinvertierbar – genauer: beschränkt linksinvertierbar, – wenn es einen Operator A ∈ ℒ(K, H) so gibt, daß

AT = id_{H}

gilt. Der Operator A heißt dann eine beschränkte Linksinverse von T.

2.3.7 Festst. (Linksinverse) Es seien H, K Hilberträume und T ∈ ℒ(H, K).

(i) Dann sind äquivalent:

(a) T ist nach unten beschränkt.

(b) Es gibt ein c > 0, so daß c id_{H} ≤ T^{∗}T ist.

(c) T^{∗}T ist nach unten beschränkt.

(d) T^{∗}T hat eine beschränkte Inverse.

(e) T hat eine beschränkte Linksinverse.

(ii) Im Fall (i) ist T^{(−)} := (T^{∗}T)^{−1}T^{∗} eine beschränkte Linksinverse von T. Es ist

∥T^{(−)}∥^{−1} = max{c | c ∥x∥ ≤ ∥T x∥ für x ∈ H.}

Man nennt T^{(−)} die orthogonale Linksinverse von T.

Anmerkung. 1. T hat genau dann eine beschränkte Linksinverse, wenn der Minimalmodul γ(T) > 0 und Bild T^{∗} dicht in H ist (siehe Lemma 2.3.11).

2. Die Linksinverse T^{(−)} aus Feststellung 2.3.7(d) werden wir noch anders charakterisieren (siehe Bem. 2.3.9).

Beweis. (i) (a) ⇒ (b) und (b) ⇒ (c) Es gelte

c∥x∥ ≤ ∥T x∥ für x ∈ H.

Dann folgt

c^{2}∥x∥^{2} ≤ ∥T x∥^{2} = ⟨T^{∗}T x, x⟩ ≤ ∥T^{∗}T x∥ ∥x∥

und somit c^{2} id_{H} ≤ T^{∗}T und

c^{2}∥x∥ ≤ ∥T^{∗}T x∥ für x ∈ H.

(c) ⇒ (d): Da T^{∗}T selbstadjungiert und nach unten beschränkt ist, hat T^{∗}T eine beschränkte Inverse (siehe Folg. 2.3.5).

(d) ⇒ (e): Der beschränkte Operator

T^{(−)} := (T^{∗}T)^{−1}T^{∗}.

ist eine Linksinverse zu T, denn es gilt

T^{(−)}T = (T^{∗}T)^{−1}T^{∗}T = id_{H} .

(e) ⇒ (a): Es sei A ∈ ℒ(K, H) eine beschränkte Linksinverse von T. Da

∥x∥ = ∥AT x∥ ≤ ∥A∥ ∥T x∥ für x ∈ H

gilt, ist ∥A∥^{−1} eine untere Schranke von T.

(ii) T^{(−)} := (T^{∗}T)^{−1}T^{∗} ist eine beschränkte Linksinverse von T (vgl. auch (i)(d)).

Es sei c eine untere Schranke von T. Für y ∈ Bild T, x ∈ H mit y = T x und z ∈ (Bild T)^{⊥} gilt

∥T^{(−)}(y + z)∥^{2} = ∥T^{(−)}y∥^{2} = ∥x∥^{2}

≤ c^{−2}∥T x∥^{2} = c^{−2}∥y∥^{2}

≤ c^{−2}(∥y∥^{2} + ∥z∥^{2}) = c^{−2}∥y + z∥^{2}.

Also ist c ≤ ∥T^{(−)}∥^{−1}.

Im Beweis (i) (e) ⇒ (a) wurde gezeigt, daß ∥T^{(−)}∥^{−1} eine untere Schranke von T ist. Also ist ∥T^{(−)}∥^{−1} die größte untere Schranke von T.

2.3.8 Bem. (Rechenregeln: Linksinverse) Es seien H, K Hilberträume, T ∈ ℒ(H, K) sei linksinvertierbar und A ∈ ℒ(K, H) sei eine Linksinverse. Dann gilt:

(i) Der Operator T A : K → Bild T ist idempotent mit Bild T A = Bild T und Kern T A = Kern A. Es ist

K = Bild T ⊕ Kern A

eine direkte Summe von abgeschlossenen Unterräumen, die aber nicht notwendig orthogonal sind.

(ii) Für C ∈ ℒ(K, H) ist auch

B := A + C(id_{K} −T A)

eine Linksinverse von T. Jede Linksinverse B ist von dieser Gestalt, denn es gilt B = A + B(id_{K} −T A).

Anmerkung. Wenn dim(Bild t)^{⊥} = ∞ ist, so kann man den Operator C in Bemerkung 2.3.8 (ii) auch unbeschränkt wählen, und erhält so eine unbeschränkte Linksinverse.

Beweis. (i) T A ist idempotent, da

(T A)^{2} = T (AT)A = T id_{H} A = T A

gilt. Dann ist (id_{K} −T A) ebenfalls idempotent und K ist die direkte Summe der abgeschlossenen Unterräume

Bild T A = Kern(id_{K} −T A),
Bild(id_{K} −T A) = Kern T A.

Aus T = (T A)T, folgt Bild T = Bild T A und aus A = A(T A), folgt Kern A = Kern T A. Also ist K = Bild T ⊕ Kern A.

(ii) Es sei B := A + C(id_{K} −T A). Aus T = T AT, folgt

BT = AT +C(id_{K} −T A)T = id_{H} +C(T −T AT) = id_{H} .

Also ist B eine Linksinverse von T.

Für eine beliebige Linksinverse B gilt

B = A + (B − id_{H} A) = A + B(id_{K} −T A).

2.3.9 Bem. (Charakterisierung von T^{(−)}) Es sei H, K Hilberträume. T ∈ ℒ(H, K) sei nach unten beschränkt und T^{(−)} sei die orthogonale Linksinverse von T (siehe Festst. 2.3.7 (ii)).

Es sei A ∈ hom(K, H) eine linksinverse Abbildung zu T. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) A = T^{(−)}

(b) Kern A ⊃ (Bild T)^{⊥}.

(c) T A = P_{Bild T}.

(d) ∥T A∥ ≤ 1.

Beweis. (a) ⇒ (b) gilt nach Definition von T^{(−)} (siehe Festst. 2.3.7 (ii)).

(b) ⇒ (c): Da T nach unten beschränkt ist, ist Bild T ageschlossen (siehe Lemma 2.3.3). Für y ∈ Bild T, x ∈ H mit T x = y und z ∈ (Bild T)^{⊥} gilt

T A(y + z) = T Ay = T x = y = P_{Bild T} (y + z).

Also ist T A = P_{Bild T}.

(c) ⇒ (d): Da T A = P_{Bild T} ein orthogonaler Projektor ist, ist ∥T A∥ ≤ 1 (siehe Festst. 2.2.2 (e)).

(d) ⇒ (a) Da A ist eine Linksinverse von T ist, ist T A idempotent und Bild T A = Bild T (siehe Bem. 2.3.8 (i)). Aus ∥T A∥ ≤ 1 folgt nun, daß T A ein orthogonaler Projektor ist (siehe Festst. 2.2.2 (e)). Also ist T A = P_{Bild T}.

Da T nach unten beschränkt ist, hat T^{∗}T eine beschränkte Inverse (siehe Festst. 2.3.7 (i)(d)). Aus der Gleichung

T^{∗}T A = T^{∗}P_{Bild T} = T^{∗}P_{(Kern T)^{⊥}} = T^{∗}

folgt nun A = (T^{∗}T)^{−1}T^{∗} = T^{(−)}. (siehe Festst. 2.3.7 (ii)).

Anmerkung. (Charakterisierungen von T^{(−)}) Es sei T ∈ ℒ (H, K) nach unten beschränkt und Bild T abgeschlossen.

1. Wie für jeden orthogonalen Projektor gilt für P_{Bild T} die Minimumformel (siehe Lemma 1.2.13)

∥P_{Bild T} y − y∥ = min_{z∈Bild T} ∥z − y∥

und P_{Bild T} y ist durch diese Gleichung eindeutig bestimmt.

Da T T^{(−)} = P_{T} ist, ist x̃ := T^{(−)}y das eindeutig bestimmte Element in H, für das

∥T x̃ − y∥ = min_{x∈H} ∥T x − y∥

ist.

2. Wenn (x_{n})_{n} eine Folge in H ist, für die das Funktional

H ∋ x ↦ ∥T x − y∥

gegen sein Minimum konvergiert:

lim_{n→∞} ∥T x_{n} − y∥ = min_{x∈H} ∥T x − y∥,

dann ist die Folge (T x_{n})_{n} eine Cauchy-Folge (siehe Festst. 1.2.12). Da T nach unten beschränkt ist, ist auch (x_{n})_{n} eine Cauchy-Folge. Es ist also

T^{(−)}y = x̃ = lim_{n→∞} x_{n}.

3. Es sei A eine Linksinverse von T. Da alle Linksinversen auf Bild T übereinstimmen, ist

T^{(−)} := AP_{T}

2.3.2 Minimalmodul

Anmerkung. Wenn T ∈ L(H, K) nicht injektiv ist, so zerlege man den Raum H = Kern T ⊕ (Kern T)^{⊥} und wendet die obige Feststellung auf die injektive Abbildung T_{0} := T |(Kern T)^{⊥} an. Es ist Bild T = Bild T_{0}.

Die Suche nach der größten unteren Schranke von T_{0} führt zur Definition des Minimalmoduls γ(T). Wir lassen auch den Fall zu, daß T_{0} nicht nach unten beschränkt ist und setzen dann γ(T) = 0.

2.3.10 Def. (Minimalmodul) Es seien H, K Hilberträume und T ∈ ℒ(H, K). Die Zahl

γ(T) := max{c | c∥x∥ ≤ ∥T x∥ für alle x ∈ (Kern T)^{⊥}}

= inf{∥T x∥ | x ∈ (Kern T)^{⊥}, ∥x∥ = 1}.

heißt der Minimalmodul von T. Dies ist eine sehr wörtliche Übertragung der englischen Bezeichnung für γ(T): minimal modulus = minimaler Betrag

Anmerkung. 1. Minimalmodul ist eine sehr wörtliche Übertragung der englischen Bezeichnung für γ(T): minimal modulus = minimaler Betrag

2. Es sei T ∈ ℒ (K, H). Aus der Vollständigkeit von H und K gilt:

γ(T) > 0 ⇔ Bild T abgeschlossen.

Wir zeigen hier die einfachere Richtung:

2.3.11 Lemma (positiver Minimalmodul) Es seien H, K Hilberträume und T ∈ ℒ(H, K). Wenn γ(T) > 0 ist, dann ist Bild T abgeschlossen.

Beweis. Es sei (y_{n})_{n} eine Cauchy-Folge in Bild T und y := lim_{n→∞} y_{n}. Es gibt eine Folge (x_{n})_{n} in (Kern T)^{⊥} mit T x_{n} = y_{n}. Für n, m ∈ ℕ gilt:

∥x_{n} − x_{m}∥ ≤ γ(T)^{−1}∥T (x_{n} − x_{m})∥ = γ(T)^{−1}∥y_{n} − y_{m}∥.

Also ist (x_{n})_{n} eine Cauchyfolge in (Kern T)^{⊥}. In dem abgeschlossenen Unterraum (Kern T)^{⊥} existiert der Grenzwert x := lim_{n→∞} x_{n} und es folgt

T x = T lim_{n→∞} x_{n} = lim_{n→∞} y_{n} = y.

2.3.12 Festst. (Pseudoinverse) Es seien H, K Hilberträume und T ∈ ℒ(H, K) und T ≠ 0.

(i) Dann sind äquivalent:

(a) γ(T) > 0.

(b) Es gibt genau ein A ∈ hom(K, H), so daß

AT = P_{(Kern T)^{⊥}} und A|(Bild T)^{⊥} = 0

ist. Man nennt A die Pseudoinverse von T.

(c) Es gibt einen beschränkten Operator B ∈ ℒ(K, H), so daß BT = P_{(Kern T)^{⊥}} ist.

Dann ist 0 < ∥B∥^{−1} ≤ γ(T).

(ii) Im Fall (i) gilt weiterhin: Die Pseudoinverse A ist beschränkt mit

∥A∥ = γ(T)^{−1} und T A = P_{Bild T} .

Anmerkung. Wenn T ∈ ℒ (H, K) injektiv und γ(T) > 0 ist, dann ist T nach unten beschränkt und die die orthogonale Linksinverse T^{(−)} ist gleich der Pseudonversen von T (siehe Bem. 2.3.9).

Beweis. (i) (a) ⇒ (b): Wenn es einen derartiges A ∈ hom(K, H) gibt, dann gilt

Ay = x für y ∈ Bild T, x ∈ (Kern T)^{⊥} mit T x = y

und A : (Bild T)^{⊥} → 0.

Nach Lemma 2.3.11 ist Bild T abgeschlossen und folglich K = Bild T ⊕ (Bild T)^{⊥}.

Wir prüfen, ob A : Bild T → (Kern T)^{⊥} wohldefiniert ist. Für x ∈ (Kern T)^{⊥} gilt ∥x∥ ≤ γ(T)^{−1}∥T x∥. Wenn also x_{1}, x_{2} ∈ (Kern T)^{⊥} sind, mit T x_{1} = T x_{2}, so ist

∥x_{1} − x_{2}∥ ≤ γ(T)^{−1}∥T x_{1} − T x_{2}∥ = 0.

Daher ist A : Bild T → (Kern T)^{⊥} ein wohldefinierter Operator.

Wir schätzen die Norm von A : K → (Kern T)^{⊥} ab: Für y ∈ Bild T, x ∈ (Kern T)^{⊥} mit T x = y und z ∈ (Bild T)^{⊥} gilt

∥A(y + z)∥^{2} = ∥Ay∥^{2} = ∥x∥^{2} ≤ γ(T)^{−2}∥T x∥^{2}
= γ(T)^{−2}∥y∥^{2} ≤ γ(T)^{−12}(∥y∥^{2} + ∥z∥^{2})
= γ(T)^{−2}∥y + z∥^{2}.

Also ist ∥A∥ ≤ γ(T)^{−1}.

Für dieser Operator A ∈ ℒ(K, H)gilt also

P_{(Kern T)^{⊥}} = AT und A|(Bild T)^{⊥} = 0

und A ist hierdurch eindeutig bestimmt.

Für y ∈ Bild T, x ∈ (Kern T)^{⊥} mit T x = y und z ∈ (Bild T)^{⊥} gilt

T A(y + z) = T x = y = P_{Bild T} (y + z).

(b) ⇒ (c) ist offensichtlich.

(c) ⇒ (a) Für x ∈ (Kern T)^{⊥} gilt

∥x∥ = ∥BT x∥ ≤ ∥B∥∥T x∥.

Also ist 0 < ∥B∥^{−1} ≤ γ(T).

(ii) Im Beweis von (i)(b) haben wir ∥A∥ ≤ γ(T)^{−1} gezeigt. Nach (i)(c) ist γ(T)^{−1} ≤ ∥A∥. Also ist γ(T)^{−1} = ∥A∥.

Für y ∈ Bild T, x ∈ (Kern T)^{⊥} mit T x = y und z ∈ (Bild T)^{⊥} gilt

T A(y + z) = T Ay = T x = y = P_{Bild T} (y + z).

Also ist T A = P_{Bild T}.

2.3.13 Folg. (minmaler Modul von T^{∗}) Es seien H, K Hilberträume und T ∈ ℒ(H, K). Dann gilt

(i) Es sei γ(T) > 0 ist und A ∈ ℒ(K, H) die Pseudoinverse von T. Dann ist γ(T^{∗}) = γ(T) und A^{∗} ist die Pseudoinverse von T^{∗}.

(ii) Es gilt immer γ(T) = γ(T^{∗}).

Beweis. (i) Nach Feststellung 2.3.12 (ii) gilt für die Pseudoinverse A die Gleichung

T A = P_{Bild T} = P_{(Kern T^{∗})^{⊥}}.

und somit A^{∗}T^{∗} = P_{(Kern T^{∗})^{⊥}}. Da

Kern A^{∗} = (Bild A)^{⊥} ⊃ (Kern T)^{⊥⊥} = Kern T

gilt, ist A^{∗} die Pseudoinverse von T^{∗}.

Weiterhin folgt γ(T^{∗}) = ∥A^{∗}∥^{−1} = ∥A∥^{−1} = γ(T).

(ii) Nach Teil (i) gilt: Wenn γ(T) > 0 oder γ(T^{∗}) > 0 ist, so ist γ(T^{∗}) = γ(T). Also gilt immer γ(T^{∗}) = γ(T).

2.3.3 Faktorisierung eines Operators

2.3.14 Festst. Es seien G, H, K Hilberträume und S ∈ ℒ(H, G), T ∈ ℒ(H, K). Es gelte S^{∗}S ≤ T^{∗}T, d.h.

∥Sx∥ ≤ ∥T x∥ für x ∈ H.

(i) Dann gibt es genau einen linearen Operator A ∈ hom(K, G), so daß

S = AT und A|(Bild T)^{⊥} = 0

ist. Der so bestimmte Operator A ist beschränkt mit ∥A∥ ≤ 1.

(ii) Im Fall H = G = K gilt weiterhin: Wenn R ∈ ℒ(H) mit S, T vertauscht und R(Bild T)^{⊥} ⊂ (Bild T)^{⊥} ist. dann vertauscht R mit A.

(iii) Im Fall H = G = K gilt: Wenn R ∈ ℒ(H) mit S, T und T^{∗} vertauscht, dann vertauscht R mit A.

Beweis. (i) Wenn es ein derartiges A gibt, dann gilt Ay = Sx für alle x ∈ H mit T x = y. Wir definieren daher A : Bild T → Bild S durch

A : y ↦ Sx für x ∈ H, y ∈ Bild T mit y = T x,

und A : (Bild T)^{⊥} → 0. Da K = \overline{Bild} T ⊕ (Bild T)^{⊥} ist, müssen wir nur prüfen, ob A auf Bild T wohldefiniert ist. Für x ∈ H gilt

∥Sx∥^{2} = ⟨S^{∗}Sx, x⟩ ≤ ⟨T^{∗}T x, x⟩ = ∥T x∥^{2}.

Wenn also x_{1}, x_{2} ∈ H sind, mit T x_{1} = T x_{2}, so ist ∥Sx_{1} − Sx_{2}∥ ≤ ∥T x_{1} − T x_{2}∥ = 0. Daher ist A| Bild T ein wohldefinierter Operator.

Wir schätzen die Norm von A ab. Es gilt

∥A(y + z)∥^{2} = ∥Ay∥^{2} = ∥Sx∥^{2} ≤ ∥T x∥^{2} = ∥y∥^{2}
≤ ∥y∥^{2} + ∥z∥^{2} = ∥y + z∥^{2}

für y = T x ∈ Bild T und z ∈ (Bild T)^{⊥}. Also ist ∥A∥ ≤ 1.

Da Bild T ⊕ (Bild T)^{⊥} in K dicht ist und H vollständig ist, hat der beschränkte lineare Operator A genau eine stetige Fortsetzung zu einem Operator aus ℒ(K, H). Wir bezeichnen diese eindeutige Fortsetzung wieder mit A.

Dieser Operator A ∈ ℒ(K, H) erfüllt also die Bedingungen

S = AT und A|(Bild T)^{⊥} = 0

und ist hierdurch eindeutig bestimmt.

(ii) Es seien H = K. Für R ∈ ℒ(H) gelte

RS = SR, und RT = T R, RT^{∗} = T^{∗}R.

Ohne Einschränkung sei ∥R∥ ≤ 1. Dann ist R^{∗}R ≤ id_{H} und folglich

(RS)^{∗}(RS) = S^{∗}(R^{∗}R)S ≤ S^{∗}S ≤ T^{∗}T.

Nach (i) gibt es also genau einen Operator B ∈ ℒ(H) mit RS = BT und B| Bild T = 0.

Wir zeigen, daß RA = B und AR = B ist:

1. Da

RS = RAT und RA|(Bild T)^{⊥} = 0

gilt, ist RA = B.

2. Da R(Bild T)^{⊥} ⊂ (Bild T)^{⊥} ist, folgt

RS = SR = AT R = (AR)T,
AR(Bild T)^{⊥} ⊂ A(Bild T)^{⊥} = 0.

Also ist RA = B.

(iii) Aus RT^{∗} = T^{∗}R folgt R(Kern T^{∗}) ⊂ Kern T^{∗}. Da (Bild T)^{⊥} = Kern T^{∗} ist, folgt die Behauptung aus (ii).

2.4 Ordnung auf den Operatoren

1. Nach Satz 2.1.1 ist die Norm eines Operators T ∈ ℒ(H) gleich der Norm der zugehörigen Sesquilinearform b_{T} (x, y) := ⟨x, T y⟩. Man kann aber auch die Norm der zugehörigen quadratische Form q_{T} (x) := ⟨x, T x⟩ betrachten:

∥q_{T} ∥ := {|q_{T} (x)| | x ∈ H und ∥x∥ ≤ 1}.

Offensichtlich gilt ∥q_{T} ∥ ≤ ∥T ∥.

Auf reellen und auf komplexen Hilberträumen gilt für selbstadjungierte T immer ∥T ∥ = ∥q_{T} ∥.

Der Raum ℒ(H)_{sa} der selbstadjungierten Operatoren ist also linear isometrisch zum Raum der beschränkten quadratischen Formen auf H.

2. Der Raum ℒ(H)_{sa} hat nach Definition auch dieselbe Ordnung wie die quadratischen Formen. Letztere ist die Ordnung unter reellen Funktionen.

Dem identischen Operator id_{H} entspricht die quadratische Form ∥·∥^{2}. Die beschränkten quadratischen Formen q bilden einen Ordnungseins-Raum (siehe Abschn. C) mit ∥·∥^{2} als Ordnungseins:

∥q∥ ≤ 1 ⇔ −∥x∥^{2} ≤ q(x) ≤ ∥x∥^{2} für alle x ∈ H.

Der Isomorphismus T ↦ q_{T} macht ℒ(H)_{sa} zu einem Ordnungseins-Raum. Wir untersuchen diese Ordnung auf ℒ(H)_{sa}.

3. Wir formulieren die Regeln für die Ordnung auf ℒ(H)_{sa} ohne Bezugnahme auf die quadratischen Formen. Dies macht zunächst die Aussagen prägnanter und die Formeln werden kürzer!

Wichtiger ist aber, daß man mit Operatoren Regeln leicht formulieren kann, die sich mit quadratischen Formen nur äußerst umständlich beschreiben lassen. Dies betrifft alle Aussagen, in denen Produkte, Inverse, Potenzen und Wurzeln vorkommen.

Der wichtigste Grund, die Ordnung abstrakt als Ordnung unter Operatoren zu beschreiben, ist, daß das Produkt die Ordnung schon eindeutig festlegt. Wir werden zeigen:

Ein selbstadjungierter Operator T ist genau dann positiv, wenn er ein Quadrat ist:

T ≥ 0 ⇔ es existiert S ∈ ℒ(H)_{sa} mit T = S^{2}.

2.4.1 Ordnungseinsraum ℒ(H)_{sa}

Anmerkung. Um die Ordnung auf den selbstadjungierten Operatoren zu beschreiben benutzen wir die Begriffe des geordneten Vektorraumes und des Ordnungseins-Raumes(siehe Abschn. C).

Anmerkung. 1. Im Falle 𝕂 = ℂ folgt aus der Polarisationsformel

∥q_{T} ∥ ≤ ∥T ∥ ≤ 2∥q_{T} ∥.

Für beliebige T ∈ ℒ (H) kann man diese Abschätzung nicht verbessern, wie das folgend Beispiel zeigt:

2. Beispiel: In l_{2}^{2} bilde man den Operator

T : x ↦ ⟨x, e_{1}⟩e_{2} mit T^{∗} : x ↦ ⟨x, e_{2}⟩e_{1}.

T ist nicht normal:

T^{∗}T : x ↦ ⟨x, e_{2}⟩e_{2} und T T^{∗}: x ↦ ⟨x, e_{1}⟩e_{1}.

Es ist ∥T ∥ = 1 und ∥q_{T} ∥ = \frac{1}{2} .

3. Im Fall 𝕂 = ℝ gibt es schiefsymetrische Operatoren 0 ≠ S = −S^{∗} ∈ ℒ (H). Für dies ist q_{S} = 0.

Ein Beispiel hierfür ist der Operator S = T − T^{∗}, wobei T der Operator aus dem obigen Beispiel (3.) ist. Betrachtet man S auf dem ℝ^{2} mit dem Standardskalarprodukt, so ist ∥S∥ = 1 und q_{S} = 0.

4. Auf reellen und auf komplexen Hilberträumen gilt für selbstadjungierte T immer ∥T ∥ = ∥q_{T} ∥.

Im Falle 𝕂 = ℂ gilt diese Gleichung auch für normale Operatoren T (siehe...)

2.4.1 Festst. (Norm der quadratischen Form) Es sei H ein Hilbertraum und T = T^{∗} ∈ ℒ(H). Dann ist die Norm von T gleich der Norm der zugehörigen quadratische Form q_{T} : x ↦ ⟨T x, x⟩:

∥T ∥ = sup{|⟨T x, x⟩| | x ∈ H und ∥x∥ ≤ 1}

Beweis. Einerseits gilt immer

∥q_{T} ∥ = sup_{∥x∥≤1}|Re⟨T x, x⟩|≤ ∥T ∥.

Andererseits erhält man für die hermitesche Sesquilinearform b_{T} mit der Polarisationsformel 1.1.4 (ii) und der Parallelogrammidentität 1.1.3 die Abschätzung

|Re⟨T x, y⟩| = \frac{1}{4}|⟨T (x + y), x + y⟩ − ⟨T (x − y), x − y⟩|

≤ ∥q_{T} ∥\frac{1}{4}(∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2})

= ∥q_{T} ∥\frac{1}{2}(∥x∥^{2} + ∥y∥^{2})

= ∥q_{T} ∥ für x, y ∈ H mit ∥x∥ = ∥y∥ = 1.

Somit ist ∥T ∥ ≤ ∥q_{T} ∥.

2.4.2 Satz (Ordnungseinsraum ℒ(H)_{sa}) Der Raum ℒ(H)_{sa} der selbstadjungierten beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum H ist ein Ordnungseinsraum mit der Ordnungseins id_{H}:

Ball(ℒ(H)_{sa}) = {T ∈ ℒ(H)_{sa} | − id_{H} ≤ T ≤ id_{H}}

Anmerkung. Für T = T^{∗} ∈ ℒ (H) gilt also ∥T ∥ = min{c ≥ 0 | −c id_{H} ≤ T ≤ c id_{H}}.

Beweis. Es sei T = T^{∗} ∈ ℒ(H). Nach Feststellung 2.4.1 und der Definition der Ordnung 2.1.5 auf ℒ(H)_{sa} gilt:

∥T ∥ ≤ 1 ⇔ −⟨x, x⟩ ≤ ⟨T x, x⟩ ≤ ⟨x, x⟩ für x ∈ H
⇔ − id_{H} ≤ T ≤ id_{H} .

2.4.3 Folg. (Norm und Ordnung auf ℒ(H)_{sa}) Es sei H ein Hilbertraum.

(i) Für ein T ∈ ℒ(H)_{sa} sind die folgenden Aussagen äquivalent

(a) 0 ≤ T.

(b) ∥c id_{H} −T ∥ ≤ c für alle c ≥ ∥T ∥.

(c) ∥∥T ∥ id_{H} −T ∥ ≤ ∥T ∥.

(d) Es gibt ein c ≥ ∥T ∥, so daß ∥c id_{H} −T ∥ ≤ c gilt.

(ii) Der positive Kegel ℒ(H)_{+} ist abgeschlossen.

(iii) Es seien (S_{n})_{n} und (T_{n})_{n} konvergente Folgen in ℒ(H). Aus

S_{n} ≤ T_{n} für n ∈ ℕ folgt lim_{n→∞} S_{n} ≤ lim_{n→∞} T_{n}.

(iv) Die Ornung ist archimedisch, d.h., wenn S ≤ \frac{1}{n}T für alle n ∈ ℕ, so ist S ≤ 0.

Beweis. Die Folgerung ergibt sich sofort aus der Bemerkung C.2.3.

2.4.2 Produkt und Inverse positiver Operator.

Anmerkung. Die Ordnung unter den Operatoren und das Produkt von Operatoren harmonieren nur unter Einschränkungen.

1. Wenn 0 ≤ S und 0 ≤ T ist, so ist i.a. ST nicht selbstadjungiert. Wenn ST positiv ist, muß notwendigerweise ST = (ST)^{∗} = T S sein. Wir werden zeigen (siehe Satz 2.4.5) )

0 ≤ S, 0 ≤ T, ST = T S ⇒ 0 ≤ ST.

2. Man kann Ungleichungen i.a. nicht quadrieren, d.h. aus 0 ≤ S ≤ T ⇏ S^{2} ≤ T^{2}. Ein Beispiel hierfür findet man bereits in den 2×2-Matrizen:

0 ≤ [\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] ≤ [\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] .

Aber für die Quadrate gilt keine Abschätzung:

[\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] ≰ [\begin{matrix}5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix}]

Wir werden aber sehen, daß die Ungleichungen für die Quadratwurzel erhalten bleiben (siehe Satz 2.5.10 )

3. Zwei selbstadjungierte Operatoren S und T haben i.a. keine kleinste obere Schranke. Ein Beispiel hierfür findet man bereits in den 22-Matrizen:

S = [\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] ,  T = [\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] .

Untere Schranken von S und T sind

A = [\begin{matrix}−1 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & −1 \end{matrix}] , 0 = [\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] .

Annahme: Es gäbe eine größte untere Schranke M. Aus

0 ≤ M ≤ S, T folgt M = 0.

Da A indefinit ist, ist A ≰ 0 = M im Widerspruch zur Annahme.

Man kann zeigen: Wenn zwei n×n-Matrizen S, T ein größte untere Schrank haben, dann gilt S ≤ T oder T ≤ S und die kleinere von beiden ist die größte untere Schranke.

2.4.4 Satz (Reidsche Ungleichung) Es seien H ein Hilbertraum, S, T ∈ ℒ(H). Wenn 0 ≤ S und ST = T S ist, dann gilt

|⟨ST x, x⟩| ≤ ∥T ∥⟨Sx, x⟩ für x ∈ H.

Anmerkung. Unter den Voraussetzungen der Reidschen Ungleichung gilt:

1. Die Sesquilinearform b_{S}(x, y) := ⟨Sx, y⟩ ist ein beschränktes Semiskalarprodukt auf H:

b_{S}(x, y) ≤ ∥S∥⟨x, x⟩^{\frac{1}{2}} ⟨y, y⟩^{\frac{1}{2}} .

2. Der Operator T hat bezüglich des Semiskalarproduktes b_{S} dieselbe adjungierte Abbildung T^{∗} wie bezüglich des Skalarproduktes ⟨·, ·⟩:

b_{S}(T x, y) = ⟨ST x, y⟩ = ⟨T Sx, y⟩ = ⟨Sx, T^{∗}y⟩
= b_{S}(x, T^{∗}y).

3. T ist auch bzüglich des Semiskalarproduktes b_{S} beschränkt und die entsprechend Norm ist kleiner oder gleich ∥T ∥.

|b_{S}(T x, y)| ≤ b_{S}(T x, T x)^{\frac{1}{2}} b_{S}(y, y)^{\frac{1}{2}}
= b_{S}(T^{∗}T x, x)^{\frac{1}{2}} b_{S}(y, y)^{\frac{1}{2}}

Aus der Reidschen Ungleichung folgt

≤ ∥T^{∗}T ∥^{\frac{1}{2}} b_{S}(x, x)^{\frac{1}{2}} b_{S}(y, y)^{\frac{1}{2}} .
= ∥T ∥b_{S}(x, x)^{\frac{1}{2}} b_{S}(y, y)^{\frac{1}{2}} .

Beweis. 1. Zur Vereinfachung behandeln wir zunächst den Fall, daß T = T^{∗} ist. Nach Voraussetzung gilt

ST^{2^{n}} = T^{2^{n}}S für n ∈ ℕ.

Da 0 ≤ S ist, ist die Sesquilinearform b_{S}(x, y) := ⟨Sx, y⟩ positiv semidefinit. Wir wenden die Schwarzsche Ungleichung auf b_{S} an und erhalten

|⟨ST^{2^{n}}x, x⟩|^{2^{−n}} ≤ ⟨ST^{2^{n}}x, T^{2^{n}}x⟩^{2^{−(n+1)}}⟨Sx, x⟩^{2^{−(n+1)}}
≤ ⟨ST^{2^{n+1}}x, x⟩^{2^{−(n+1)}}⟨Sx, x⟩^{2^{−(n+1)}}

für n ∈ N_{0}. Induktiv folgt also

|⟨ST x, x⟩| ≤ ⟨ST^{2^{n}}x, x⟩^{2^{−n}}⟨Sx, x⟩^{1−2^{−n}}

für n ∈ N. Wenden wir nun die Schwarzsche Ungleichung auf das innere Produkt ⟨T^{2^{n}}x, Sx⟩ = ⟨ST^{2^{n}}x, x⟩ an, so erhalten wir

|⟨ST x, x⟩| ≤ ∥T^{2^{n}}∥^{2^{−n}}∥x∥^{2^{−n}}∥Sx∥^{2^{−n}}⟨Sx, x⟩^{1−2^{−n}}
≤ ∥T ∥ ∥x∥^{2^{−n}}∥Sx∥^{2^{−n}}⟨Sx, x⟩^{1−2^{−n}}

für n ∈ N. Für n → ∞ folgt nun

|⟨ST x, x⟩| ≤ ∥T ∥⟨Sx, x⟩.  (∗)

2. Nun sei T ∈ ℒ(H) mit ST = T S. Dann ist auch ST^{∗} = (T S)^{∗} = (ST)^{∗} = T^{∗}S. Wir wenden wieder die Schwarzsche Ungleichung auf die positiv semidefinite Sesquilinearform b_{S} an und erhalten mit (∗)

|⟨ST x, x⟩| ≤ ⟨ST x, T x⟩^{\frac{1}{2}} ⟨Sx, x⟩^{\frac{1}{2}}
= ⟨S(T^{∗}T)x, x⟩^{\frac{1}{2}} ⟨Sx, x⟩^{\frac{1}{2}}
≤ (∥T^{∗}T ∥⟨Sx, x⟩)^{\frac{1}{2}} ⟨Sx, x⟩^{\frac{1}{2}} = ∥T ∥⟨Sx, x⟩.

2.4.5 Satz (Produkt vertauschender pos. Op.) Es seien H ein Hilbertraum, R, S, T ∈ ℒ(H).

(i) Wenn 0 ≤ S, 0 ≤ T und ST = T S gilt, dann ist

0 ≤ ST.

(ii) Wenn ≤ S ≤ T, und RS = SR, RT = T R gilt, dann ist

RS ≤ RT.

Beweis. (i) Es seien 0 ≤ S, 0 ≤ T und ST = T S. Ohne Einschränkung sei ∥T ∥ ≤ 1. Nach Satz 2.4.2 ist

0 ≤ T ≤ id_{H} ⇔ 0 ≤ id_{H} −T ≤ id_{H}

und somit ist ∥id_{H} −T ∥ ≤ 1. Aus der Reidschen Ungleichung folgt nun

|⟨S(id_{H} −T)x, x⟩| ≤ ∥id_{H} −T ∥⟨Sx, x⟩
≤ ⟨Sx, x⟩.

Da S und ST selbstadjungiert sind, ist also

0 ≤ ⟨ST x, x⟩ für x ∈ H.

(ii) Aus 0 ≤ T − S und R(T − S) = (T − S)R folgt nach (i)

0 ≤ R(T − S) ⇔ RS ≤ RT.

2.4.6 Folg. (Potenzen vertauschender Operatoren) Es seien H ein Hilbertraum, S, T ∈ ℒ(H). Wenn 0 ≤ S ≤ T und ST = T S ist, dann gilt

0 ≤ S^{n} ≤ T^{n} für n ∈ ℕ.

Beweis. Die Ungleichung folgt aus der binomischen Formel

T^{n} − S^{n} = (T − S) ∑_{ν=0}^{n−1} T^{ν}S^{n−1−ν} für n ∈ ℕ.

und Satz 2.4.5.

2.4.7 Satz (Inverse eines positiven Operators) Es seien H ein Hilbertraum und 0 ≤ T ∈ ℒ(H).

(i) Wenn T eine beschränkte Inverse T^{−1} ∈ ℒ(H) hat, so ist 0 ≤ T^{−1}.

(ii) T hat genau dann eine beschränkte Inverse, wenn es ein c > 0 gibt, so daß c id_{H} ≤ T ist. D.h.

c∥x∥^{2} ≤ ⟨T x, x⟩ für x ∈ H.

In diesem Fall ist

∥T^{−1}∥^{−1} = max{c ≥ 0 | c id_{H} ≤ T }  (∗)

= max{c ≥ 0 | c∥x∥ ≤ ∥T x∥ für x ∈ H}. (∗∗)

Anmerkung. 1. Mit Hilfe des Prinzips von der offenen Abbildung kann man Satz 2.4.7(ii) verschärfen:

Es sei 0 ≤ T ∈ ℒ (H). Der Operator T ist genau dann bijektiv, wenn es ein c > 0 gibt, so daß c id_{H} ≤ T ist.

2. Weitere Eigenschaften invertierbarer positiver Operatoren findet man in Satz 2.5.7.

Beweis. (i) Da T bijektiv ist gilt

⟨T^{−1}x, x⟩ = ⟨y, T y⟩ ≥ 0 für x ∈ H, y = T^{−1}x.

(ii) ”⇒“: T sei nach unten beschränkt:

c∥x∥^{2} ≤ ⟨T x, x⟩ ≤ ∥T x∥ ≤ ∥x∥ für x ∈ H

Also ist T^{∗} = T injektiv. Nach Feststellung 2.3.4 (i) und (ii) hat T eine beschränkte Inverse und es ist ∥T^{−1}∥ ≤ c^{−1}. ”⇐“: Wenn T^{−1} ∈ ℒ(H) existiert, so folgt aus der

Schwarzschen Ungleichung

∥x∥^{2} = ⟨T T^{−1}x, x⟩ ≤ ⟨T T^{−1}x, T^{−1}x⟩^{\frac{1}{2}} ⟨T x, x⟩^{\frac{1}{2}}
≤ ∥x∥ ∥T^{−1}∥^{\frac{1}{2}} ⟨T x, x⟩^{\frac{1}{2}} .

Also ist ∥T^{−1}∥^{−1}∥x∥^{2} ≤ ⟨T x, x⟩ für x ∈ H.

Damit ist die Gleichung ∥T^{−1}∥^{−1} = max{c ≥ 0 | c id_{H} ≤ T } gezeigt.

Für T ≥ 0 und c > 0 erhält man mit (i), Satz 2.4.5 und Folgerung 2.4.6:

c^{2} id_{H} ≤ T^{2}

⇒ 0 ≤ (c^{2} id_{H} −T^{2})(c id_{H} +T)^{−1} = c id_{H} −T
⇒ c id_{H} ≤ T ⇒ c id_{H} ≤ T.

Also sind die beiden Maxima (∗) und (∗∗) gleich.

Man kann die Gleichit von (∗) und (∗∗) auch aus Feststellung 2.3.4 folgern.

2.4.3 Spektrum positiver und selbstadj Op.

Anmerkung. (Spektrum und Eigenwerte.) 1. Die Eigenwerte einer selbstadjungierten Matrix sind immer reell und es gibt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. (siehe Lineare Algebra). Eine selbstadjungierte Matrix A ∈ M_{n} ist genau dann positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte λ_{1}, …, λ_{n} nicht negativ sind.

Dagegen sind die Eigenwerte einer orthonormalen Matrix im allg. komplex und man findet erst im ℂ^{n} eine Basis aus Eigenvektoren. Allgemeiner zeigen die normalen Matrizen dieses Verhalten.

2. In einem unendlichdimensionalen Hilbertraum H hat ein Operator T ∈ ℒ (H) nicht notwendig Eigenwerte. Man betrachtet statt dessen das Spektrum σ(T) des Operators. Im allg. macht es nur Sinn, das Spektrum für Operatoren auf komplexen Banachräumen zu untersuchen. Das Haupthilfsmittel zur Untersuchung des Spektrums liefert die Theorie der komplex analytischen Funktionen, also die Funktionentheorie.

3. Eine einfache Ausnahme bilden die selbstadjungierten Operatoren, deren Spektrum immer reell ist. Für diese Klasse von Operatoren erhält man mit den Techniken des Hilbertraumes und Methoden der reellen Analysis wie Maß und Integrationstheorie viel stärkere Resultate, die sowohl auf reellen wie komplexen Hilberträumen gelten.

Daher definieren wir für diesen Fall:

2.4.8 Def. (Spektrum selbstadj. Operatoren) Es sei H ein Hilbertraum und T = T^{∗} ∈ ℒ(H).

(i) Die Menge

ρ(T) = {λ ∈ 𝕂 | exist. (λ id_{H} −T)^{−1} ∈ ℒ(H)}.

heißt die Resolventenmenge von T.

(ii) Das Komplement der Resolventenmenge heißt das Spektrum σ(T) von T:

σ(T) := {λ ∈ 𝕂 | λ ∉ ρ(T)}.

(iii) Die Abbildung

R(., T) : ρ(T) → ℒ(E),
R(λ, T) = (λ id_{E} −T)^{−1}

heißt die Resolvente von T.

Anmerkung. (Spektrum und Resolventenm.) 1. Das Spektrum einer selbstadjungierten Matrix A ∈ M_{n} ist die Menge {λ_{1}, …, λ_{k}} der verschiedenen Eigenwerte von A. Feinheiten, wie die Vielfachheit eines Eigenwertes werden durch den Begriff Spektrum nicht erfaßt. Bekanntlich sind alle Eigenwerte reell. Die Resolventenmenge ist 𝕂 \ {λ_{1}, …, λ_{k}}.

2. Man formuliert die Ergebnisse bevorzugt als Aussagen über das Spektrum. Das führt meistens zu kürzeren und einfacheren Formulierungen.

2.4.9 Lemma (Spektrum selbstadj. Op. reell) Es sei H ein komplexer Hilbertraum und T = T^{∗} ∈ ℒ(H). Dann ist

|Im λ|∥x∥ ≤ ∥(λ id_{H} −T)x∥ für x ∈ H.

Das Spektrum von T ist reell.

Beweis. Für x ∈ H ist

|Im λ|∥x∥^{2} = |Im⟨(λ id_{H} −T)x, x⟩|
≤ ∥(λ id_{H} −T)x∥∥x∥

Für Im λ ≠ 0 ist also λ id_{H} −T nach unten beschränkt:

|Im λ|∥x∥ ≤ ∥(λ id_{H} −T)x∥ für x ∈ H.

und normal. Nach Folgerung 2.3.5 existiert die Inverse (λ id_{H} −T)^{−1} ∈ ℒ(H).

2.4.10 Festst. (Resolventenmenge offen) Es sei H ein Hilbertraum und T = T^{∗} ∈ ℒ(H). Dann ist die Resolventenmenge ρ(T) offen 𝕂.

Beweis. 1. Wir zeigen, daß ρ(T)∩ℝ offen in ℝ ist. Es sei μ ∈ ρ(T) ∩ ℝ und ohne Einschränkung sei μ = 0 (siehe Bem. 2.4.14). Da T invertierbar ist, ist auch T^{2} invertierbar in ℒ(H). Nach Satz 2.4.7 (ii) gibt es ein c > 0, so daß

c^{2} id_{H} ≤ T^{2}

ist. Für 0 ≤ λ < c ist

(c^{2} − λ^{2}) id_{H} ≤ T^{2} − λ^{2} id_{H}

und folglich existiert (T^{2} − λ^{2} id_{H})^{−1} ∈ ℒ(H) (siehe Satz 2.4.7 (ii)).

Aus der Gleichung (T +λ id_{H})(T −λ id_{H}) = T^{2}−λ^{2} id_{H} folgt nun

(T + λ id_{H})(T − λ id_{H})(T^{2} − λ^{2} id_{H})^{−1} = id_{H} .

Da alle Faktoren kommutieren, existiert die Inverse (T ± λ id_{H})^{−1} ∈ ℒ(H).

Insgesamt gilt: Wenn μ = 0 ∈ ρ(T) ist, so gibt es ein c > 0 derart, daß das offene Intervall (−c, c) ⊂ ρ(T) ist.

2. Nach Lemma 2.4.9 ist σ(T) ⊂ ℝ. Da ℝ \ σ(T) offen in ℝ ist, ist σ(T) eine abgeschlossen Teilmenge von ℝ. Also ist ρ(T) = 𝕂 \ σ(T) offen in 𝕂.

Anmerkung. Mit einer analogen Überlegung folgt auch, daß für einen normalen Operator die Resolventenmenge offen ist. Mit der Neumannschen Reihe zeigt man, daß die Resolventenmenge grundsätzlich offen ist (siehe Satz E.1.3).

2.4.11 Lemma (Inverse eines pos. Op) Es seien H ein Hilbertraum, 0 ≤ T ∈ ℒ(H). Wenn T invertierbar ist, so ist T^{−1} ∈ BAlg(T, id_{H}).

Beweis. Ohne Einschränkung sei ∥T ∥ ≤ 1. Da T^{−1} ∈ ℒ(H) existiert, gibt es nach Satz 2.4.7 (ii) ein c > 0, so daß c id_{H} ≤ T ist. Aus c id_{H} ≤ T ≤ id_{H} folgt

0 ≤ id_{H} −T ≤ (1 − c) id_{H}

und ∥id_{H} −T ∥ ≤ (1 − c) < 1. Entwickelt man die Inverse in eine Neumansche Reihe (siehe Satz B.2.7), so folgt

T^{−1} = (id_{H} −(id_{H} −T))^{−1}

= ∑_{n=0}^{∞}(id_{H} −T)^{n} ∈ BAlg(T, id_{H}).

2.4.12 Festst. (Inverse in C^{∗}-Algebra) Es seien H ein Hilbertraum, T ∈ ℒ(H) habe eine Inverse T^{−1} ∈ ℒ(H). Dann liegt T^{−1} ∈ C^{∗}(T, id_{H}).

Beweis. Wenn T invertierbar ist, so ist auch T^{∗}T invertierbar und nach Lemma 2.4.11 ist (T^{∗}T)^{−1} ∈ BAlg(T^{∗}T, id_{H}) ⊂ C^{∗}(T, id_{H}). Also ist

T^{−1} = (T^{∗}T)^{−1}T^{∗} ∈ C^{∗}(T, id_{H}).

2.4.13 Bem. (Resolvente in BAlg(T, id_{H})) Es seien H ein Hilbertraum, T = T^{∗} ∈ ℒ(H) und λ ∈ ρ(T). Dann ist die Resolvente R(λ, T) = (λ id_{H} −T)^{−1} ∈ BAlg(T, id_{H}).

Anmerkung. Für invertierbare normale T ∈ ℒ (H) ist die Inverse T^{−1} i. allg. nicht in BAlg(T, id_{H}), wohl aber in der erzeugten C^{∗}-Algebra C^{∗}(T, id_{H}) (siehe Bsp. E.3.5).

Beweis. Nach Feststellung 2.4.12 ist die Resolvente

R(λ, T) ∈ C^{∗}(λ id_{H} −T, id_{H}) = C^{∗}(T, id_{H}).

Da T = T^{∗} ist, ist C^{∗}(T, id_{H}) = BAlg(T, id_{H}).

Anmerkung. Wir untersuchen zunächst das Spektrum positiver Operatoren. Die Beweise sind hierfür etwas kürzer und die Aussagen werden häufig in dieser Form gebraucht.

Den allgemeinen Fall selbstadjungierter Operatoren T = T^{∗} ∈ ℒ (H) führen wir auf den positiven Fall zurück, indem wir aT + b id_{H} mit a = ±1 und passendem b betrachten, so daß dieser verschobene Operator positiv wird. Dabei wird das Spektrum entsprechend transformiert:

2.4.14 Bem. (Verschiebung des Spektrums) Für Konstanten a, b ∈ ℝ gilt

σ(aT + b id_{H}) = aσ(T) + b.

Beweis.

2.4.15 Lemma (Charakterisierung positiver Op.) Es sei H ein Hilbertraum und T = T^{∗} ∈ ℒ(H). Dann sind äquivalent:

(a) T ≥ 0.

(b) Für alle λ > 0 existiert (λ id_{H} +T)^{−1} ∈ ℒ(H).

Beweis. (a) ⇒ (b: ) Für λ > 0 ist

λ∥x∥^{2} ≤ ⟨(λ id_{H} +T)x, x⟩ für x ∈ H.

Nach Satz 2.4.7 (ii) existiert (λ id_{H} +T)^{−1} ∈ ℒ(H).

(b) ⇒ (a) Es ist sicher ∥T ∥ id_{H} +T ≥ 0 (siehe Satz 2.4.2). Man bilde

λ_{0} := inf{λ | λ id_{H} +T ≥ 0}

Annahme: λ_{0} > 0. Dann existiert nach Voraussetzung (λ_{0} id_{H} +T)^{−1} ∈ ℒ(H). Nach Satz 2.4.7 (ii) gibt es ein c > 0 so daß

c id_{H} ≤ λ_{0} id_{H} +T

ist. D.h. (λ_{0} − c) id_{H} +T ≥ 0 im Widerspruch zur Wahl von λ_{0}. Also ist λ_{0} ≤ 0 und somit ist T ≥ 0.

2.4.16 Satz (Spektrum eines pos. Op.) Es sei H ein Hilbertraum und T ∈ ℒ(H) eine positiver Operator.

(i) Das Spektrum σ(T) liegt im Intervall [0, ∥T ∥].

(ii) Es ist ∥T ∥ ∈ σ(T).

(iii) Die größte untere Schranke von T ist der kleinste Wert im Spektrum:

min σ(T) = max{c ≥ 0 | c id_{H} ≤ T }
= max{c ≥ 0 | c∥x∥ ≤ ∥T x∥ für x ∈ H}

Anmerkung. Wenn 0 ≤ T ∈ ℒ (H) nicht injektiv ist, so betrachte man statt der größten unteren Schranke den Minimalmodul γ(T) (siehe Abschn. 2.3.2).

Es sind 0 ∈ σ(T) und der Minmalmodul γ(T) ∈ σ(T). Es gilt

σ(T) ⊂ {0} ∪ [γ(T), ∥T ∥].

Für den Minmalmodul gilt:

γ(T) = max{c ≥ 0 | cP_{(Kern T)^{⊥}} ≤ T }.

Beweis. Es sei 0 ≤ T ∈ ℒ(H).

(i) 1. Nach Lemma 2.4.9 ist σ(T) ⊂ ℝ.

2. Für λ < 0 ist T −λ id_{H} invertierbar in ℒ(H) und somit λ ∉ σ(T) (siehe Lemma 2.4.15). Also ist σ(T) ⊂ [0, ∞).

3. Es sei λ > ∥T ∥: Nach Satz 2.4.2 ist ∥T ∥ id_{H} −T ≥ 0. Also ist λ id_{H} −T nach unten beschränkt:

λ id_{H} −T = (λ − ∥T ∥) id_{H} +(∥T ∥ id_{H} −T)
≥ (λ − ∥T ∥) id_{H}

Nach Satz 2.4.7 (ii) existiert (λ id_{H} −T)^{−1} ∈ ℒ(H) und λ ∉ σ(T).

Insgesamt folgt σ(T) ⊂ [0, ∥T ∥].

(ii) Nach Satz 2.4.2 ist

∥T ∥ = min{c ≥ 0 | 0 ≤ T ≤ c id_{H}},

Es ist also ∥T ∥ id_{H} −T ≥ 0 und für alle ε > 0 ist

ε id_{H} ≰ ∥T ∥ id_{H} −T.

Da der positive Operator ∥T ∥ id_{H} −T nicht nach unten beschränkt ist, ist er nicht invertierbar (siehe Satz 2.4.7 (ii)). D. h., ∥T ∥ ∈ σ(T).

(iii) Es sei c_{0} = max{c ≥ 0 | c id_{H} ≤ T }.

1. Dann ist 0 ≤ T − c_{0} id_{H} und für alle ε > 0 ist

ε id_{H} ≰ T − c_{0} id_{H} .

Da der positive Operator T − c_{0} id_{H} nicht nach unten beschränkt ist, ist er nicht invertierbar (siehe Satz 2.4.7 (ii)). Also ist c_{0} ∈ σ(T).

2. Wenn λ ∈ σ(T), so ist (siehe Satz 2.4.7 (ii)):

ε id_{H} ≰ T − λ id_{H} für alle ε > 0.

D. h., für alle ε > 0 ist

(λ + ε) id_{H} ≰ T.

Folglich ist c_{0} ≤ λ.

Insgesamt folgt also c_{0} = min σ{λ | λ ∈ (T)}.

2.4.17 Satz (Spektrum selbstadj. Op.) Es sei H ein Hilbertraum, T = T^{∗} ∈ ℒ(H)

(i) die Zahlen

λ_{min} := inf{ ⟨T x, x⟩ | x ∈ H, ∥x∥ = 1}
λ_{max} := sup{ ⟨T x, x⟩ | x ∈ H, ∥x∥ = 1}

liegen im Spektrum σ(T) und es gilt

σ(T) ⊂ [λ_{min}, λ_{max}].

Insbesondere liegt σ(T) ⊂ [−∥T ∥, ∥T ∥] und mindestens einer Werte −∥T ∥, ∥T ∥ liegt im Spektrum.

(ii) Das Spektrum σ(T) ist kompakt.

Anmerkung. Man vergleiche den obigen Satz 2.4.17 und seinen Beweis mit den Resultaten über das Spektrum belieger beschränkter Operatoren auf Banachräumen (siehe Satz E.1.3 und Satz E.1.5).

Beweis. (i) Der Operator T_{0} := T − λ_{min} id_{H} ist positiv und seine größte untere Schranke ist c_{0} = 0:

0 = inf{ ⟨(T − λ_{min} id_{H})x, x⟩ | x ∈ H, ∥x∥ = 1}.

Nach Folgerung 2.4.16 (iii) ist

0 = min{c ≥ 0 | c id_{H} ≤ T_{0}} = min σ(T_{0}).

Aus σ(T_{0}) = σ(T) − λ_{min} folgt nun λ_{min} = min σ(T). Da T_{1} := λ_{max} id_{H} −T ≥ 0 ist, folgt ebenso, daß

0 = min σ(T_{1})

ist. Aus σ(T_{1}) = λ_{max}−σ(T) folgt nun λ_{max} = max σ(T). Nach Satz 2.4.2 ist ∥T ∥ = max{|λ_{min}|, |λ_{max}|}

(ii) Nach Feststellung 2.4.10 ist das Spektrum eines selbstadjungierten Operators abgeschlossen. Das Spektrum σ(T) ist beschränkt und somit kompakt.

2.5 Wurzel und Betrag

2.5.1 Wurzel eines positiven Operators

Anmerkung. (Potenzreihe der Wurzelfunktion) Wie in der reellen Analysis werden wir die Quadratwurzel aus einem positiven Operator mit Hilfe der Binomialreihe berechnen. Hier ist die bekannte Gestalt der Binomialreihe für den Exponenten \frac{1}{2} .

1. Die Binomialkoeefizienten \binom{λ}{n} mit gebrochenem λ ∈ R sind definiert als \binom{λ}{0} = 1 und

\binom{λ}{n} := ∏_{ν=0}^{n−1} \frac{λ − ν}{ν + 1} = \frac{λ(λ − 1) ⋯ (λ − (n − 1))}{n!} (n ∈ ℕ).

2. Die Wurzelfunktion hat um den Punkt 1 die Taylorreihe

\sqrt{1 − x} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}\binom{1/2}{n}x^{n}

= 1 − \frac{x}{2} − \frac{x^{2}}{8} − \frac{x^{3}}{16} − \frac{5x^{4}}{128} ⋯ für |x| ≤ 1.

Der Konvergenzradius ist R = 1. Sie konvergiert auch in den Endpunkten des Konvergenzintervalls [−1, 1].

Insbesondere gilt

0 = \sqrt{1 − 1} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}\binom{1/2}{n}1^{n} = 1 − ∑_{n=1}^{∞}|\binom{1/2}{n}|.

Die Wurzelreihe konvergiert absolut und gleichmäßig auf dem Intervall [−1, 1].

Wir zählen in dem folgenden Lemma die Eigenschaften der Wurzelreihe auf, die wir für die Konstruktion im Satz 2.5.2 benötigen.

2.5.1 Lemma (Wurzelreihe) (i) Die Funktion \sqrt{1 − x} hat die Potenzreihenentwicklung

\sqrt{1 − x} = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}x^{n} für |x| ≤ 1.

(ii) Für die Koeffizienten gilt

c_{0} = 1 und c_{n} < 0 für n ∈ ℕ.

(iii) Insbesondere gilt

0 = \sqrt{1 − 1} = ∑_{n=0}^{∞} c_{n} = 1 − ∑_{n=1}^{∞}|c_{n}|.

Die Reihe konvergiert absolut in der sup-Norm auf dem Intervall [−1, 1].

(iv) Aus der Cauchyschen Produktformel

1 − x = \sqrt{1 − x}^{2} = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} c_{k}c_{n−k})x^{n}

folgt durch Koeffizientenvergleich

∑_{k=0}^{n} c_{k}c_{n−k} = \begin{cases}1 & für n = 0, \\ −1 & für n = 1, \\ 0 & für n = 2, 3 …, \end{cases}

2.5.2 Satz (Wurzel eines positiven Op.) Es seien H ein Hilbertraum und 0 ≤ T ∈ ℒ(H).

(i) Es gibt einen eindeutig bestimmten positiven Operator S ∈ ℒ(H) mit S^{2} = T.

Man bezeichnet T^{1/2} = \sqrt{T} := S und nennt T^{1/2} die Wurzel von T.

(ii) Wenn ein Operator R ∈ ℒ(H) mit T vertauscht, dann vertaucht R auch mit der Wurzel T^{1/2}:

RT = T R ⇒ RT^{1/2} = T^{1/2}R.

Beweis. 1. Es sei zunächst 0 ≤ T ≤ id_{H}.

Wir zeigen: Setzt man in die Potenzreihe \sqrt{1 − x} = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}x^{n} (siehe Lemma 2.5.1) für x den Operator id_{H} −T ein, so erhält man eine absolut konvergente Reihe in ℒ(H). Der durch diese Reihe definierte Operator S ∈ ℒ(H) ist positiv und erfüllt S^{2} = T:

Nach Satz 2.4.2 folgt aus 0 ≤ T ∈ Ball(H), daß 0 ≤ T ≤ id_{H} ist. Also ist 0 ≤ id_{H} −T ≤ id_{H} und somit

∥id_{H} −T ∥ ≤ 1.

Nach Lemma 2.5.1 (iii) konvergiert die Reihe

∑_{n=0}^{∞}|c_{n}| ∥id_{H} −T ∥^{n} < ∞.

absolut und die Reihe

S := ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(id_{H} −T)^{n} ∈ ℒ(H)

konvergiert in der Norm.

Wir zeigen, daß S > 0 ist: Nach Definition von S und Lemma 2.5.1 (iii) folgt

⟨Sx, x⟩ = c_{0}⟨x, x⟩ + ∑_{n=1}^{∞} \underbrace{c_{n}}_{< 0} \underbrace{⟨(id_{H} −T)x, x⟩}_{0 ≤ · ≤ ⟨x, x⟩}

≥ ( \underbrace{c_{0} + ∑_{n=1}^{∞} c_{n}}_{= \sqrt{1 − 1} = 0} )⟨x, x⟩ = 0

Wir zeigen S^{2} = T: Für das Quadrat von S gilt

S^{2} = ( ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}c_{n}(id_{H} −T)^{n})^{2}

= ∑_{n=0}^{∞} ∑_{k=0}^{∞} c_{n}c_{k}(id_{H} −T)^{n+k}

Da die Reihe absolut konvergent ist, kann man die Doppelsume wie in der Cauchyschen Produktformel umsortieren:

S^{2} = ∑_{n=0}^{∞} ∑_{k=0}^{n} c_{k}c_{n−k}(id_{H} −T)^{n}.

Aus den Summenformeln für die Koeffizienten (siehe Lemma 2.5.1 (iv)) folgt

S^{2} = id_{H} −(id_{H} −T) = T.

2. Wir zeigen die Vertauschungsrelation für S: Es sei R ∈ ℒ(H) und es gelte RT = T R. Induktiv folgt dann

RT^{n} = T RT^{n−1} = ⋯ = T^{n}R für n ∈ ℕ.

Da R linear und stetig ist, gilt

RS = lim_{n→∞} ∑_{ν=0}^{n} c_{ν}RT^{ν} = lim_{n→∞} ∑_{ν=0}^{n} c_{ν}T^{ν}R = SR.

3. Im Fall, daß ∥T ∥ > 1 bilde man

T_{1} := ∥T ∥^{−1}T

und wie in (1.)

S_{1} := ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(id_{H} −T_{1})^{n}.

und setze S := ∥T ∥^{1/2}S_{1}.

Dann ist 0 ≤ S und S^{2} = T. Jeder Operator R ∈ ℒ(H), der mit T vertauscht, vertauscht nach (2.) auch mit dem so konstruierten Operator S.

4. Wir zeigen nun die Eindeutigkeit der positiven Wurzel: Es sei S die oben in (1.) bzw. (3.) konstruierte Wurzel. Annahme: Es sei 0 ≤ R ∈ ℒ(H) mit R^{2} = T. Da RT = R^{3} = T R ist, ist nach (2.) bzw (3.) RS = SR. Nach Satz 2.1.6 ist

0 ≤ (S − R)S(S − R) und 0 ≤ (S − R)R(S − R).

Addiert man diese beiden Ungleichungen, so folgt

0 ≤ (S − R)S(S − R) + (S − R)R(S − R)

= (S − R)(S + R)(S − R)

= (S^{2} − R^{2})(S − R) = 0.

Da die beiden Summanden positiv sind, folgt

(S − R)S(S − R) = 0 und (S − R)R(S − R) = 0.

Subtrahiert man diese beiden Gleichungen, so folgt

(S − R)^{3} = (S − R)S(S − R) − (S − R)R(S − R) = 0

und (S − R)^{4} = 0. Aus der C^{∗}-Gleichung (siehe Feststellung 2.1.2 (iii)) folgt nun

∥S − R∥^{4} = ∥(S − R)^{2}∥^{2} = ∥y(S − R)^{4}∥ = 0.

Also ist R = S.

Anmerkung. (erzeugte B-Algebra BAlg(T)) Für einen Operator T bilden die Polynome p(T) ohne konstanten Term eine Algebra Alg(T). Der Normabschluß BAlg(T) von Alg(T) ist eine Banachunteralgebra von ℒ (H). Man beachte, daß i. allg. id_{H} nicht in BAlg(T) liegt. (siehe Bez. B.2.5).

2.5.3 Bem. (T^{1/2} ∈ BAlg_{ℝ}(T)) Es seien H ein Hilbertraum und 0 ≤ T ∈ ℒ(H). Dann liegt die Wurzel T^{1/2} ∈ BAlg_{ℝ}(T). D. h., man kann T^{1/2} durch Polynome P (T) mit reellen Koeffizienten und ohne konstanten Term approximieren.

Beweis. 1. Im Fall 0 ≤ T ≤ id_{H} ist 0 ≤ id_{H} −T ≤ id_{H} und somit

0 ≤ id_{H} −(id_{H} −T)^{n} ≤ id_{H}

(siehe Folg. 2.4.6). Da die Wurzelreihe absolut konvergent ist folgt mit Lemma 2.5.1 (iii)

T^{1/2} = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(id_{H} −T)^{n} = ∑_{n=1}^{∞} c_{n}((id_{H} −T)^{n} − id_{H})

Da (id_{H} −T)^{n}−id_{H} = ∑_{ν=1}^{n}(−T)^{ν} ∈ Alg(T) ist, ist T^{1/2} ∈

BAlg(T).

2. Der allgemeinen Fall folgt nun aus (i) und der Eindeutigkeit der Wurzel:

T^{1/2} = ∥T ∥^{1/2}(∥T ∥^{−1}T )^{1/2} ∈ BAlg(T).

2.5.4 Folg. (Einige Potenzgesetze) (i) Es seien H ein Hilbertraum. 0 ≤ T ∈ ℒ(H) habe eine beschränkte Inverse T^{−1} ∈ ℒ(H). Dann ist T^{1/2} invertierbar und es gilt

(T^{−1})^{1/2} = (T^{1/2})^{−1}.

Wir bezeichnen den gemeinsamen Wert mit T^{−1/2}.

(ii) Für n ∈ ℤ gilt

(T^{n})^{1/2} = (T^{1/2})^{n} = (T^{−1/2})^{−n} = (T^{−n})^{−1/2}.

Wir bezeichnen den gemeinsamen Wert mit T^{n/2}.

Beweis. (i) Es sei 0 ≤ T ∈ ℒ(H) habe eine Inverse T^{−1} ∈ ℒ(H). Nach Satz 2.4.7 (i) ist T^{−1} positiv und nach Satz 2.5.2 gibt es die eindeutig bestimmte positive Wurzel

(T^{−1})^{1/2}.

Der Operator T^{1/2} vertauscht mit T^{−1} und somit vertauschen T^{1/2} und (T^{−1})^{1/2}. Es ist

(T^{1/2}(T^{−1})^{1/2})^{2} = T T^{−1} = id_{H} = id_{H}^{2}

und ebenso ((T^{−1})^{1/2}T^{1/2})^{2} = id_{H}^{2} Da die positive Wurzel nach eindeutig bestimmt ist, folgt

T^{1/2}(T^{−1})^{1/2} = (T^{−1})^{1/2}T^{1/2} = id_{H} .

Also ist (T^{1/2})^{−1} = (T^{−1})^{1/2}.

(ii) Nach Satz 2.4.5 sind für n ∈ ℕ:

(T^{n})^{1/2} und (T^{1/2})^{n}

positive Wurzeln aus T^{n}. Aus der Eindeutigkeit der Wurzel folgt (T^{n})^{1/2} = (T^{1/2})^{n} für n ∈ ℕ. Aus Teil (i) folgt nun für n ∈ ℕ:

(T^{−1/2})^{n} = ((T^{1/2})^{−1})^{n}

= (T^{1/2})^{−n} = ((T^{1/2})^{n})^{−1} = ((T^{n})^{1/2})^{−1}

= (T^{n})^{−1/2} = ((T^{n})^{−1})^{1/2} = (T^{−n})^{1/2}.

Invertiert man diese Gleichungen nochmal, so erhält man für −n die analogen Gleichungen:

(T^{−1/2})^{−n} = (T^{1/2})^{n} = (T^{n})^{1/2} = (T^{−n})^{−1/2} (∗)

Also gilt (∗) für ±n. Für n = 0 ist (∗) sicher richtig. Also gilt (∗) für alle n ∈ ℤ.

Anmerkung. Man kann nun T^{1/4} := (T^{1/2})^{1/2} und induktiv T^{2^{−n}} bilden und entsprechende Potenzgesetze herleiten. Wir unterlassen dies an dieser Stelle, da wir später mit dem Spektralsatz einen einfacheren Zugang zur Potenzfunktion erhalten. Wir leiten nur noch einige Regeln für die 4-te Wurzel her, die wir im Beweis zu Satz 2.5.10 benötigen.

2.5.5 Lemma (4-te Wurzel) (i) Es seien H ein Hilbertraum und 0 ≤ T ∈ ℒ(H). Der Operator T^{1/4} := (T^{1/2})^{1/2} ist der eindeutig bestimmte positive Operator, für den (T^{1/4})^{4} = T gilt.

(ii) Hat T eine beschränkte Inverse T^{−1} ∈ ℒ(H) so ist T^{1/4} invertierbar und es gilt (T^{1/4})^{−1} = (T^{−1})^{1/4}. Wir bezeichnen den gemeinsamen Wert mit T^{−1/4}.

Es gilt also (T^{−1/4})^{2} = T^{−1/2}.

Beweis. (i) Es sei 0 ≤ T ∈ ℒ(H) und T^{1/4} := (T^{1/2})^{1/2}. Offensichtlich gilt

(T^{1/4})^{4} = ((T^{1/4})^{2})^{2} = (T^{1/2})^{2} = T.

Wir zeigen die Eindeutigkeit: Wenn 0 ≤ S ∈ ℒ(H) und S^{4} = (S^{2})^{2} = T ist, so folgt aus der Eindeutigkeit der Wurzel S^{2} = T^{1/2} und weiter S = (T^{1/2})^{1/2} (siehe Satz 2.5.2) (i).

(ii) T^{1/4} vertauscht mit T^{−1} und somit vertauschen T^{1/4} und (T^{−1})^{1/4}. Es ist

(T^{1/4}(T^{−1})^{1/4})^{4} = T T^{−1} = id_{H} = id_{H}^{4}

und ebenso ((T^{−1})^{1/4}T^{1/4})^{4} = id_{H}^{4} Da die positive 4-te Wurzel nach (i) eindeutig bestimmt ist, folgt

T^{1/4}(T^{−1})^{1/4} = (T^{−1})^{1/4}T^{1/4} = id_{H} .

Also ist (T^{1/4})^{−1} = (T^{−1})^{1/4}.

2.5.2 Monotonie: Wurzel und Inverse

2.5.6 Festst. Es seien H ein Hilbertraum und S, T ∈ ℒ(H) und es existiere T^{−1} ∈ ℒ(H). Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) 0 ≤ S ≤ T.

(b) 0 ≤ T^{−1/2}ST^{−1/2} ≤ id_{H}.

(c) 0 ≤ S^{1/2}T^{−1}S^{1/2} ≤ id_{H}.

(d) ∥T^{−1/2}S^{1/2}∥ ≤ 1

Beweis. (a) ⇒ (b): Nach Vorraussetzung ist 0 ≤ T − S. Nach den Rechenregeln für T^{−1/2} (siehe Folg. 2.5.4 und Satz 2.1.6 (ii)) folgt

0 ≤ T^{−1/2}(T − S)T^{−1/2} = id_{H} −T^{−1/2}ST^{−1/2}.

und somit T^{−1/2}ST^{−1/2} ≤ id_{H}.

(b) ⇒ (c): Aus

0 ≤ (S^{1/2}T^{−1/2})^{∗}(S^{1/2}T^{−1/2}) = T^{−1/2}ST^{−1/2} ≤ id_{H}

folgt nach Satz 2.1.6 (iv)

0 ≤ S^{1/2}T^{−1}S^{1/2} = (S^{1/2}T^{−1/2})(S^{1/2}T^{−1/2})^{∗} ≤ id_{H} .

(c) ⇒ (d): Aus

0 ≤ (S^{1/2}T^{−1/2})(S^{1/2}T^{−1/2})^{∗} = S^{1/2}T^{−1}S^{1/2} ≤ id_{H} .

folgt nach Satz 2.1.6 (ii)

∥T^{−1/2}S^{1/2}∥ ≤ 1

2.5.7 Satz (Monotonie der Inversen) Es seien H ein Hilbertraum und S, T ∈ ℒ(H). Wenn 0 ≤ S ≤ T ist, und S eine Inverse S^{−1} ∈ ℒ(H) hat, dann existiert T^{−1} ∈ ℒ(H) und es gilt

0 ≤ T^{−1} ≤ S^{−1}.

Beweis. 1. Nach Satz 2.4.7 (ii) gibt es ein c > 0, so daß

c∥x∥^{2} ≤ ⟨Sx, x⟩ ≤ ⟨T x, x⟩ für x ∈ H

gilt. Nach Satz 2.4.7 (i) hat T eine beschränkte Inverse T^{−1}. Nach Satz 2.4.7 ist 0 ≤ T^{−1}.

2. Aus 0 ≤ S ≤ T folgt mit Feststellung 2.5.6 (c):

0 ≤ S^{1/2}T^{−1}S^{1/2} ≤ id_{H} .

Multipliziert man von beiden Seiten mit S^{−1/2}, so folgt aus den Rechenregeln für S^{−1/2} (siehe Folg. 2.5.4) und Satz 2.1.6 (i))

0 ≤ T^{−1} ≤ S^{−1}.

Anmerkung. Das folgende Lemma ist ein Spezialfall von Satz 2.5.10. Seine Folgerung 2.5.9 wird aber zum Beweis dieses Satzes gebraucht.

2.5.8 Lemma Es seien H ein Hilbertraum und S, T ∈ ℒ(H) mit ST = T S. Dann gilt

0 ≤ S ≤ T ⇒ 0 ≤ S^{1/2} ≤ T^{1/2}.

Beweis. Für ε > 0 ist ε id_{H} ≤ T^{1/2} + S^{1/2} + ε id_{H} und folglich existiert (T^{1/2} + S^{1/2} + ε id_{H})^{−1} ≥ 0 (siehe Satz 2.4.7).

Da S^{1/2} und T^{1/2} vertauschen gilt

(T^{1/2} + S^{1/2} + ε id_{H})(T^{1/2} − S^{1/2} + ε id_{H})

= (T − S) + 2εT^{1/2} + ε^{2} id_{H} ≥ 0

Multipliziert man mit dem positiven Operator (T^{1/2} + S^{1/2} + ε id_{H})^{−1} so folgt nach Satz 2.4.5

T^{1/2} − S^{1/2} + ε id_{H} ≥ 0 für ε > 0.

Da ℒ(H) archimedisch geordnet ist, ist T^{1/2} − S^{1/2} ≥ 0.

2.5.9 Folg. Es sei H ein Hilbertraum und 0 ≤ T ∈ ℒ H). Für alle ε > 0 gilt

T^{1/2} ≤ (T + ε id_{H})^{1/2} ≤ T^{1/2} + ε^{1/2} id_{H} .

Beweis. 1. Es sei 0 ≤ T ∈ ℒ(H) und ε > 0.

Aus 0 ≤ T ≤ T + ε id_{H} folgt T^{1/2} ≤ (T + ε id_{H})^{1/2} (siehe Lemma 2.5.8).

2. Die zweite Abschätzung folgt mit einem analogen Schluß: Da

0 ≤ (T + ε id_{H}) ≤ (T + 2ε^{1/2}T^{1/2} + ε id_{H})

folgt mit Lemma 2.5.8

(T + ε id_{H})^{1/2} ≤ (T + 2ε^{1/2}T^{1/2} + ε id_{H})^{1/2}
= (T^{1/2} + ε^{1/2} id_{H}).

2.5.10 Satz (Monotonie der Wurzel) Es sei H ein Hilbertraum. Die Quaratwurzel ℒ(H)_{+} ∋ T ↦ T^{1/2} ist monoton wachsend. D.h., für S, T ∈ ℒ(H) gilt:

0 ≤ S ≤ T ⇒ 0 ≤ S^{1/2} ≤ T^{1/2}.

Beweis. 1. Wir behandeln zunächst den Fall 0 ≤ S ≤ T und T^{−1} ∈ ℒ(H): Wir zeigen in diesem Fall die Abschätzung:

∥T^{−1/4}S^{1/2}∥^{2} = ∥T^{−1/4}S^{1/2}T^{−1/4}∥ ≤ 1.

Nach Feststellung 2.5.6 (d), (a) folgt hieraus

S^{1/2} = (S^{1/4})^{2} ≤ (T^{1/4})^{2} = T^{1/2}.

Da 0 ≤ S ≤ T ist, ist nach Feststellung 2.5.6 (d)

∥S^{1/2}T^{−1/2}∥ = ∥T^{−1/2}S^{1/2}∥ ≤ 1.

Für n ∈ ℕ erhalten wir hiermit^{3}:

∥T^{−1/4}S^{1/2}T^{−1/4}∥^{2^{n}}
= ∥(T^{−1/4}S^{1/2}T^{−1/4})^{2^{n}}∥
= ∥T^{−1/4}(S^{1/2}T^{−1/2})^{2^{n−1}}S^{1/2}T^{−1/4}∥

≤ ∥T^{−1/4}∥ ∥(S^{1/2}T^{−1/2})^{2^{n−1}}∥ ∥S^{1/2}∥ ∥T^{−1/4}∥

= ∥T^{−1/2}∥ ∥S^{1/2}∥ ∥S^{1/2}T^{−1/2}∥^{2^{n−1}}
≤ ∥T^{−1/2}∥ ∥S^{1/2}∥

Für n → ∞ folgt hieraus

∥T^{−1/4}S^{1/2}T^{−1/4}∥ ≤ lim_{n→∞} (∥T^{−1/2}∥ ∥S^{1/2}∥)^{2^{−n}} ≤ 1.

2. Für ε > 0 und 0 ≤ T ∈ ℒ(H) ist 0 ≤ T + ε id_{H} invertierbar (siehe Satz 2.4.7). Es sei 0 ≤ S ≤ T. Nach Teil 1. des Beweises gilt dann:

(S + ε id_{H})^{1/2} ≤ (T + ε id_{H})^{1/2}.

Nach Folgerung 2.5.9 folgt

S^{1/2} ≤ (S+ε id_{H})^{1/2} ≤ (T +ε id_{H})^{1/2} ≤ T^{1/2} + ε^{1/2} id_{H} .

Da ε > 0 beliebig ist, erhalten wir S^{1/2} ≤ T^{1/2}.

Anmerkung. Es sei 0 ≤ t ∈ ℝ. Die Wurzel t^{1/2} ist die eindeutig bestimmte nichtnegative Nullstelle s der Funktion x ↦ x^{2} − t. Das Newtonverfahren zur Bestimmung dieser Nullstelle ergibt das Iterationsverfahren

s_{0} := 1
s_{n+1} := \frac{1}{2} (s_{n} + \frac{t}{s_{n}} ) für n ∈ ℕ_{0}.

Da die Parabel x^{2} − t strikt konvex ist, konvergiert die Folge (s_{n})_{n=1}^{∞} strikt monoton fallend gegen einen Grenzwert s ≥ 0. Für diesen gilt s^{2} − t = 0.

Da dies Verfahren zur Approximation der Wurzel bereits im Altertum bekannt war, nennt man es auch das Babylonische Wurzelziehen.

Die folgende Bemerkung zeigt, daß dies Iterationsverfahren auch für positive Operatoren gegen die Wurzel konvergiert. Zur Vereinfachung betrachten wir nur den Fall 0 ≤ T ≤ id_{H}.

Mit Hilfe dieser Approximation der Wurzel kann man ebenfalls zeigen, daß die Wurzelfunktion für Operatoren monoton wachsend ist (siehe Satz 2.5.10)

2.5.11 Bem. (Babylonisches Wurzelziehen) Es seien H ein Hilbertraum. Zu T ∈ ℒ(H) mit 0 ≤ T ≤ id_{H} bilde man iterativ:

f_{0}(T) := id_{H},
f_{n+1}(T) := \frac{1}{2}(f_{n}(T) + f_{n}(T)^{−1}T ) für n ∈ ℕ.

Die Funktionen f_{n} : T ↦ f_{n}(T) für 0 ≤ T ≤ id_{H} haben die folgenden Eigenschaften:

(i) f_{n+1} ist wohldefiniert, da für n ∈ ℕ_{0} gilt:

2^{−n} id_{H} ≤ f_{n}, und 0 ≤ (f_{n})^{−1}.

3 Man beachte bei der folgenden Rechnung: Aus der C^{∗}- Identität folgt

∥A∥^{2^{n}} = ∥A^{2^{n}}∥ für A = A^{∗} ∈ ℒ (H).

Gerd Wittstock, UdS, FR 6.1 Mathematik,  Lineare Operatoren auf dem Hilbertraum, WS 02/03  Version: 7. Februar 2003

(ii) Die Folge (f_{n})_{n} ist monoton fallend:

f_{n} − f_{n+1} = (2f_{n})^{−1}(f_{n} − f_{n−1})^{2} ≥ 0.

(iii) Die Folge (f_{n})_{n} konvergiert, da

0 ≤ f_{n} − f_{n+1} ≤ 2^{−(n+1)} id_{H} .

(iv) Es ist f_{0}(T) + ∑_{n=1}^{∞}(f_{n}(T) − f_{n−1}(T)) =

lim_{n→∞} f_{n}(T) = T^{1/2}.

Beweis. Man beachte, daß alle Funktionswerte f_{n}(T), f_{m}(T) miteinander und mit T vertauschen.

(i) Aus 2^{−0} id_{H} = f_{0} folgt induktiv

f_{n+1} = \frac{1}{2}(f_{n} + (f_{n})^{−1}T) ≥ \frac{1}{2}f_{n} ≥ 2^{−(n+1)} id_{H} .

(ii) Fur n ∈ ℕ gilt

f_{n} − f_{n+1} = f_{n} − 2^{−1}(f_{n} + (f_{n})^{−1}T)
= (2f_{n})^{−1}((f_{n})^{2} − T )  (∗)

= (2f_{n})^{−1}[(2f_{n−1})^{−2}((f_{n−1})^{2} + T))^{2} − T ]

\begin{matrix}= (2f_{n})^{−1}[(2f_{n−1})^{−2} \\ · \{((f_{n−1})^{2} + T )^{2} − 4(f_{n−1})^{2}T \}] \end{matrix}

= (2f_{n})^{−1}[(2f_{n−1})^{−1}((f_{n−1})^{2} − T )]^{2}

Die Formel (*) gilt auch für n = 0. Wendet man (∗) für n − 1 an, so erhält man:

f_{n} − f_{n+1} = (2f_{n})^{−1}[f_{n} − f_{n−1}]^{2}

Hieraus folgt mit der Abschätzung (i):

f_{n} − f_{n+1} ≤ 2^{n−1}[f_{n} − f_{n−1}]^{2}.  (∗∗)

(iii) Es ist f_{0} − f_{1} ≤ 2^{−1} id_{H}. Aus (∗∗) folgt nun induktiv:

f_{n} − f_{n+1} ≤ 2^{−(n+1)} id_{H} für n ∈ ℕ_{0}.

Da nach (iii) ∥f_{n} − f_{n−1}∥ ≤ 2^{−n} ist, konvergiert die Teleskopsumme

R = f_{0}(T) + ∑_{n=1}^{∞}(f_{n}(T) − f_{n−1}(T)) = lim_{n→∞} f_{n}(T).

(iv) Nach Definition der Folge (f_{n})_{n} ist

f_{n}(T)f_{n+1}(T) = \frac{1}{2}(f_{n}(T)^{2} + T )

und folglich R^{2} = \frac{1}{2}(R^{2} + T ) und somit R^{2} = T. Da R nach (i) positiv ist, ist R die eindeutig bestimmte Quadratwurzel T^{1/2}.

Anmerkung. Wir geben noch eine weiteren Beweis für die Monotonie der Quadratwurzel (siehe Satz 2.5.10):

Beweis. (von Satz 2.5.10) Der Beweis beruht darauf, daß die in Beispiel 2.5.11 definierte Funktion

f_{n} : T ↦ f_{n}(T),

in der Variablen T (0 ≤ T ≤ id_{H}), monoton wachsend ist. Dann ist auch die Grenzfunktion T^{1/2} = lim_{n→∞} f_{n}(T) monoton wachsend. Den allgemeinen Fall 0 ≤ S ≤ T kann man durch Skalieren auf die Situation 0 ≤ T ≤ id_{H} zurückführen.

1. Wir beschränken uns darauf, die Monotonie der f_{n} für invertierbare T zu zeigen. Hierzu führen wir die Hilfsfunktionfunktion

g_{n} : T ↦ f_{n}(T)^{−1}T

ein. Es ist f_{0}(T) = id_{H} und f_{n+1} = 1/2(f_{n} + g_{n}).

Nach Beispiel 2.5.11(i) existiert f_{n}(T)^{−1}. Da T invertierbar ist, ist auch g_{n}(T) invertierbar. Für die Inverse gibt es eine Rekursionsformel:

g_{n}(T)^{−1} = T^{−1}f_{n}(T)
= \frac{1}{2}(T^{−1}f_{n−1}(T) + f_{n−1}(T)^{−1})
= \frac{1}{2}(g_{n−1}(T)^{−1} + f_{n−1}(T)^{−1}).

Wir beweisen induktiv die folgende Behauptung: Es seien 0 ≤ S ≤ T ≤ id_{H} mit Inversen S^{−1}, T^{−1} ∈ ℒ(H). Dann gilt für n ∈ ℕ:

g_{n−1}(S) ≤ g_{n−1}(T).  (∗_{n})
f_{n}(S) ≤ f_{n}(T),  (∗∗_{n})

Fall n = 1: g_{0}(S) = S ≤ T = g_{0}(T),

f_{1}(S) = \frac{1}{2}(id_{H} +g_{0}(S)) ≤ \frac{1}{2}(id_{H} +g_{0}(T)) = f_{1}(T).

Schluß (1, …, n) ⇒ n + 1: Aus den Voraussetzungen (∗_{n}) und (∗∗_{n−1}) folgt mit Satz 2.5.7:

g_{n−1}(S) ≤ g_{n−1}(T) ⇒ g_{n−1}(S)^{−1} ≥ g_{n−1}(T)^{−1},

f_{n−1}(S) ≤ f_{n−1}(T) ⇒ f_{n−1}(S)^{−1} ≥ f_{n−1}(T)^{−1}.

Addiert man die rechten Seiten, so folgt mit der Rekursionsformel für (g_{n})^{−1} und Satz 2.5.7 die gewünschte Aussage (∗_{n+1}):

g_{n}(S)^{−1} ≥ g_{n}(T)^{−1} ⇒ g_{n}(S) ≥ g_{n}(T)

Aus ∗_{n+1} und der Voraussetzung (∗∗_{n}) folgt mit der Rekursionsformel für f_{n} die Behauptung (∗∗_{n+1}):

f_{n+1}(S) = \frac{1}{2}(f_{n}(S) + g_{n}(S))
≤ \frac{1}{2}(f_{n}(T) + g_{n}(T)) = f_{n+1}(T)

2. Für ε > 0 und 0 ≤ T ∈ ℒ(H) ist 0 ≤ T + ε id_{H} invertierbar (siehe Satz 2.4.7). Es sei 0 ≤ S ≤ T. Nach Teil 1. des Beweises gilt dann:

(S + ε id_{H})^{1/2} ≤ (T + ε id_{H})^{1/2}.

Nach Folgerung 2.5.9 folgt

S^{1/2} ≤ (S+ε id_{H})^{1/2} ≤ (T +ε id_{H})^{1/2} ≤ T^{1/2} + ε^{1/2} id_{H} .

Da ε > 0 beliebig ist, erhalten wir S^{1/2} ≤ T^{1/2}.

2.5.3 Polarzerlegung

2.5.12 Lemma (Kern von T, T^{∗}T und (T^{∗}T)^{1/2}) Es seien H, K Hilberträume und T ∈ ℒ(H, K). Dann ist

Kern T = Kern(T^{∗}T)^{1/2} = Kern T^{∗}T,
\overline{Bild} T^{∗} = \overline{Bild}(T^{∗}T)^{1/2} = \overline{Bild} T^{∗}T.

Beweis. Es ist sicher Kern T ⊂ Kern T^{∗}T. Da

∥T x∥ = ⟨T^{∗}T x, x⟩ = ∥(T^{∗}T)^{1/2}x∥ für x ∈ H

ist, gilt andererseits

Kern T = Kern(T^{∗}T)^{1/2} ⊃ Kern T^{∗}T.

Die zweite Gleichung folgt nun aus Feststellung 2.2.13.

2.5.13 Satz (Polarzerlegung) Es seien H, K Hilberträume und T ∈ ℒ(H, K).

(i) Es gibt genau einen positiven Operator in ℒ(H), den man mit |T | ∈ ℒ(H) bezeichnet, und eine partielle Isometrie V ∈ ℒ(H, K), so daß folgendes gilt:

T = V |T | und V^{∗}V = P_{|T |}.

Dabei ist P_{|T |} die Bildprojektion von |T |.

(ii) Weiterhin gilt:

1. |T | = (T^{∗}T)^{1/2} und |T | = V^{∗}T.

2. V^{∗}V ist die orthogonale Projektion auf \overline{Bild} T^{∗}.

3. V V^{∗} ist die orthogonale Projektion auf \overline{Bild} T

(iii) Im Fall H = K gilt weiterhin: Wenn R ∈ ℒ(H) mit T und T^{∗} vertauscht, dann gilt

V R = RV und R|T | = |T |R.

(iv) Wenn T ∈ ℒ(H, K) die Polarzerlegung T = V |T | hat, so hat T^{∗} die Polarzerlegung

T^{∗} = V^{∗}(V |T |V^{∗})

Es gilt V |T |V^{∗} = |T^{∗}|

(v) Wenn T normal ist, dann ist V normal und V vertauscht mit T, T^{∗}, |T | und P_{T}.

Beweis. (i) Man setze |T | = (T^{∗}T)^{1/2}. Da T^{∗}T = |T |^{2} ist, gibt es nach Feststellung 2.3.14 genau einen Operator V ∈ ℒ(H, K), so daß

T = V |T | und V |(Bild T)^{⊥} = 0

ist. Wie zeigen, daß V ein partielle Isometrie ist: Da

∥V |T |x∥^{2} = ∥T x∥^{2} = ∥|T |x∥^{2} für x ∈ H

gilt, ist V : \overline{Bild} |T | → H isometrisch. Es ist V : (\overline{Bild} |T |)^{⊥} → 0. Also ist V^{∗}V der orthogonale Projektor auf \overline{Bild} |T |.

Wir zeigen die Eindeutigkeit der Polarzerlegung: Es gelte T = W B und W^{∗}W = P_{B}, wobei W ∈ ℒ(H, K) eine partielle Isometrie ist und 0 ≤ B ∈ ℒ(Hr). Aus

T^{∗}T = BW^{∗}W B = BP_{B}B = B^{2}

und der Eindeutigkeit der positiven Wurzel folgt B = (T^{∗}T)^{1/2} = |T |. Aus der Gleichung

W |T |x = T x = V |T |x für x ∈ H

folgt W | \overline{Bild} |T | = V | \overline{Bild} |T |. Da W^{∗}W = P_{|T |} = V^{∗}V gilt, ist Kern W = (\overline{Bild} |T |)^{⊥} = Kern V. Also ist W = V.

(ii) 1. |T | = (T^{∗}T)^{1/2} haben wir in (i) gezeigt. Es ist V^{∗}T = V V^{∗}|T | = P_{|T |}|T | = |T |.

2. Da V^{∗}V = P_{\overline{Bild} |T |} ist, folgt (siehe Lemma 2.5.12)

Bild V^{∗}V = \overline{Bild} |T | = (Kern |T |)^{⊥} = (Kern T^{∗}T)^{⊥}
= (Kern T)^{⊥} = \overline{Bild} T^{∗}.

3. Da V eine partielle Isometrie ist, ist V^{∗}V = P_{Bild V^{∗}}. Mit V |T | = T folgt nun

Bild V V^{∗} = V Bild V^{∗} = V Bild V^{∗}V = V \overline{Bild} |T |
= \overline{Bild} V |T | = \overline{Bild} T.

(iii) Wenn R ∈ ℒ(H) mit T und T^{∗} vertauscht, dann vertauscht R mit der Wurzel (T^{∗}T)^{1/2} = |T | (siehe Satz 2.5.2 (ii)) Nach Feststellung 2.3.14 (iii) vertauscht R mit V.

(iv) Es sei T = V |T | die Polarzerlegung von T. Da V^{∗}V = P_{|T |} ist, gilt

T^{∗} = |T |V^{∗} = V^{∗}(V |T |V^{∗}).  (∗)

Der Operator V |T |V^{∗} ist positiv und für sein Quadrat gilt

(V |T |V^{∗})^{2} = (V |T |)P_{|T |}(|T |T^{∗}) = T T^{∗}.

Aus der Eindeutigkeit der positiven Wurzel folgt V |T |V^{∗} = |T^{∗}|. Nach (ii) ist

V V^{∗} = P_{\overline{Bild} T} = P_{(Kern T^{∗})^{⊥}} = P_{(Kern T T^{∗})^{⊥}}
= P_{(Kern |T^{∗}|)^{⊥}} = P_{\overline{Bild} |T ∗|}

D.h. V V^{∗} ist der orthogonale Projektor auf \overline{Bild} V |T |V^{∗} und somit ist (∗) die Polarzerlegung von T^{∗}.

(v) Wenn T^{∗}T = T T^{∗} ist, so gilt |T | = |T^{∗}|. aus den Polarzerlegungen

T = V |T^{∗}| mit V^{∗}V = P_{|T |}
T^{∗} = V^{∗}|T^{∗}| mit V^{∗}V = P_{|T^{∗}|}

folgt nun V^{∗}V = P_{|T |} = P_{|T^{∗}|} = V V^{∗}. Also ist V normal.

2.5.14 Folg. (unitäre Polarzerlegung) Es sei H ein Hilbertraum und T ∈ ℒ(H).

(i) Wenn T injektiv ist und Bild T dicht in H ist, dann ist die partielle Isometrie V in der Polarzerlegung T = V |T | ein unitärer Operator.

(ii) Wenn T normal ist, so gibt es genau einen unitären Operator U ∈ ℒ(H) mit den folgenden Eigenschaften:

T = U|T | und U| Kern |T | = id_{Kern |T |} .

Dieser Operator U vertauscht mit allen Operatoren, die mit T und T^{∗} vertauschen. Insbesondere vertauscht U mit T, T^{∗} und |T |.

Beweis. (i) Nach Voraussetung ist \overline{Bild} T^{∗} = H = \overline{Bild} T (siehe Festst. 2.2.13). Nach Satz 2.5.13 (ii) ist also

V^{∗}V = P_{\overline{Bild} T^{∗}} = id_{H} und V V^{∗} = P_{\overline{Bild} T} = id_{H} .

D. h., V ist unitär.

(ii) Es sei T = V |T | die Polarzerlegung von T. Da T normal ist, ist

Y := \overline{Bild} T^{∗} = (Kern T)^{⊥} = (Kern T^{∗})^{⊥} = \overline{Bild} T

(siehe Bem. 2.1.8) und weiterhin

Y = \overline{Bild} |T | = \overline{Bild} |T ∗|.

(siehe Lemma 2.5.12). Nach Satz 2.5.13 (ii) sind also

V |Y : Y → Y und V^{∗}|Y : Y → Y

bijektive Isometrien und es gilt (V |Y)^{−1} = V^{∗}|Y.

1. Wir bilden den Operator

U : Y ⊕ Y^{⊥} → Y ⊕ Y^{⊥}
U : y + z ↦ V y + z für y ∈ Y und z ∈ Y^{⊥}.

Der inversen Operator ist

U^{−1} : y + z ↦ V^{∗}y + z für y ∈ Y und z ∈ Y^{⊥}.

U ist eine bijektive Isometrie:

∥U(y + z)∥^{2} = ∥V y + z∥^{2} = ∥V y∥^{2} + ∥z∥^{2}
= ∥y∥^{2} + ∥z∥^{2} = ∥y + z∥^{2}

und somit ist U unitär. Nach Konstruktion gilt T = U|T | und U ist offensichtlich eindeutig bestimmt.

2. Wenn ℝ ∈ ℒ(H) mit T und T^{∗} vertauscht, dann gilt RX ⊂ X und RX^{⊥} ⊂ X^{⊥} und RV = V R (siehe Bem. 2.2.16 (ii) und Satz 2.5.13 (iii)). Nach Konstruktion von U gilt also RU = UR.

2.5.15 Satz (Zerlegung in ±-Anteile) (i) Es sei H ein Hilbertraum und T = T^{∗} ∈ ℒ(H). Dann gibt es eindeutig bestimmte positive Operatoren T_{+} und T_{−} in ℒ(H), derart daß

T = T_{+} − T_{−} und T_{+}T_{−} = T_{−}T_{+} = 0

ist.

(ii) Weiterhin gilt |T | = T_{+} + T_{−} und

T = (P_{+} − P_{−})|T |

ist die Polarzerlegung von T, wobei P_{±} := P_{T_{±}} die Bildprojektionen von T_{±} sind.

Beweis. 1. Wir geben eine Lösung an: Dazu setzen wir

T_{±} := \frac{1}{2}(|T | ± T) und P_{±} := P_{T_{±}}.

Man beachte, daß die Operatoren |T | = (T^{2})^{1/2}, T, T_{±}, P_{±} vertauschen (siehe Satz 2.5.2 und Bem. 2.2.16). Dann ist T = T_{+} − T_{−} und

T_{+}T_{−} = \frac{1}{4}(|T | + T)(|T | − T) = T^{2} − T^{2} = 0.

Hieraus folgt ⟨T_{+}x, T_{−}y⟩ = 0 für x, y ∈ H. Also ist

\overline{Bild} T_{+} ⊥ \overline{Bild} T_{−} und P_{+}P_{−} = 0.

(siehe Satz 2.2.5 (ii)). Aus den Gleichungen P_{+}T_{−} = 0 und P_{−}T_{+} = 0 folgt

T_{+} = P_{+}T = P_{+}|T | = P_{+}|T |P_{+} ≥ 0,
T_{−} =−P_{−}T = P_{−}|T | = P_{−}|T |P_{−} ≥ 0.

2. Eindeutigkeit der Zerlegung T = T_{+} − T_{−} folgt aus der Eindeutigkeit der Polarzerlegung T = (P_{+} − P_{−})|T |, die wir zugleich mit herleiten.

Es seien 0 ≤ T̃_{±} ∈ ℒ(H) derart, daß

T = T̃_{+} − T̃_{−} und T̃_{+}T̃_{−} = 0

ist. Es seien P̃_{±} die Bildprojektionen von T̃_{±}. Aus T̃_{+}T̃_{−} = 0 folgt, wir oben gezeigt;

\overline{Bild} T̃_{+} ⊥ \overline{Bild} T̃_{−} und P̃_{+}P̃_{−} = 0.

Nach Satz 2.2.5 (ii) ist also

Bild(P̃_{+} + P̃_{−}) = \overline{Bild} T̃_{+} ⊕ \overline{Bild} T̃_{−}.

Da T̃_{±} = (T̃_{+} + T̃_{−})P_{±} ist:

\overline{Bild} T̃_{+} ⊕ \overline{Bild} T̃_{−} ⊂ \overline{Bild}(T̃_{+} + T̃_{−})

Da (T̃_{+} + T̃_{−}) = (P̃_{+} + P̃_{−})(T̃_{+} + T̃_{−}) ist:

\overline{Bild}(T̃_{+} + T̃_{−}) ⊂ Bild(P̃_{+} + P̃_{−}).

Da nun

\begin{aligned}T & = (P̃_{+} − P̃_{−})(T̃_{+} + T̃_{−}), \\ (P̃_{+} − P̃_{−})^{2} & = P̃_{+} + P̃_{−} = P̃_{T̃_{+}+T̃_{−}} \end{aligned}  (∗∗)

gilt, ist dies die Polarzerlegung von T. Aus der Eindeutigkeit der Polarzerlegung folgt T̃_{+} +T̃_{−} = |T | (siehe Satz 2.5.13) Addiert und Subtrahiert man die beiden Gleichungen

T̃_{+} − T̃_{−} = T und T̃_{+} + T̃_{−} = |T |

so folgt

T̃_{±} = \frac{1}{2}(|T | ± T).  (∗)

3. Die Formel (∗) ergibt also die eindeutige Zerlegung von T den positiven und negativen Anteil und die Formel (∗∗) die Polarzerlegung von T.

2.5.4 Ordnungsideale

Ordnungsideale sind ein wichtiges Hilfmittel bei der Untersuchung von algebraischen Idealen und Linksidealen in C^{∗}-Unteralgebren von ℒ(H).

2.5.16 Bez. (Ordnungsideal ℒ(H)_{T}) Es seien H ein Hilbertraum. 0 ≤ T ∈ ℒ(H). Wir bezeichnen das Intervall mit den Endpunkten −T und T mit

[−T, T] := {S ∈ ℒ(H) | −T ≤ S ≤ T.

Die Menge

ℒ(H)_{T} := ⋃_{n=1}^{∞}[−nT, nT]

heißt das von T erzeugte Ordnungsideal in ℒ(H)_{sa}.

Offensichtlich ist ℒ(H)_{T} ein ℝ-linearer Teilraum von ℒ(H)_{sa}.

Anmerkung. (Struktur eines Ordnungsideals) 1. Wir zeigen in Folgerung 2.5.18, daß jedes Element S ∈ [−T, T] eine eindeutige Darstellung der Form S = T^{1/2}AT^{1/2} mit A ∈ [−P_{T} , P_{T}] hat.

Es gilt also kurz ℒ (H)_{T} = T^{1/2} ℒ (H)_{sa}T^{1/2}

2. Die Abbildung

ℒ (H)_{P_{T}} ∋ A ↦ T^{1/2}AT^{1/2} ∈ ℒ (H)_{T}

ist also ein bijektiver, linearer Ordnungsisomorphismus.

Man beachte, daß ℒ (H)_{P_{T}} ≅ ℒ (P_{T} (H))_{sa} ist.

2.5.17 Satz (Faktorisierung positiver Op.) Es seien H ein Hilbertraum und S, T ∈ ℒ(H). Es gelte 0 ≤ S ≤ T.

(i) Dann gibt es genau einen positiven Operator B ∈ ℒ(H), so daß

S = T^{1/2}BT^{1/2} und B| Kern T = 0

ist.

(ii) Für diesen so bestimmten Operator gilt 0 ≤ B ≤ id_{H}.

Der Operator B vertauscht mit jedem Operator R, der mit S und T vertauscht.

Beweis. (i) 1. Da S^{1/2}S^{1/2} ≤ T^{1/2}T^{1/2} gilt, gibt es nach Feststellung 2.3.14 genau ein A ∈ ℒ(H) mit

S^{1/2} = AT^{1/2} und A|(Bild T^{1/2})^{⊥} = 0. (∗)

Man setze B := A^{∗}A. Dann gilt

S = S^{1/2}S^{1/2} = (AT^{1/2})^{∗}(AT^{1/2}) = T^{1/2}BT^{1/2}.

Da T ≥ 0 ist, gilt

(Bild T^{1/2})^{⊥} = Kern T^{1/2} = Kern T = (Bild T)^{⊥}

und folglich B|(Kern T) = 0.

2. Wir zeigen, daß B eindeutig bestimmt ist: Es sei 0 ≤ C ∈ ℒ(H und C erfülle ebenfalls die Bedingungen (i):

S = T^{1/2}CT^{1/2} und C|(Bild T)^{⊥} = 0.

Dann ist Kern C^{1/2} = Kern C ⊃ Kern T = Kern T^{1/2} und somit

C^{1/2}|(Bild T^{1/2})^{⊥} = 0.  (∗∗)

Da S^{1/2}S^{1/2} ≤ (C^{1/2}T^{1/2})^{∗}(C^{1/2}T^{1/2}) ist, gibt es nach Feststellung 2.3.14 genau ein V ∈ ℒ(H), so daß (∗∗∗):

S^{1/2} = V (C^{1/2}T^{1/2}) und V |(Bild C^{1/2}T^{1/2})^{⊥} = 0

ist.

Nach (∗∗) ist V C^{1/2}|(Bild T^{1/2})^{⊥} = 0. Der Operator V C^{1/2} erfüllt also auch (∗). Aus der Eindeutigkeit von A folgt nun V C^{1/2} = A.

Wir zeigen in (3.), daß V^{∗}V die orthogonale Projektion auf \overline{Bild} C^{1/2} ist. Wenn wir dies gezeigt haben, folgt die Eindeutigkeit von B:

C = C^{1/2}V^{∗}V C^{1/2} = A^{∗}A = B.

3. Da

∥C^{1/2}T^{1/2}x∥^{2} = ∥S^{1/2}x∥^{2} = ∥V C^{1/2}T^{1/2}x∥^{2}

gilt, ist

V : \overline{Bild} C^{1/2}T^{1/2} → H isometrisch
V : (\overline{Bild} C^{1/2}T^{1/2})^{⊥} → 0.

D.h. V ist eine partielle Isometrie und V^{∗}V ist der orthogonale Projektor auf \overline{Bild} C^{1/2}T^{1/2}.

Nach (∗∗) ist

\overline{Bild} C^{1/2} = \overline{Bild} C^{1/2}| \overline{Bild} T^{1/2}. = \overline{Bild} C^{1/2}T^{1/2}

Also ist V^{∗}V der orthogonale Projektor auf \overline{Bild} C^{1/2}

(ii) Nach Feststellung 2.3.14 ist ∥B∥ = ∥A∥^{2} ≤ 1} und somit 0 ≤ B ≤ id_{H}.

Wenn RS = SR und RT = T R so ist auch R^{∗}S = SR^{∗} und R^{∗}T = T R^{∗}. Nach Satz 2.5.2 vertauschen R und R^{∗} mit S^{1/2} und T^{1/2}. Nach Feststellung 2.3.14 vertauschen R und R^{∗} mit A und also auch mit A^{∗}. Somit vertauscht R mit A^{∗}A = B.

2.5.18 Folg. (Faktorisierung: Ordnungsintervall) Es seien H ein Hilbertraum und S, T ∈ ℒ(H). Es gelte −T ≤ S ≤ T.

(i) Nach Satz 2.5.17 gibt es genau einen selbstadjungierten Operator B ∈ ℒ(H), so daß

S = T^{1/2}BT^{1/2} und B| Kern T = 0

ist.

(ii) Für diesen so bestimmten Operator gilt ∥B∥ ≤ 1. Der Operator B vertauscht mit jedem Operator R,

der mit S und T vertauscht.

3 Spektralsatz für normale Operatoren

1. Für einen Operator T auf dem Hilbertraum H bilde man die von ihm erzeugte unitale C^{∗}-Algebra

C^{∗}(T, id_{H}) := BAlg(T, T^{∗}, id_{H}),

also die kleinste unitale Banach-Unteralgebra von ℒ(H), die T und T^{∗} enthält. Diese Algebra ist ein nützliches Hilfmittel bei der Untersuchung von T.

2. C^{∗}(T, id_{H}) ist genau dann kommutativ, wenn T normal ist. Der Spektralsatz für normale Operatoren besagt:

Die Algebra C^{∗}(T, id_{H}) ist auf natürliche Weise isometrisch ^{∗}-isomorph zu der Algebra C(σ(T), ℂ) der stetigen komplexen Funktionen auf dem Spektrum von T.

Wir werden den Satz in Abschnitt 3.5 beweisen.

3. Wir geben im Abschnitt 3.1 für zwei wichtige Spezialfälle des Spektralsatzes 3.5.1 unabhängige einfachere Beweise. Dies ist einerseits der Fall eines selbstadjungierten Operators (siehe Satz 3.1.2) und andererseits der Fall eines unitären Operators (siehe Satz 3.1.3).

In beiden Fällen kann man die besondere Lage des Spektrums und eine Entsprechung von Polynomen einer Variablen mit einer dichten Unteralgebra von C^{∗}(T, id_{H}) ausnutzen.

T = T^{∗}: Das Spektrum σ(T) ist reell. Nach dem Satz von Weierstraß liegen die Polynome dicht in den stetigen Funktionen auf dem Spektrum.

Andererseits liegen die Polynome p(T) dicht in C^{∗}(T, id_{H}). Die Isomorphei folgt nun aus dem spektrale Abbildungssatz E.1.2 für Polynome einer Variablen.

U^{∗} = U^{−1}: Das Spektrum liegt in der Einheitskreislinie 𝕋. Den trigonometrischen Polynomen p(ζ) auf 𝕋 entsprechen die Operatoren p(U). Diese Polynome liegen dicht in C(σ(T), ℂ) bzw. C^{∗}(U, id_{H}). Aus dem spektralen Abbildungssatz E.1.2 für Polynome einer Variablen folgt sofort der entsprechende Abbildungssatz für trigonometrische Polynome und damit das Resultat.

Der allgemein gültige spektrale Abbildungssatz E.1.2 für Polynome einer Variablen führt also in beiden Fällen zum Ziel. Dieser Satz folgte unmittelbar aus der Zerlegung eines Polynoms einer komplexen Variablen in Linearfaktoren.

4. Für beliebige normale Operatoren T kommt man mit Polynomen einer Variablen nicht aus. Erst Polynome der Form p(T, T^{∗}) bilden eine dichte Unteralgebra. Der Beweis des entsprechenden spektralen Abbildungssatzes 3.4.4 für Polynome der Form p(ζ, \overline{ζ}) beruht nicht mehr auf algebraischen Eigenschaften der Polynome in zwei Variablen sondern folgt aus den besonderen Eigenschaften der Ideale und Charaktere der C^{∗}-Algebra C^{∗}(T, id_{H}).

5. Alle Beweise benutzen zusätzlich die C^{∗}-Gleichung ∥T ∥^{2} = ∥T^{∗}T ∥.

Alle Aussagen dieses Kapitels gelten sinngemäß für beliebige C^{∗}-Algebren. Die Beweise müß man hierfür geringfügig erweitern, da man vorerst nicht auf das Abschnitt 2 über Operatoren auf dem Hilbertraum zurückgreifen kann. In den Anmerkungen zu den jeweiligen Sätzen wird dies genauer erklärt.

3.1 Spektralsatz für selbstadjungierte und unitäre Operatoren

3.1.1 Bem. (Spektralradius normaler Op) Es seien H ein Hilbertraum. Für einen normalen Operator T ∈ ℒ(H) ist der Spektralradius von T gleich der Norm von T:

r(T) = ∥T ∥.

Beweis. Die Behauptung folgt aus der C^{∗}-Gleichung (siehe Festst. 2.1.2) und der Formel für den Spektralradius (siehe Satz E.1.5).

Für selbstadjungierte S ∈ ℒ(H) und n ∈ ℕ gilt

∥S^{2^{n}}∥ = ∥S^{2^{n−1}}∥^{2} = ⋯ = ∥S^{2}∥^{2^{n−1}} = ∥S∥^{2^{n}}.

Wenn T normal ist, folgt:

∥T^{2^{n}}∥^{2} = ∥(T^{2^{n}})^{∗}T^{2^{n}}∥ = ∥(T^{∗})^{2^{n}}T^{2^{n}}∥

= ∥(T^{∗}T)^{2^{n}}∥ = ∥T^{∗}T ∥^{2^{n}} = ∥T ∥^{2^{n+1}}.

Aus der Formel für den Spektralradius folgt nun

r(T) = lim_{n→∞} \sqrt[2^{n}]{∥T^{2^{n}}∥} = ∥T ∥.

3.1.2 Satz (Spektralsatz für selbstadj. Op.) Es sei H ein Hilbertraum und T = T^{∗} ∈ ℒ(H).

(i) Das Spektrum von T ist eine kompakte Teilmenge des Intervalls [−∥T ∥, ∥T ∥] ⊂ ℝ.

(ii) Es gibt genau einen ^{∗}-Homorphismus Ψ : C^{∗}(T, id_{H}) → C(σ(T), ℂ) mit

Ψ(T) = ζ und Ψ(id_{H}) = 1l_{σ(T)},

wobei ζ : σ(T) → ℂ die identische Funktion bezeichnet. Ψ ist isometrisch und bijektiv.

(iii) Zur Abkürzung bezeichne Ŝ = Ψ(S). Es gilt der spektrale Abbildungsatz:

σ(S) = {Ŝ(λ) | λ ∈ σ(T)} für S ∈ A.

Das Spektrum von S sind die Funktionwerte von Ŝ.

Beweis. (i) 1. Wir konstruieren zunächst einen ∗-Homomorphismus Ψ : Alg(T, id_{H}) → C(σ(T), ℂ). Alg(T, id_{H}) besteht aus den Polynomen p(T) mit p ∈ ℂ[ζ]. Für ein Polynom p ∈ ℂ[ζ] bilde man die Einschrankung p̂:= p| σ(T). Aus dem spektralen Abbildungssatz E.1.2

p̂(σ(T)) = σ(p(T))

und der Spektralradiusformel für normale Operatoren (siehe Bem. 3.1.1) folgt

∥p̂∥_{sup} := max_{λ∈σ(T)} |p̂(λ)| = r(p(T)) = ∥p(T)∥.

Für zwei Polynome p, q ∈ ℂ[ζ, \overline{ζ}] mit p(T) = q(T) ist also

∥p̂− q̂∥_{sup} = ∥{ \atop p − q}∥_{sup}
= ∥(p − q)(T)∥ = ∥p(T) − q(T)∥ = 0.

Die Abbildung Ψ : Alg(T, id_{E}) → C(σ(T), ℂ) mit

p(T) ↦ p̂ für p ∈ ℂ[ζ]

ist wohldefiniert und isometrisch. Ψ ist ein ^{∗}-Homomorphis-mus:

p(T) + q(T) = (p + q)(T) ↦ { \atop p + q} = p̂+ q̂,
p(T) · q(T) = (p · q)(T) ↦ p̂ · q = p̂· q̂,
(p(T))^{∗} = \overline{p}(T) ↦ \overline{p̂}.

wobei \overline{p} das Polynom mit den konjugiert komplexen Koeffizienten ist. Es ist Ψ(id_{E}) = 1l_{σ(T)} und Ψ(T) = ζ.

2. Da C(σ(T), ℂ) mit der Norm ∥·∥_{sup} vollständig ist, hat Ψ genau eine stetige Fortsetzung auf C^{∗}(T, id_{H}), die wir wieder mit Ψ bezeichnen.

Diese Forsetzung Ψ : C^{∗}(T, id_{H}) → C(σ(T), ℂ) ist ein isometrischer ^{∗}-Homomorphismus.

Da Ψ isometrisch ist, ist Bild Ψ abgeschlossen. Nach dem Satz von Weierstraß liegen die Polynome p̂ mit p ∈ ℂ[ζ] dicht in C(σ(T), ℂ). Das Bild von Ψ ist also dicht und abgeschlossen, d.h., Ψ bijektiv.

3. Wir zeigen die Eindeutigkeit von Ψ. Es sei Ψ̃ : C^{∗}(T, id_{H}) ein ^{∗}-Homomorphismus mit Ψ̃(T) = ζ. Für λ ∈ σ(T) ist die Abbildung χ : C^{∗}(T, id_{H}) → ℂ mit

χ : S ↦ Ψ̃(S)(λ) für S ∈ C^{∗}(T, id_{H})

ein Charakter von C^{∗}(T, id_{H}) mit χ(T) = λ. Für Polynome p ∈ ℂ[ζ] gilt also

χ(p(T))(λ) = p̂(λ) = Ψ(p(T))(λ).

Nach Bemerkung B.4.9) ist ∥χ∥ = 1. Da χ und Ψ stetig sind und auf der dichten Teilmenge Alg(T, id_{H}) übereinstimmen folgt

χ(S) = Ψ(S)(λ) für S ∈ C^{∗}(T, id_{H}).  (∗)

Für S ∈ C^{∗}(T, id_{H}) gilt also

Ψ̃(S)(λ) = Ψ(S)(λ).

Da dies für alle λ ∈ σ(T) gilt, ist Ψ̃ = Ψ.

(ii) Da Ψ : A → C(σ(T), ℂ) ein bijektiver Isomorphismus von unitalen Banachalgebren ist, haben einander entsprechende Elemente dasselbe Spektrum in bezug auf die jeweilige Algebra.

Das Spektrum einer stetigen Funktion auf einer kompakten Menge besteht gerade aus den Funktionswerten.

Nach Feststellung 2.4.12 ist jede unitale C^{∗}- Unteralgebra eine volle Unteralgebra und folglich ist

σ_{A}(S) = σ_{ℒ (H)}(S) für S ∈ A.

(siehe Bez. E.2.1). Insgesamt folgt

σ(S) = σ_{A}(S) = σ_{C(σ(T),ℂ)}(Ŝ) = Ŝ(σ(T)).

Anmerkung. (zum Beweis von Satz 3.1.2 (ii)) 1. Der Beweis zu Teil (i) von Satz 3.1.2 benutzt nur, daß ℒ (H) eine unitale C^{∗}-Algebra ist und macht keinen keinen Gebrauch davon, daß die Elemente Operatoren auf dem Hilbertraum sind, d.h. der Beweis gilt unverändert für jede abstrakte unitale C^{∗}-Algebra.

2. Im Beweis zu Teil (ii) von Satz 3.1.2 wurde aber die Feststellung 2.4.12 benutzt, daß jede unitale C^{∗}-Unteralgebra von ℒ (H) eine volle Unteralgebra ist. Wenn man den Beweis etwas anders führt, erhält man nicht nur einen Beweis zu Teil (ii) von Satz 3.1.2 sondern auch einen neuen Beweis, daß unitale C^{∗}-Unteralgebren voll sind. Der folgende Beweis benutzt nur die C^{∗}-Gleichung und Satz 3.1.2 (i).

(a) Wir zeigen: Ist A eine unitale C^{∗}-Algebra, T = T^{∗} ∈ A und A_{0} := C^{∗}(T, 1l_{A}), so ist σ_{A}(T) = σ_{A_{0}}(T):

Beweis. Man wende Satz 3.1.2 (i) auf die unitale C^{∗}- Algebra A an: Es gibt es einen isometrischen, bijektiven ∗-Homorphismus Ψ : A_{0} → C(σ_{A}(T), ℂ) wobei Ψ(T) = ζ die identische Funktion auf σ_{A}(T) ist. Also haben die Elemente T ∈ A_{0} und ζ = Ψ(T) dasselbe Spektrum in bezug auf die jeweilige Algebra. Das Spektrum einer stetigen Funktion auf einer kompakten Menge besteht gerade aus den Funktionswerten. Somit ist

σ_{A_{0}}(T) = σ_{C(σ_{A}(T),ℂ)}(ζ) = σ_{A}(T).

(b) Wir zeigen: Ist A eine unitale C^{∗}-Algebra, T = T^{∗} ∈ A und A_{0} := C^{∗}(T, 1l_{A}), so ist σ_{A}(T) = σ_{A_{0}}(T):

Beweis. Wenn T^{−1} ∈ A existiert, so existiert (T^{∗}T)^{−1} = T^{−1}(T^{∗})^{−1} Da T^{∗}T selbstadjungiert ist, folgt aus (a) (T^{∗}T)^{−1} ∈ C^{∗}(T^{∗}T, 1l_{A}). Hieraus folgt

T^{−1} = (T^{∗}T)^{−1}T^{∗} ∈ C^{∗}(T^{∗}T, 1l_{A})T^{∗} ⊂ C^{∗}(T, 1l_{A}).

Für die Resolventenmengen gilt also:

ρ_{A}(T) = ρ_{A_{0}}(T).

Also sind auch die Komplemente gleich: σ_{A}(T) = σ_{A_{0}}(T).

(c) Nun kann man den Beweis zu Teil (ii) von Satz 3.1.2 wie angegeben führen. Man ersetze nur den Verweis auf Feststellung 2.4.12 durch die obige Aussage (b).

3.1.1 Spektralsatz für unitäre Op.

3.1.3 Satz (Spektralsatz für unitäre Op.) Es sei H ein Hilbertraum und U ∈ ℒ(H).

(i) Das spektrum von U ist eine kompakte Teilmenge der Einheitskreislinie 𝕋 ⊂ ℂ.

(ii) Es gibt genau einen ^{∗}-Homorphismus Ψ : C^{∗}(U, id_{H}) → C(σ(U), ℂ) mit

Ψ(U) = ζ und Ψ(id_{H}) = 1l_{σ(U)},

wobei ζ : σ(U) → ℂ die identische Funktion bezeichnet.

Ψ ist isometrisch und bijektiv.

(iii) Zur Abkürzung bezeichne Ŝ = Ψ(S). Es gilt der spektrale Abbildungsatz:

σ(S) = {Ŝ(λ) | λ ∈ σ(U)} für S ∈ A.

Das Spektrum von S sind die Funktionwerte von Ŝ.

50 3 SPEKTRALSATZ FÜR NORMALE OPERATOREN 3.2 Ideale in C^{∗}-Algebren 51

3.2 Ideale in C^{∗}-Algebren

3.2.1 Festst. (Approximative Eins) Es seien H ein Hilbertraum, T ∈ ℒ(H) und A := C^{∗}(T^{∗}T) die von T^{∗}T erzeugte C^{∗}-Algebra. Man beachte, daß i. allg id_{H} ∉ A ist.

Dann gibt es eine Folge (U_{n})_{n} selbstadjungierter Elemente in A mit folgenden Eigenschaften

1. 0 ≤ U_{n} ≤ U_{n+1} ≤ id_{H} für n ∈ ℕ.

2. lim_{n→∞} ∥T − T U_{n}∥ = 0.

Beweis. Nach Lemma 2.4.15 ist (id_{H} +nT^{∗}T) für n ∈ ℕ invertierbar und nach Lemma 2.4.11 liegt die Inverse in C^{∗}(T^{∗}T, id_{H}). Wir setzen zu Abkürzung S := T^{∗}T und definieren

U_{n} := nS(id_{H} +nS)^{−1} für n ∈ ℕ.

Offensichtlich liegt U_{n} ∈ A.

1. Nach Satz 2.4.7 ist (n id_{H} +S)^{−1} ≥ 0. Aus

nS(id_{H} +(n + 1)S) = nS + n(n + 1)S^{2}

≤ (n + 1)S + n(n + 1)S^{2} = (n + 1)S(id_{H} +nS)

folgt nun mit Satz 2.4.5

U_{n} = nS((id_{H} +nS)^{−1}

≤ (n + 1)S(id_{H} +(n + 1)S)^{−1} = U_{n+1}.

Ebenso folgt aus 0 ≤ nS ≤ id_{H} +nS, daß 0 ≤ U_{n} = nS(id_{H} +nS)^{−1} ≤ id_{H} und ∥id_{H} −U_{n}∥ ≤ 1 ist.

2. Für n ∈ ℕ ist

0 ≤ S(id_{H} −U_{n}) = S(id_{H} +nS)^{−1} ≤ \frac{1}{n} id_{H}

und somit ∥S − SU_{n}∥ ≤ \frac{1}{n}.

3. Mit der C^{∗}-Gleichung folgt nun

∥T − T U_{n}∥^{2} = ∥(id_{H} −U_{n})T^{∗}T (id_{H} −U_{n})∥

≤ ∥(id_{H} −U_{n})∥∥T^{∗}T (id_{H} −U_{n})∥ ≤ \frac{1}{n}.

Also ist lim_{n→∞} ∥T − T U_{n}∥ = 0.

Anmerkung. 1. Feststellung 3.2.1 (2.) gilt in jeder C^{∗}- Algebra. Man modifiziere den Beweis geringfügig und setze U_{n} := nS^{2}(1l + nS^{2})^{−1}. Aus dem Spektralsatz 3.1.2 (i) für selbstadjungierte Operatoren folgt, daß U_{n} wohldefiniert ist und ∥S − SU_{n}∥^{2} ≤ \frac{1}{n} gilt. Punkt 3. des Beweises kann unverändert übernommen werden.

2. Damit gilt auch der folgende Satz in jeder C^{∗}-Algebra.

3.2.2 Satz (abgeschlossenes Ideal in C^{∗}-Alg.) Es seien H ein Hilbertraum und A eine C^{∗}-Unteralgebra von ℒ(H).

Jedes abgeschlossene zweiseitige Ideal J von A ist abgeschlossen unter der Involution ^{∗}. Das Ideal J ist also eine C^{∗}-Unteralgebra von A.

Anmerkung. (selbsadjungierte Menge) Eine Teilmenge von ℒ (H), die mit T auch T^{∗} enthält, wird in der Literatur auch selbstadjungiert genannt. Jede abgeschlossene zweiseitige Ideal einer C^{∗}-Algebra ist also selbstadjungiert.

Beweis. Es sei J ein zweiseitige Ideal in A. Für T ∈ J ist T^{∗}T ∈ J und folglich ist C^{∗}(T) ⊂ J. Nach Feststellung 3.2.1 gibt es eine Folge (U_{n})_{n} in C^{∗}(T) mit U_{n} = U_{n}^{∗} und T = lim_{n→∞} U_{n}T. Dann gilt für die adjungierten Operatoren

T^{∗} = lim_{n→∞} T^{∗}U_{n} ∈ J .

Anmerkung. 1. Wenn J ein abgeschlossenes Ideal in einer C^{∗}-Algebra A ist, so ist die Quotientenalgebra A/J mit der Quotientennorm eine Banachalgebra (siehe Satz B.4.11). Da das Ideal abgeschlossen unter der ∗-Operation ist, erhält man durch die Vorschrift

[T] = T + J ↦ (T + J)^{∗} = T + J = [T^{∗}]

eine Involution auf der Quotientenalgebra A/J. Man bezeichnet diese Involution wieder mit [T]^{∗} := [T^{∗}] und rechnet die üblichen Eigenschaften nach:

[αT]^{∗} = \overline{α}[T^{∗}]
[S + T]^{∗} = [S]^{∗} + [T]^{∗}
[ST]^{∗} = [T]^{∗}[S]^{∗}

für S, T ∈ A, α ∈ ℂ.

Man sieht leicht, daß diese Involution auf A/J isometrisch ist.

2. Mit Hilfe von Feststellung 3.2.1 erhält man für die Quotientennorm

∥[T]∥ = inf{∥T − T U∥ | U ∈ J und 0 ≤ U ≤ 1l}.

Mit dieser Gleichung sieht man, daß die Quotientennorm die C^{∗}- Bedingung erfüllt. D. h., A/J ist eine abstrakte C^{∗}-Algebra.

3. Beispiele zeigen, das man diese Quotientenalgebra i. allg. nicht auf natürliche Weise irgenwie durch Operatoren in ℒ (H) realisieren kann. Die Situation ist ganz anders im Fall des Quotientenraumes eines Hilbertraumes (siehe Bem. B.2.9)

3.3 Polynomialer Funktionalkalkül

3.3.1 Ziel Das Ziel der nächsten Abschnitte 3.4 und 3.5 ist es, den spektralen Abbildungssatz für den polynomialen Funktionalkalkül eines normalen Operators T zu zeigen (siehe Folg. 3.4.4). Hieraus erhält man dann einen isometrischen ^{∗}-Isomorphismus Alg(T, T^{∗}, id_{H}) ↪ C(σ(T), ℂ), bei dem einem Polynom p(T, T^{∗}) dessen Einschränkung p̂:= p| σ(T) entspricht.

Mit dem Approximationsatz von Weierstraß folgt dann Satz 3.5.1:

Die von einem normalen Operator erzeugte C^{∗}- Algebra C^{∗}(T, id_{H}) ist isometrisch ^{∗}-isomorph zur Algebra C(σ(T), ℂ) der stetigen Funktionen auf dem Spektrum von T.

3.3.2 Bem. (Polynome p(T, T^{∗})) (i) Es seien H ein Hilbertraum und T ∈ ℒ(H) normal. Man bilde die selbstadjungierten Operatoren

R := Re T = \frac{T + T^{∗}}{2} und S := Im T = \frac{T − T^{∗}}{2i}

Da T normal ist, vertauschen R und S.

(ii) Für ein Polynom q ∈ ℂ[ξ, η] der Gestalt

q(ξ, η) = ∑_{ι,κ=1}^{n} α_{ι,κ}ξ^{ι}η^{κ}

mit komplexen Koeffizinten α_{ι,κ} und reellen Variablen (ξ, η) ∈ ℝ^{2} bilde man den Operator

q(R, S) := ∑_{ι,κ=1}^{n} α_{ι,κ}R^{ι}S^{κ}

Die Abbildung

ℂ[ξ, η] ∋ q ↦ q(R, S) ∈ ℒ(H)  (∗)

ist ein komplexer Algebrenhomomorphismus. Die Polynome in den rellen Variablen (ξ, η) bilden eine ^{∗}-Algebra mit der Involution q ↦ \overline{q}, die man durch

\overline{q}(ξ, η) = ∑_{ι,κ=1}^{n} \overline{α}_{ι,κ}ξ^{ι}η^{κ}

erklärt. Die Abbildung (∗) ist ein ^{∗}-Homomorphismus.

(iii) Praktischer ist es, die Polynome q(R, S) in T und T^{∗} auszudrücken. Dazu bilde man die komplexe Variable ζ := ξ+iη ∈ ℂ. Setzt man ξ = \frac{1}{2}(ζ +\overline{ζ}) und η = \frac{1}{2i}(ζ −\overline{ζ}) in ein Polynom q(ξ, η) ein, so erhält man ein Polynom p in den Variablen ζ und \overline{ζ}:

q(\frac{1}{2}(ζ + \overline{ζ}), \frac{1}{2i}(ζ − \overline{ζ}) = ∑_{ι,κ=1}^{n} α_{ι,κ}(\frac{ζ+\overline{ζ}}{2} )^{ι}(\frac{ζ−\overline{ζ}}{2i} )^{κ}

= ∑_{μ,ν}^{n} γ_{μν}ζ^{μ}\overline{ζ}^{ν} =: p(ζ, \overline{ζ}).

Die Bezeichnung p(ζ, \overline{ζ}) sinnvoll, da die Koeffizienten γ_{μν} eindeutig bestimmt sind. Es gilt

γ_{μν} = \frac{∂^{μ}\overline{∂}^{ν}}{μ!ν!} q(ξ, η),

wobei, wie in der Funktionentheorie üblich, ∂ := \frac{1}{2} ( \frac{∂}{∂ξ} − i \frac{∂}{∂η}) und \overline{∂} := \frac{1}{2} ( \frac{∂}{∂ξ} + i \frac{∂}{∂η}) bedeutet.

Man bezeichnet diese Art Polynome immer mit p(ζ, \overline{ζ}), um sie von den üblichen Polynomen in einer komplexen Variablen ζ zu unterscheiden.

Man bezeichnet mit ℂ[ζ, \overline{ζ}] den Raum der Polynome in den komplexen Variablen (ζ, \overline{ζ}). Die Algebren ℂ[ζ, \overline{ζ}] und ℂ[ξ, η] sind ^{∗}-isomorph. Üblicherweise identifiziert man die beiden.

Die Involution auf ℂ[ζ, \overline{ζ}] ist:

p(ζ, \overline{ζ}) ↦ \overline{p(ζ, \overline{ζ})} = \overline{p}(\overline{ζ}, ζ),

wobei \overline{p} die konjugiert komplexen Koeffizienten \overline{γ}_{μ,ν} hat.

(iv) Man kann den ^{∗}-Homomorphismus aus Punkt (ii) nun auch für Polynome p ∈ ℂ[ζ, \overline{ζ}] aufschreiben:

p(ζ, \overline{ζ}) = ∑_{μ,ν}^{n} γ_{μν}ζ^{μ}\overline{ζ}^{ν} ↦ p(T, T^{∗}) := ∑_{μ,ν}^{n} γ_{μν}T^{μ}(T^{∗})^{ν}.

Für q(ξ, η) = p(ζ, \overline{ζ}) ist q(Re T, Im T) = p(T, T^{∗}).

3.3.3 Bez. (Polynom. Funktionalkalkül p(T, T^{∗})) Es seien H ein Hilbertraum und T ∈ ℒ(H) normal. Der ∗-Homomorphismus ℂ[ζ, \overline{ζ}] → C^{∗}(T, id_{H}) mit

p(ζ, \overline{ζ}) ↦ p(T, T^{∗}),

der in Bemerkung 3.3.2 (iv) erklärt wurde, heißt der Polynomiale Funktionalkalkül für den normalen Operator T.

3.4 Charaktere und Spektrum

3.4.1 Festst. (Charaktere sind ^{∗}-Homomorphism.) Es sei A eine unitale C^{∗}-Algebra. Jeder Charakter χ von A ist ein ^{∗}-Homorphismus. d.h.,

χ(T^{∗}) = \overline{χ(T)} für T ∈ A.

Beweis. Es reicht zu zeigen: Für T = T^{∗} ist χ(T) = Re χ(T).

Es sei χ(T) = α + iβ mit α, β ∈ ℝ. Für den Parameter s ∈ ℝ betrachte man T_{s} := T + is1l_{A}. Aus

α^{2} + (β + s)^{2} = |χ(T_{s})|^{2} ≤ ∥T_{s}∥^{2} = ∥T_{s}^{∗}T_{s}∥

= ∥T^{2} + s^{2}1l_{A}∥ ≤ ∥T^{2}∥ + s^{2}

folgt α^{2} + β^{2} + 2βs ≤ ∥T^{2}∥ für s ∈ ℝ.

Folglich ist Im χ(T) = β = 0.

Anmerkung. (anderer Beweis von Festst. 3.4.1) Kern χ ist ein abgeschlossenes Ideal in A. Also liegt mit S auch S^{∗} ∈ Kern χ. Aus χ(χ(T) id_{H} −T) = 0 folgt also

\overline{χ(T)} − χ(T^{∗}) = χ(\overline{χ(T)} id_{H} −T^{∗})

= χ((χ(T) id −T)^{∗}) = 0.

3.4.2 Festst. (σ(T) und Charakt. von C^{∗}(T, id_{H})) Es seien H ein Hilbertraum, T ∈ ℒ(H) normal und A := C^{∗}(T, id_{H}).

(i) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) λ ∈ σ(T).

(b) Es gibt in A ein abgeschlossenes echtes Ideal J_{λ} mit λ id_{H} −T ∈ J_{λ}.

(c) Es gibt einen Charakter χ_{λ} ∈ Σ_{A} mit χ_{λ}(T) = λ.

In diesem Fall sind χ_{λ} und J_{λ} eindeutig bestimmt und es gilt J_{λ} = Kern χ_{λ}.

(ii) Die Abbildung

Σ_{A} ∋ χ ↦ χ(T) ∈ σ_{A}(T)

ist bijektiv.

Beweis. (i) Wir zeigen die Äquivalenzen:

(a) ⇒ (b): Ohne Einschränkung sei λ = 0. Sonst betrachte man den Operator T_{λ} := λ id_{H} −T und den Punkt 0 ∈ σ(T_{λ}). Es ist C^{∗}(T_{λ}, id_{H}) = C^{∗}(T, id_{H}).

Es sei J_{0} der Abschluß des echten Ideals

T A := {T A | A ∈ A}.

Nach Satz B.4.10 ist J_{0} ist ein echtes Ideal.

(b) ⇒ (c): Nach Satz 3.2.2 ist J_{0} eine C^{∗}-Unteralgebra von A. Also liegt mit T auch T^{∗} ∈ J_{0}.

Da die Quotientenalgebra A/J_{0} ist eine unitale Banachalgebra. Da sie von den Nebenklassen T + J_{0} = [0], T^{∗} + J_{0} = [0] und id_{H} +J_{0} = [id_{H}] erzeugt wird, ist A/J_{0} = ℂ[id_{H}]. Die Abbildung ι : A/J_{0} → ℂ mit

ι : λ[id_{H}] ↦ λ ∈ ℂ ist ein isometrischer ^{∗}-Algebrenisomorphismus. Die Komposition mit der Quotientenabildung κ : A → A/J_{0} ergibt einen Charakter χ_{0} := ι ∘ κ von A mit χ_{0}(T) = 0.

Aus der Konstruktion folgt

Kern χ_{0} = J_{0}.  (∗)

(c) ⇒ (a): Wenn R ∈ A eine Inverse R^{−1} ∈ ℒ(H) hat, so ist R^{−1} ∈ A (siehe Festst. 2.4.12) und folglich

χ(R)χ(R^{−1}) = χ(id_{H}) = 1.

Wenn also λ = χ(T) ist, so hat λ id_{H} −T keine Inverse in ℒ(H), d.h., λ ∈ σ(T).

Wir zeigen die Eindeutigkeit von χ_{λ} und J_{λ}: Aus (∗) folgt Kern χ_{λ} = J_{λ}.

Nach Bemerkung B.4.9 ist jeder Charakter χ von A beschränkt und folglich durch seine Einschränkung auf eine dichte Teilmenge eindeutig bestimmt. Nach Definition von C^{∗}(T, id_{H}) liegen die Polynome p(T, T^{∗}), p ∈ ℂ[ζ, \overline{ζ}] dicht.

Aus χ(T) = λ folgt χ(T^{∗}) = \overline{λ} (siehe Festst. 3.4.1) und

χ(p(T, T^{∗})) = p(λ, \overline{λ}) = χ_{λ}(p(T, T^{∗})) für p ∈ ℂ[ζ, \overline{ζ}].

Also ist χ = χ_{λ}.

(ii) folgt aus (i) und der Eindeutigkeit des Charakters χ_{λ}.

3.4.3 Festst. Es seien H ein Hilbertraum, T ∈ ℒ(H) normal und A := C^{∗}(T, id_{H}). Für S ∈ A sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) μ ∈ σ(S).

(b) Es gibt ein χ ∈ Σ_{A} mit μ = χ(S).

Beweis. (a) ⇒ (b): Es sei I der Abschluß des echten Ideals

(μ id_{H} −S)A := {(μ id_{H} −S)A | A ∈ A}.

Nach Satz B.4.10 ist I ist ein echtes Ideal und folglich ist A/I eine unitale Banachalgebra. Das Element [T] = T +I hat nach Bezeichnung E.2.2 nichtleeres Spektrum. Es sei λ ∈ σ_{A/I}([T]).

Da [λ id_{H} −T] nicht invertierbar ist, ist [λ id_{H} −T]A/I ein echtes Ideal von A/I. Das Urbild

{A ∈ A | [A] ∈ [λ id_{H} −T]A/I}.

ist ein echtes Ideal von A. Nach Satz B.4.10 ist der Abschluß J_{λ} dieses Urbildes ein echtes Ideal von A. J_{λ} enthält λ id_{H} −T und μ id_{H} −S. Nach (i) gibt es einen Charakter χ_{λ} ∈ Σ_{A} mit J_{λ} = Kern χ_{λ}. Insbesondere ist χ_{λ}(μ id_{H} −S) = 0.

(b) ⇒ (a): Wenn R ∈ A eine Inverse R^{−1} ∈ ℒ(H) hat, so ist R^{−1} ∈ A (siehe Festst. 2.4.12) und folglich

χ(R)χ(R^{−1}) = χ(id_{H}) = 1.

Wenn also μ = χ(S) ist, so hat μ id_{H} −S keine Inverse in ℒ(H), d.h., μ ∈ σ(S).

3.4.4 Folg. (Spektr. Abbildungssatz für p(T, T^{∗})) Es seien H ein Hilbertraum und T ∈ ℒ(H) normal.

Für ein Polynom p ∈ ℂ[ζ, \overline{ζ}] gilt der spektrale Abbildungssatz

σ(p(T, T^{∗})) = \{p(λ, \overline{λ}) | λ ∈ σ(T)\}.

Beweis. Es sei A := C^{∗}(T, id_{H}).

1. Nach Feststellung 3.4.3 gibt es zu μ ∈ σ(p(T, T^{∗})) einen Charakter χ ∈ Σ_{A} mit χ(p(T, T^{∗})) = μ. Nach Feststellung 3.4.2 ist λ = χ(T) ∈ σ(T). Nach Feststellung 3.4.1 ist \overline{λ} = χ(T^{∗}) und folglich ist μ = χ(p(T, T^{∗})) = p(λ, \overline{λ}).

2. Nach Feststellung 3.4.2 gibt es zu λ ∈ σ(T) einen Charakter χ_{λ} ∈ Σ_{A} mit λ = χ_{λ}(T). Nach Feststellung 3.4.1 ist \overline{λ} = χ(T^{∗}).

Aus Feststellung 3.4.3 folgt nun

p(λ, \overline{λ}) = χ(p(T, T^{∗})) ∈ σ(p(T, T^{∗})).

3.5 Spektralsatz für normale Op.

3.5.1 Satz (Spektralsatz für normale Op.) Es sei H ein Hilbertraum, T ∈ ℒ(H) normal und A := C^{∗}(T, id_{H}).

(i) Es gibt genau einen ^{∗}-Homorphismus Ψ : A → C(σ(T), ℂ) mit

Ψ(T) = ζ und Ψ(id_{H}) = 1l_{σ(T)},

wobei ζ : σ(T) → ℂ die identische Funktion bezeichnet.

Ψ ist isometrisch und bijektiv.

(ii) Zur Abkürzung bezeichne Ŝ = Ψ(S). Es gilt der spektrale Abbildungsatz:

σ(S) = {Ŝ(λ) | λ ∈ σ(T)} für S ∈ A.

Das Spektrum von S sind die Funktionwerte von Ŝ.

Beweis. (i) 1. Wir konstruieren zunächst einen ∗-Homorphismus Ψ : Alg(T, T^{∗}, id_{H}) → C(σ(T), ℂ).

Alg(T, T^{∗}, id_{H}) besteht aus den Polynomen p(T, T^{∗}) mit p ∈ ℂ[ζ, \overline{ζ}]. Für ein Polynom p ∈ ℂ[ζ, \overline{ζ}] bilde man die Einschränkung p̂ ∈ ℂ(σ(T), ℂ) mit

p̂: λ ↦ p(λ, \overline{λ}) für λ ∈ σ(T).

Aus dem spektralen Abbildungssatz 3.4.4

p̂(σ(T)) = σ(p(T, T^{∗}))

und der Spektralradiusformel für normale Operatoren (siehe Bem. 3.1.1) folgt

∥p̂∥_{sup} := max_{λ∈σ(T)} |p̂(λ)| = r(p(T, T^{∗})) = ∥p(T, T^{∗})∥.

Für zwei Polynome p, q ∈ ℂ[ζ, \overline{ζ}] mit p(T, T^{∗}) = q(T, T^{∗}) ist also p̂ = q̂.

Die Abbildung Ψ : Alg(T, id_{E}) → C(σ(T), ℂ) mit

p(T, T^{∗}) ↦ p̂ für p ∈ ℂ[ζ, \overline{ζ}]

ist wohldefiniert und isometrisch. Ψ ist ein ^{∗}-Homomorphis-mus:

p(T, T^{∗}) + q(T, T^{∗}) = (p + q)(T, T^{∗}) ↦ { \atop p + q} = p̂+ q̂,
p(T, T^{∗}) · q(T, T^{∗}) = (p · q)(T, T^{∗}) ↦ p̂ · q = p̂· q̂,
(p(T, T^{∗}))^{∗} = \overline{p}(T^{∗}, T) ↦ \overline{p̂}.

Es ist Ψ(id_{E}) = 1l_{σ(T)} und Ψ(T) = ζ.

2. Da C(σ(T), ℂ) mit der Norm ∥·∥_{sup} vollständig ist, hat Ψ genau eine stetige Fortsetzung auf C^{∗}(T, id_{H}), die wir wieder mit Ψ bezeichnen.

Diese Forsetzung Ψ : C^{∗}(T, id_{H}) → C(σ(T), ℂ) ist ein isometrischer ^{∗}-Homomorphismus.

Nach dem Satz von Weierstraß liegen die Polynome p̂mit p ∈ ℂ[ζ, \overline{ζ}] dicht in C(σ(T), ℂ). Also ist die Fortsetzung Ψ surjektiv.

3. Nach Feststellung 3.4.2 gibt es zu λ ∈ σ(T) genau einen Charakter χ_{λ} mit χ_{λ}(T) = λ. Nach Feststellung 3.4.1 ist \overline{λ} = χ(T^{∗}) und folglich

χ_{λ}(p(T, T^{∗})) = p(λ, \overline{λ}) = p̂(λ) = Ψ(p(T, T^{∗}))(λ).

Da die Polynome dicht in C^{∗}(T, id_{H}) dicht liegen und χ_{λ} und Ψ stetig sind, folgt

χ_{λ}(S) = Ψ(S)(λ) = Ŝ(λ) für S ∈ C^{∗}(T, id_{H}). (∗)

4. Wir zeigen die Eindeutigkeit von Ψ. Für λ ∈ σ(T) ist die Punktauswertung δ_{λ} : C(σ(T), ℂ) → ℂ mit

δ_{λ} : f ↦ f(λ) für f ∈ C(σ(T), ℂ)

ein unitaler ^{∗}-Homomorphismus.

Ist Ψ̃ : C^{∗}(T, id_{E}) → C(σ(T), ℂ) ein unitaler ^{∗}-Homo-morphismus mit Ψ̃(T) = ζ, so ist die Komposition χ := δ_{λ}∘Ψ̃ ein Charakter mit χ(T) = ζ(λ) = λ. Aus Feststellung 3.4.2 folgt χ = χ_{λ}. Aus Gleichung (∗) folgt nun

Ψ̃(S)(λ) = χ_{λ}(S) = Ψ(S)(λ) für λ ∈ σ(T).

Da dies für alle S ∈ C^{∗}(T, id_{E}) gilt, ist Ψ̃ = Ψ.

(ii) Da Ψ : A → C(σ(T), ℂ) ein bijektiver Isomorphismus von unitalen Banachalgebren ist, haben einander entsprechende Elemente dasselbe Spektrum in bezug auf die jeweilige Algebra.

Das Spektrum einer stetigen Funktion auf einer kompakten Menge besteht gerade aus den Funktionswerten.

Nach Feststellung 2.4.12 ist jede unitale C^{∗}- Unteralgebra eine volle Unteralgebra und folglich ist

σ_{A}(S) = σ_{ℒ (H)}(S) für S ∈ A.

(siehe Bez. E.2.1). Insgesamt folgt

σ(S) = σ_{A}(S) = σ_{C(σ(T),ℂ)}(Ŝ) = Ŝ(σ(T)).

56 3 SPEKTRALSATZ FÜR NORMALE OPERATOREN

4 Kompakte Operatoren

4.1 Kompakte Operatoren auf dem Hilbertraum

4.1.1 Folg. (id_{H} kompakt ⇒ H endlichdim.) Die identische Abbildung eines Prähilbertraumes X ist genau dann kompakt, wenn X endlichdimensional ist.

Beweis. 1. Wenn dim X = n ∈ ℕ ist, so ist X ≅ ℓ_{2}^{n} und bekanntlich ist die abgeschlossene Einheitskugel des ℓ_{2}^{n} kompakt.

2. Wenn dim X = ∞ ist, so gibt es eine orthonormale Folge (e_{n})_{n∈ℕ}. Da ∥e_{n} − e_{m}∥^{2} = 2 für n ≠ m ist, enthält (id_{X} e_{n})_{n} keine konvergente Teilfolge. Also ist id_{X} nicht kompakt.

4.1.2 Satz (Approx. durch Op. von endl. Rang) Es seien X, Y Prähilberträume und K ∈ ℒ(X , Y) kompakt.

(i) Es gibt eine Folge (K_{n})_{n} endlichrangiger Operatoren in ℱ(X , Y) die gegen K konvergiert.

Man kann die approximierende Folge (K_{n})_{n} so wählen, daß ∥K_{n}∥ ≤ ∥K∥ ist.

(ii) Konstruktion einer approximierende Folge: Es seien (e_{n})_{n}∈ ℕ eine orthonormale Basis des separablen Unterraumes Bild(K) undP_{n} = P_{lin{e_{1},...,e_{n}}} der orthogonale Projektor auf die lineare Hülle von e_{1}, …, e_{n}. Für K_{n} := KP_{n} gilt dann

lim ∥K − P_{n}K∥ = 0.

(iii) Wenn Y ein Hilbertraum ist, dann ist K genau dann kompakt, wenn K durch Operatoren aus ℱ(X; Y) aproximiert werden kann.

Beweis. (i) Es reicht die stärkste Behauptung (ii) zu zeigen.

(ii) Da K(Ball X) separabel ist, hat Bild K eine orthonormale Basis (e_{n})_{n∈ℕ}. (siehe Bem. A.3.2 und Satz 1.5.9). Es sei P_{n} der orthogonale Projektor auf lin{e_{1}, …, e_{n}} (siehe Bsp. 2.1.16). Für y ∈ \overline{Bild} K ist (siehe Satz 1.5.6 und Satz 1.5.3)

∥(id_{Y} −P_{n})y∥ = ∑_{ν=n+1}^{∞} |⟨e_{ν}, y⟩|^{2} ↓ 0 für n → ∞.

Nach dem Satz von Dini A.3.8 konvergiert die Folge der Funktionen ∥(id_{Y} −P_{n})(·)∥ auf der kompakten Menge \overline{K(Ball X)} gleichmäßig gegen 0. Also gilt

lim_{n→∞} ∥(id −P_{n})K∥ = 0.

Es ist Rang P_{n}K ≤ n.

(iii) Es sei H ein Hilbertraum. Nach Satz B.3.4 ist der Grenzwert einer konvergenten Folge (K_{n})_{n} aus ℱ(X , H) kompakt.

4.1.3 Satz (adjungierte Op. K^{∗} kompakt) Es seien H, K Hilberträume. Ein Operator K ∈ ℒ(H, K) ist genau dann kompakt, wenn K^{∗} kompakt ist.

Beweis. 1. Es sei K ∈ ℒ(H, K) kompakt. Nach Satz 4.1.2 gibt es eine Folge (K_{n})_{n} in ℱ(H, K) die gegen K konvergiert.Da

∥K^{∗} − K_{n}^{∗}∥ = ∥K − K_{n}∥

ist, ist K^{∗} kompakt.

2. Wenn K^{∗} kompakt ist, so ist nach Teil 1. auch K = K^{∗∗} kompakt.

Anmerkung. 1. Es seien H ein Hilbertraum und K ∈ L(H) kompakt. Wählt man die Projektoren (P_{n})_{n} wie in Satz 4.1.2 (ii), dann gilt auch lim_{n→∞} ∥K − P_{n}KP_{n}∥ = 0. Man kann also kompakte selbstadjungierte (bzw. positive) Operatoren durch kompakte (bzw. positive) Operatoren K_{n} ∈ ℱ (H) approximieren.

2. In Satz 4.3.1 erhalten wir eine optimale Approximation durch endlichrangige Operatoren in der erzeugten C^{∗}-Algebra.

4.1.4 Satz (erzeugte C^{∗}-Algebra C^{∗}(T) ⊂ K(H)) Es seien H ein Hilbertraum und K ∈ ℒ(H, K).

(i) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) K ist kompakt.

(b) K^{∗}K ist kompakt.

(c) Alle Operatoren der erzeugten C^{∗}-Algebra C^{∗}(T) sind kompakt.

(ii) Wenn dim H = ∞ und K kompakt ist, so ist C^{∗}(T) nicht unital.

Beweis. (i) (a) ⇒ (b) ist klar nach Satz B.3.2.

(b) ⇒ (a): Es sei (x_{n}) eine Folge in Ball(H) und (K^{∗}Kx_{n_{k}})_{k} eine Konvergente Teilfolge. Aus der Abschätzung

∥Kx_{n_{k}} − Kx_{n_{l}}∥^{2} = ⟨K^{∗}Kx_{n_{k}} − K^{∗}Kx_{n_{l}}, x_{n_{k}} − x_{n_{l}}⟩
≤ 2∥K^{∗}Kx_{n_{k}} − K^{∗}Kx_{n_{l}}∥

folgt, daß (Kx_{n_{k}})_{k} eine Cauchyfolge ist. Da K vollständig ist, konvergiert diese Folge.

(a) ⇒ (c): Nach Satz 4.1.3 ist K^{∗} kompakt. Nach Satz B.3.2 sind alle Elemente der erzeugten Algebra Alg(T, T^{∗}) kompakt. Da Grenzwerte kompakter Operatoren wieder kompakt sind, sind alle Elemente von C^{∗}(T) kompakt.

(ii) Wenn dim H = ∞ ist, so ist id_{H} nicht kompakt.

4.1.5 Bem. ((e_{n})_{n} ONFolge ⇒ ∥Ke_{n}∥ → 0) Es sei H ein Hilbertraum. Ein Kompakter Operator K ∈ ℒ(H) bildet orthonormale Folge (e_{n})_{n} in Nullfolgen ab:

lim_{n→∞} ∥Ke_{n}∥ = 0.

Anmerkung. Im folgenden Abschnitt zeigen wir, daß auch die Umkehrung gilt.

Beweis. Wir zeigen, daß jede konvergente Teilfolge (Ke_{n_{k}})_{k} gegen 0 konvergiert. Nach Bemerkung A.3.5 ist

dann lim_{n→∞} Ke_{n_{k}} = 0.

Es sei y = lim_{k→∞} Ke_{n_{k}}.

∥Ke_{n_{k}}∥^{2} = ⟨Ke_{n_{k}} − y, Ke_{n_{k}}⟩ + ⟨y, Ke_{n_{k}}⟩
≤ ∥K∥∥Ke_{n_{k}} − y∥ + |⟨y, Ke_{n_{k}}⟩| (∗)

Aus der Besselschen Ungleichung (siehe Satz 1.5.3):

∑_{k=1}^{∞} |⟨y, Ke_{n_{k}}⟩|^{2} = ∑_{k=1}^{∞} |⟨K^{∗}y, e_{n_{k}}⟩|^{2} ≤ ∥K^{∗}y∥^{2}

folgt, das lim_{n→∞}⟨y, Ke_{n_{k}}⟩ = 0 ist. Also konvergiert die rechte Seite von Gleichung (∗) gegen 0.

4.1.1 Vollstetige Operatoren

Anmerkung. (schwach konvergente Folgen) 1. Es sei H ein Hilbertraum. Eine Folge (x_{n})_{n} in H heißt schwach konvergent gegen x̃ ∈ H, wenn

lim_{n→∞}⟨x_{n}, y⟩ = ⟨x̃, y⟩ für alle y ∈ H

gilt.

2. Für Hilberträume gilt der Satz von Banach-Steinhaus:

Eine schwach konvergente Folge ist beschränkt.

Es ist also keine Einschränkung, wenn wir im nächsten Satz nur beschränkte schwach konvergente Folgen betrachten.

3. Für Prähilberträume erklärt man die schwache Konvergenz nur für beschränkte Folgen:

Es sei X ein Prähilbertraum. Eine beschränkte Folge (x_{n})_{n} in X heißt schwach konvergent gegen x̃ ∈ X, wenn

lim_{n→∞}⟨x_{n}, y⟩ = ⟨x̃, y⟩ für alle y ∈ X

gilt.

4. Wenn eine beschränkte Folge in einem Pähilbertraum X schwach konvergiert, dann konvergiert die Folge auch in der Vervollständigung X^{∼} schwach. Allgemeiner gilt:

5. Es sei M ⊂ H und die lineare Hülle lin M sei dicht in H. Wenn für eine beschränkte Folge (x_{n}) in H und x̃ ∈ H folgendes gilt:

lim_{n→∞}⟨x_{n}, y⟩ = ⟨x̃, y⟩ für alle y ∈ M,

dann konvergiert (x_{n})_{n} schwach gegen x̃.

Der Beweis ergibt sich sofort mit der Dreieecksungleichung.

6. Orthonormale Folgen sind schwache Nullfolgen:

Beweis. Aus der Besselschen Ungleichung 1.5.3:

∑_{k=1}^{∞} |⟨y, e_{n_{k}} ⟩|^{2} ≤ ∥y∥^{2}

folgt, das lim_{n→∞}⟨y, e_{n_{k}} ⟩ = 0.

4.1.6 Bez. (vollstetige Op.) Es seien X, Y Prähilberträume. K ∈ ℒ(X , Y) heißt vollstetig, wenn K beschränkte schwache Nullfolgen in Nullfolgen abbildet:

(x_{n})_{n} in Ball X und lim_{n→∞}⟨x_{n}, y⟩ = 0 für y ∈ X

⇒ lim_{n→∞} ∥Kx_{n}∥ = 0.

4.1.7 Bem. (Kompakte Op. vollstetig) Es sei X, Y Prähilberträume. Jeder kompakte Operator K ∈ 𝒦(X , Y) ist vollstetig.

Beweis. Es sei K kompakt und (x_{n})_{n} eine eine Folge in Ball(H), die schwach gegen 0 konvergiert. Es seien H := X^{∼} und K := Y^{∼} die Vervollständigungen. Die eindeutige stetige Forsetzung bezeichnen wir mit K. Nach Bemerkung B.3.3 ist die Fortsetzung kompakt.

Nach Anmerkung 5. konvergiert die Folge (x_{n})_{n} in H schwach gegen 0.

Wir zeigen, daß jede konvergente Teilfolge (Kx_{n_{k}})_{k} gegen 0 konvergiert. Nach Bemerkung A.3.5 ist dann

lim_{n→∞} Kx_{n_{k}} = 0.

Es sei y = lim_{k→∞} Kx_{n_{k}}. Für den Grenzwert y folgt dann:

∥Kx_{n_{k}}∥^{2} = ⟨Kx_{n_{k}} − y, Kx_{n_{k}}⟩ + ⟨y, Kx_{n_{k}}⟩

≤ ∥K∥∥Kx_{n_{k}} − y∥ + |⟨K^{∗}y, x_{n_{k}}⟩| → 0.

4.1.8 Bem. (Grenzwerte von Folgen vollst. Op.) Es seien X, Y Prähilberträume und (K_{n})_{n} eine konvergente Folge vollstetiger Operatoren in ℒ(X , Y):

lim_{n→∞} ∥K − K_{n}∥ = 0.

Dann ist der Grenwert K vollstetig.

Beweis. Es sei (x_{n})_{n} eine schwache Nullfolge in Ball X. Nach Voraussetzung gibt es zu ε > 0 eine vollstetigen Operator L ∈ ℒ(X , Y) mit ∥K − L∥ < ε. Da L vollstetig ist, gibt es ein n_{0} ∈ ℕ derart, daß

∥Lx_{n}∥ < ε für n ≥ n_{0}.

Also ist

∥Kx_{n}∥ ≤ ∥(K − L)x_{n}∥ + ∥Lx_{n}∥ ≤ 2ε für n ≥ n_{0}.

4.1.9 Festst. (vollstetige Op.) Es seien X, Y Prähilberträume und K ∈ ℒ(X , Y).

(i) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) K ist vollstetig

(b) Für jede orthonormale Folge (e_{n})_{n} ist

lim_{n→∞} ∥Ke_{n}∥ = 0.

(c) Es gibt eine Folge (K_{n})_{n} endlichrangiger Operatoren in ℱ(X , Y) die gegen K konvergiert. Man kann die approximierende Folge (K_{n})_{n} so wählen, daß ∥K_{n}∥ ≤ ∥K∥ ist.

(ii) Es sei X = Y. In den beiden Fällen

1. 𝕂 = ℂ,

2. K ist symmetrisch (siehe Bez. 2.1.9 (iii)),

ist die folgende Aussage (d) äquivalent zu (a)–(c):

(d) Für jede orthonormale Folge (e_{n})_{n} ist

lim_{n→∞}⟨Ke_{n}, e_{n}⟩ = 0.

Anmerkung. Aus Satz B.3.4 folgt nun:

4.1.10 Folg. (kompakt ⇔ vollstetig) Für einen Hilbertraum H und einen Prähilbertraum X gilt: K ∈ ℒ(X , H) ist genau dann vollstetig, wenn K kompakt ist.

Beweis. (i) (a) ⇒ (b): Aus der Besselschen Ungleichung 1.5.3 folgt, daß jede orthonormale Folge eine schwache Nullfolge ist.

(b) ⇒ (c): Wir konstruieren induktiv eine orthonormale Folge (e_{n})_{n∈ℕ_{0}} in X und die orthogonalen Projektoren

P_{n} := P_{lin{e_{0},...,e_{n−1}}} und Q_{n} := id_{X} −P_{n}

mit folgenden Eigenschaften:

∥KQ_{n}∥ ≤ ∥KQ_{n}e_{n}∥ + \frac{1}{n} für n ∈ ℕ.  (∗)

Man wähle e_{0} ∈ X mit ∥e_{0}∥ = 1. Es seien e_{0}, …, e_{n} bereits gewählt, so daß (∗) gilt. Nach Definition der Norm, gibt es einen Einheitsvektor e_{n+1} ∈ Q_{n+1}X = {e_{0}, …, e_{n}}^{⊥} mit

∥KQ_{n+1}∥ ≤ ∥KQ_{n+1}e_{n+1}∥ + \frac{1}{n+1}.

Da nach Vorausetzung lim_{n→∞} ∥Ke_{n}∥ = 0 und Q_{n}e_{n} = e_{n} ist, folgt

∥KQ_{n}e_{n}∥ = ∥Ke_{n}∥ → 0.

Aus Gleichung (∗) folgt nun lim_{n→∞} ∥KQ_{n}∥ = 0.

Der Operator K_{n} := KP_{n} = K(id_{X} −Q_{n}) hat endlichen Rang und

lim_{n→∞} ∥K − K_{n}∥ = lim_{n→∞} ∥KQ_{n}∥ = 0.

Für die Norm gilt: ∥K_{n}∥ = ∥KP_{n}∥ ≤ ∥K∥∥P_{n}∥ = ∥K∥. (c) ⇒ (a) ergibt sich sofort aus Bemerkung 4.1.8.

(ii) (b) ⇒ (d) gilt offensichtlich immer.

(d) ⇒ (c): In den beiden angegebenen Fällen ist die Norm der quadratischen Form q_{T} : x ↦ ⟨T x, x⟩ äquivalent zur Operatornorm ∥T ∥ (siehe...). Führt man den Schluß (b) ⇒ (c) analog mit der äquivalenten Norm ∥q_{T} ∥ durch, so erhält man (d) ⇒ (c).

4.1.2 Beispiele

Anmerkung. Ein quasinilpotenter kompakter Operator heißt auch Volterra-Operator. Der Prototyp eines solchen Operators in L^{2}([0, 1]) hat die Form

(V f)(s) = ∫_{0}^{s} k(s, t)f(s) dt für f ∈ L^{2}([0, 1]).

Der kern k(t, s) verhält sich wie eine untere Dreiecksmatrix mit 0 auf der Diagonalen. Im Fall

k(s, t) = \begin{cases}1 & für s < t \\ 0 & für t ≤ s \end{cases}

ist V f die Stammfunktion, die wir in den beiden folgenden Beispielen genauer untersuchen:

4.1.11 Bsp. (Volterra-Operator auf C([0, 1])) Auf C([0, 1], ℂ) mit der ∥·∥_{sup}-Norm erklären wir eine linearen Operator V durch die Stammfunktion

(V f)(t) := ∫_{0}^{t} f(τ) dτ für t ∈ [0, 1]

und f ∈ C([0, 1]). V hat die folgenden Eigenschaften:

(i) ∥V ∥ = 1 und V ist kompakt.

(ii) V ist quasinilpotent: lim_{n→∞} \sqrt[n]{∥V^{n}∥} = 0.

V ist injektiv und 0 ∈ σ(V) ist ein approximativer Eigenwert.

Beweis. (i) Aus

∥V f∥_{sup} = sup_{t∈[0,1]} |∫_{0}^{t} f(τ) dτ| ≤ ∥f∥_{sup}.

folgt ∥V ∥ ≤ 1. Da ∥V 1l_{[0,1]}∥_{sup} = 1 ist , ist ∥V ∥ = 1.

Wir prüfen die Voraussetzungen für den Satz von Arzela-Ascoli nach: Die Familie V (Ball C([0, 1])) ist gleichstetig:

|f(s) − f(t)| = |∫_{s}^{t} f(τ) dτ| ≤ ∥f∥_{sup}|t − s|.

und beschränkt. Nach dem Satz A.3.7 ist V (Ball C([0, 1])) relativ kompakt und somit V ein kompakter Operator.

(ii) Für die n-ten Stammfunktion V^{n}f gilt die Taylorformel mit Integralrestglied:

(V^{n}f)(t) = ∑_{k=0}^{n−1}(V^{(−n+k)}f)(0)\frac{(t − a)^{k}}{k!}

+ ∫_{0}^{t} f(τ)\frac{(t − τ)^{n−1}}{(n − 1)!} dτ für t ∈ [0, 1]. (∗)

Die Taylorkoeffizienten verschwinden alle. Man schätzt ab:

|(V^{n}f)(t)| ≤ ∥f∥_{sup} ∫_{0}^{t} \frac{(t − τ)^{n−1}}{(n − 1)!} dτ = ∥f∥_{sup} \frac{t^{n}}{n!} .

Hieraus folgt ∥V^{n}∥ ≤ \frac{1}{n!} und somit lim_{n→∞} \sqrt[n]{∥V^{n}∥} = 0.

Für e_{n}(t) := e^{2πint} ist

V e_{n} = \frac{e_{n} − 1l_{[0,1]}}{2πin} für n ∈ ℕ

und folglich lim_{n→∞} ∥V e_{n}∥_{sup} = 0. Die Folge (e_{n}) ist ein approximativer Eigenvektor.

Anmerkung. Es sei X der Prähilbertraum C([0, 1]) versehen mit dem Standardskalarprodukt ⟨f, g⟩ := ∫_{0}^{1} f(s)\overline{g(s)} ds (siehe Bsp. 1.2.4). Die Vervollständigung von X ist der Raum L^{2}([0, 1]). Die Einbettung

I : (C([0, 1]), ∥·∥_{sup}) → L^{2}([0, 1])

ist kontrahierend mit ∥I∥ = 1. Wir untersuchen den Volterra-Operator aus Beispiel 4.1.11 als Operator auf X bzw. L^{2}([0, 1]).

4.1.12 Bsp. (Volterra-Operator auf L^{2}([01])) Es sei V : C([0, 1]) → C([0, 1]) der Operator aus Beispiel 4.1.11.

(i) Faßt man V als Operator Ṽ : X → C([0, 1]) auf, so ist Ṽ kompakt.

(ii) Ṽ hat eine eindeutige stetige Fortsetzung zu einem kompakten Operator Ṽ : L^{2}([0, 1]) → C([0, 1]).

(iii) Es sei I die stetige Einbettung von (C([0, 1])) in L^{2}([0, 1]). Die Komposition

K = IṼ : L^{2}([0, 1]) → C([0, 1]) → L^{2}([0, 1])

ist ein kompakter Operator von L^{2}([0, 1]) in sich.

(iv) K ist quasinilpotent: lim_{n→∞} \sqrt[n]{∥K^{n}∥} = 0, injektiv und 0 ∈ σ(K) ist ein approximativer Eigenwert.

Insbesondere bilden die Basisvektoren e_{n}(t) := e^{2πint} (n ∈ ℕ) (siehe Satz 1.5.13) eine approximative Eigenvektorfolge:. lim_{n→∞} ∥Ke_{n}∥ = 0.

Beweis. (i) Wir prüfen die Voraussetzungen für den Satz von Arzela-Ascoli nach: Für 0 ≤ s ≤ t ≤ 1 folgt mit der Schwarzschen Ungleichung

|(Kf)(t) − (Kf)(s)| = |∫_{s}^{t} 1 · f(τ) dτ|

≤ ( ∫_{s}^{t} 1^{2} · dτ)^{1/2}( ∫_{s}^{t} |f(τ)|^{2} dτ)^{1/2} ≤ \sqrt{t − s}∥f∥_{L^{2}}

Also ist die Familie Ṽ (Ball X) gleichstetig. Für s = 0 folgt ∥Ṽ ∥ ≤ 1. Mit dem Satz von Arzela-Ascoli A.3.7 folgt, daß Ṽ (Ball X) relativ kompakt in (C([0, 1]), ∥·∥_{sup}) ist.

Folglich ist der Operator Ṽ : X → C([0, 1]) kompakt.

(ii) Nach Bemerkung B.3.3 (ii) hat der kompakte Operator Ṽ genau eine stetige Fortsetzung auf die vollständige Hülle von X, die wir weiterhin mit Ṽ : L^{2}([0, 1]) → ℂ([0, 1]) bezeichnen. Ṽ ist kompakt.

(iii) Da die identische Abbildung, aufgefaßt als Abbildung C([0, 1]) → X ⊂ L^{2}([0, 1]), beschränkt ist, ist K = I ∘ Ṽ : L^{2}([0, 1]) → L^{2}([0, 1]) kompakt.

(iv) Für K^{n} gilt die Formel (∗). Schätzt man in (∗) die rechte Seite mit der Schwarzschen Ungleichung ab:

|(K^{n}f)(t)| ≤ ∥f∥_{L^{2}}( ∫_{0}^{t} (\frac{(t − τ)^{n−1}}{(n − 1)!} )^{2} dτ)^{1/2}

≤ ∥f∥_{L^{2}}( ∫_{0}^{t} \frac{(t − τ)^{n−1}}{(n − 1)!} dτ)^{1/2}

≤ ∥f∥_{L^{2}}(\frac{t^{n}}{n!} )^{1/2}

so folgt

∥K^{n}∥ ≤ \frac{1}{\sqrt{n!}}

und somit lim_{n→∞} \sqrt[n]{∥K^{n}∥} = 0.

Für e_{n}(t) := e^{2πint} ist

Ke_{n} = \frac{e_{n} − 1l_{[0,1]}}{2πin} für n ∈ ℕ

und somit lim_{n→∞} ∥Ke_{n}∥_{L^{2}} = 0. Die orthonormale Folge (e_{n}) ist ein approximativer Eigenvektor. (vgl. hierzu Bem. 4.1.5).

Wir zeigen, daß K injektiv ist: Da K : L^{2}([0, 1]) → C([01,]) stetig ist, gilt für f ∈ Kern K die Formel

⟨1l_{[0,t]}, f⟩ = (Kf)(t) = 0 für t ∈ [0, 1].

Die lineare Hülle der Funktionen {1l_{[0,t]} | t ∈ [0, 1]} sind die rechtsseitig stetigen Treppenfunktionen. Da die Treppenfunktionen dicht in L^{2}([0, 1]) liegen (siehe Bem. 1.4.6), ist

⟨g, f⟩ = 0 für g ∈ L^{2}([0, 1])

und folglich f = 0.

4.2 Spektrum kompakter Operatoren

Anmerkung. Die Ergebnisse diese Abschnittes sind nicht typisch für Hilbertraume bzw. Prähilberträume. Mit den gleichen Beweisideen und etwas mehr Aufwand lassen sich die Aussagen für Banachräume beweisen. Wir benutzen lediglich, daß es zu jedem endlichdimensionalen Raum eine stetigen Projektor auf diesen Raum gibt. Das gilt auch für normierte Räume (vgl. [, Werner Satz IV.6.2]).

Anmerkung. (Rieszsches Lemma) Es seien E ein normierter und F ein abgeschlossener Teilraum. Zu ε > 0 gibt es ein x_{0} ∈ E \ F mit

1 = dist(x_{0}, F) ≤ ∥x_{0}∥ < 1 + ε

Beweis. Da F abgeschlossen ist, ist dist(x, F) > 0 für x ∈ E \ F. Man beachte, daß die Distanzfunktion x ↦ dist(x, F) eine Halbnorm auf E ist. Man wähle ein x ∈ E \ F mit dist(x, F) = 1 und dazu ein y ∈ F mit

1 = dist(x, F) ≤ ∥x − y∥ < 1 + ε

und setze x_{0} := x − y.

4.2.1 Festst. Es seien X ein Prähilbertaraum und K ∈ ℒ(X) kompakt. Dann gilt

(i) Der Kern Kern(id_{X} −K) ist endlichdimensional.

(ii) Der Minimalmodul γ(id_{X} −K) > 0.

(iii) Das Bild Bild(id_{X} −K) ist abgeschlossen.

(iv) Wenn id_{X} −K injektiv ist, dann existiert eine beschränkte Inverse (id_{X} −K)^{−1} ∈ ℒ(X).

Beweis. (i) Auf N := Kern(id_{X} −K) ist id_{N} = K|N kompakt. Nach Folgerung 4.1.1 ist dim N < ∞.

(ii) Da N endlichdimensional ist, ist X = N ⊕ N^{⊥}. Wenn γ((id_{X} −K) = 0 ist, so gibt es eine Folge (x_{n})_{n} in N^{⊥} mit

∥x_{n}∥ = 1 und lim_{n→∞} ∥(id_{X} −K)x_{n}∥ = 0.

Da K kompakt ist, hat (Kx_{n})_{n} eine konvergente Teilfolge. Ohne Einschränkung existiert also y := lim_{n→∞} Kx_{n}. Dann konvergiert aber auch die Folge (x_{n})_{n} gegen den gleichen Grenzwert:

y = lim_{n→∞} Kx_{n} = lim_{n→∞} x_{n} ∈ N^{⊥}.
∥y∥ = lim_{n→∞} ∥x_{n}∥ = 1.

Da

(id_{X} −K)y = lim_{n→∞}(id_{X} −K)x_{n} = 0

ist, folgt y ∈ N ∩ N^{⊥}, d.h., y = 0 im Widerspruch zu ∥y∥ = 1.

(iii) Zu y ∈ \overline{Bild}(id_{X} −K) gibt es eine Folge (x_{n})_{n} in X mit y = lim_{n→∞}(id_{X} −K)x_{n}. Da konvergente Folgen bechränkt sind und nach (ii) c := γ(id_{X} −K) > 0 ist, ist die Folge (x_{n})_{n} beschränkt:

∥x_{n}∥ ≤ c^{−1} sup_{ν∈ℕ} ∥(id_{X} −K)x_{ν}∥ < ∞.

Da K kompakt ist, hat (Kx_{n})_{n} eine konvergente Teilfolge. Ohne Einschränkung existiert z = lim_{n→∞} Kx_{n}. Dann existiert auch der Grenzwert

lim_{n→∞} x_{n} = y + lim_{n→∞} Kx_{n} = y + z

und es ist

y = lim_{n→∞}(id_{X} −K)x_{n} = (id_{X} −K)(y + z).

Also ist y ∈ Bild(id_{X} −K) und Bild(id_{X} −K) ist abgeschlossen.

(iv) Wenn id_{X} −K injektiv ist, dann ist nach (iii) id_{X} −K nach unten beschränkt. Wenn id_{X} −K surjektiv ist, so existiert die Inverse und ist stetig.

Wir zeigen, daß die Annahme, Bild(id_{X} −K) ≠ X zu einem Widerspruch führt. Dazu bilden wir die Folge der Räume X_{0} := X, X_{1} := Bild(id_{X} −K) und X_{n+1} = (id_{X} −K)X_{n}. Da (id_{X} −K) injektiv ist, ist X_{n} ⫌ X_{n+1}.

Nach (iii) ist X_{1} := Bild(id_{X} −K) abgeschlossener Teilraum von X_{0} := X. X_{1} ist invariant unter K:

KX_{1} = K(id_{X} −K)X_{0} = (id_{X} −K)KX_{0} ⊂ X_{1}.

Wendet man (iii) auf den Prähilbertraum X_{1} und den kompakten Operator K_{1} := K|X_{1}, so folgt, daß X_{2} = (id_{X_{1}} −K_{1})X_{1} ein abgeschlossener Unterraum von X_{1} ist. Induktiv fogt, daß alle Räume X_{n} abgschlossen sind.

Nach dem Rieszschen Lemma gibt es eine Folge (x_{n})_{n} mit folgenen Eigenschaften:

x_{n} ∈ X_{n} \ X_{n+1} und 1 = dist(x_{n}, X_{n+1}) ≤ ∥x_{n}∥ ≤ 2.

Für m < n ist (id_{X} −K)x_{m} + Kx_{n} ∈ X_{n} ⊂ X_{m+1} und folglich

∥Kx_{m} − Kx_{n}∥ = ∥x_{m} − ((id_{X} −K)x_{m} + Kx_{n})∥ ≥ 1,

Die Folge (Kx_{n})_{n} enthält also keine konvergente Teilfolge, im Widerspruch zur Kompaktheit von K.

4.2.2 Folg. Es sei X ein Hilbertraum und K ∈ ℒ(H) kompakt.

(i) Jedes λ ∈ σ(K) \ {0} ist ein Eigenwert.

(ii) Das Spektrum von K ist endlich oder abzählbar unendlich.

(iii) Für jede Aufzählung σ(K) = {λ_{n} | n ∈ ℕ} ist (λ_{n})_{n} eine Nullfolge.

Kurz gesagt, σ(K) ist endlich oder eine Nullfolge.

Beweis. (i) Wenn μ ≠ 0 und μ id_{H} −K injektiv ist, so ist μ in der Resolventenmenge ρ(K) (siehe Feststellung 4.2.1). Folglich sind alle λ ∈ σ(K) \ {0} Eigenwerte von K.

(ii) Wir zeigen, daß für jedes k ∈ ℕ die Teilmenge S_{k} :=

\{λ ∈ σ(K) | |λ| ≥ \frac{1}{k} \} endlich ist. Dann ist σ(K) = ⋃_{k=1}^{∞} S_{k}

höchstens abzählbar unendlich.

Annahme: Es gibt ein c > 0 und eine Folge (λ_{n})_{n} in σ(K), derart daß für m, n ∈ ℕ gilt:

λ_{m} ≠ λ_{n} für m ≠ n und |λ_{n}| ≥ c.

Da die λ_{n} paarweise verschieden sind, ist jede endliche Summe der Eigenräume N_{n} := Kern(λ_{n} id_{H} −K) eine direkte Summe. Die Räume X_{0} = {0} und

X_{n} := ⨁_{ν=1}^{n} N_{ν}

sind endlichdimensional, also abgeschlossen (siehe Satz 1.2.8). Da X_{n} ⫋ X_{n+1} ist, gibt es nach dem Lemma von Riesz Vektoren x_{n} ∈ X_{n} \ X_{n−1} mit

1 = dist(x_{n}, X_{n−1}) ≤ ∥x_{n}∥ ≤ 2.

Es sei m < n, m, n ∈ ℕ. Da (λ_{n} id_{H} −K)x_{n} ∈ X_{n−1} und KX_{m} ⊂ X_{m} ⊂ X_{n−1} ist, folgt

∥Kx_{n} − Kx_{m}∥ = ∥λx_{n} − ((λ_{n} id_{H} −K)x_{n} + Kx_{m})∥
≥ |λ_{n}| dist(x_{n}, X_{n−1}) ≥ c.

Die Folge (Kx_{n})_{n} enthält also keine konvergente Teilfolge, im Widerspruch zur Kompaktheit von K.

4.3 Kompakte normale Operatoren

4.3.1 Satz (Spektralsatz für kpt. normal Op.) Es seien H ein Hilbertraum und K ∈ ℒ(H) kompakt und normal.

(i) Wenn 1 ≤ Rang K < ∞ ist, dann ist das Spektrum endlich: σ(K) = {0} ∪ {λ_{1}, …, λ_{n}}.

(ii) Wenn Rang K = ∞ ist, dann ist das Spektrum abzählbar unendlich: σ(K) = {0} ∪ {λ_{n} | n ∈ ℕ}. Dabei sind die λ_{n} paarweise verschieden und bilden eine Nullfolge.

(iii) Die Punkte λ ∈ σ(K) \ {0} sind Eigenwerte und die Eigenräume N_{λ} := Kern(λ id_{H} −K) sind endlichdimensional.

Die orthogonalen Projektoren P_{λ} := P_{N_{λ}} haben endlichen Rang.

Man setze N_{0} := Kern K und P_{0} := P_{N_{0}} den orthogonalen Projektor auf N_{0}. Wenn K injektiv ist, so ist P_{0} = 0.

(iv) Für je zwei zwei verschieden Eigenwerte λ, μ sind die Eigenräume senkrecht zueinander:

N_{λ} ⊥ ℕ_{μ} und P_{λ}P_{μ} = 0 für λ ≠ μ.

(v) Der Hilbertraum H ist die orthogonale direkte Summe der Eigenräume von K. D.h. für x ∈ H gilt

x = ∑_{λ∈σ(K)} P_{λ}x und ∥x∥^{2} = ∑_{λ∈σ(K)} ∥P_{λ}x∥^{2}.

Man schreibt hierfür H = ⨁_{λ∈σ(K)}^{ℓ_{2}} N_{λ}.

(vi) Der Operator K hat eine Entwicklung in eine Reihe

K = ∑_{λ∈σ(K)} P_{λ}K.

Die Reihe konvergiert in der Operatornorm: Für endliche Mengen F_{0}, F mit F_{0} ⊂ F ⊂ σ(K) gilt

∥K − ∑_{λ∈F} P_{λ}K∥ = max{|λ| | λ ∈ σ(K) \ F_{0}}.

Im allgm. ist die Reihe nicht absolut konvergent.

(vii) Für eine Aufzählung σ(K) = {0} ∪ {λ_{n} | n ∈ ℕ}

mit |λ_{n}| ≥ |λ_{n+1}| ist also H = ⨁_{n=0}^{∞} N_{λ_{n}},

K = ∑_{n=1}^{∞} λ_{n}P_{n} und ∥K − ∑_{ν=1}^{n} λ_{ν}P_{ν}∥ = |λ_{n+1}| → 0,

Kx = ∑_{n=1}^{∞} λ_{n}P_{n} und ∥Kx∥^{2} = ∑_{n=1}^{∞} |λ_{n}|^{2}∥P_{n}x∥^{2}.

64 4 KOMPAKTE OPERATOREN A.2 Separable Räume A1

A Metrische Räume

Wir erinnern an einige Resultate über metrische Räume.

A.1 Vervollständigung

Sehr viele Konstruktionen in der Analysis beruhen auf dem folgenden Fortsetzungssatz.

A.1.1 Satz (Fortsetzung gleichm.-stetiger Abb.) Es seien (X, d_{X}), (Y, d_{Y}) metrische Räume, M ⊂ X dicht und f : M → Y gleichmäßig stetig.

Wenn Y vollständig ist, dann hat f genau eine stetige Fortsetzung f̃: X → Y.

f̃ ist ebenfalls gleichmäßig-stetig.

A.1.2 Bem. (Eigenschaften der Fortsetzung) Offensichtlich gilt:

(i) f Lipschitz-stetig ⇒ f̃Lipschitz-stetig mit der gleichen Lipschitz-Konstante.

(ii) f isometrisch ⇒ f̃ isometrisch.

(iii) Für Funktionen gilt: f beschränkt ⇒ f̃ beschränkt und ∥f∥_{sup} = ∥f̃∥_{sup}.

A.1.3 Def. (Vervollständigung) Es seien (X, d_{X}), (Y, d_{Y}) metrische Räume und j : X → Y eine isometrische Abbildung.

Das Paar (Y, j) heißt Vervollständigung von X, wenn

(i) Y vollständig ist,

(ii) das Bild j(X) dicht in Y ist.

A.1.4 Bem. (Eindeutigkeit der Vervollständ.) Es seien (X, d_{X}), (Y_{1}, d_{1}), (Y_{2}, d_{2}) metrische Räume und j_{1} : X → Y_{1}, j_{2} : X → Y_{2} isometrische Abbildungen.

Wenn (Y_{1}, j_{1}) und (Y_{2}, j_{2}) Vervollständigungen von X sind, dann gibt es genau eine isometrische, bijektive Abbildung

j_{1,2} : Y_{1} → Y_{2},

so daß j_{2} = j_{1,2} ∘ j_{1} gilt.

Dann gilt j_{1} = j_{1,2}^{−1} ∘ j_{2}

Anmerkung. Die Vervollständigung ist also bis auf eine Isometrie eindeutig bestimmt. Im allgemeinen fixiert man eine Vervollständigung (X^{∼}, j) von X und identifiziert X = j(X). D.h. j ist die Inklusion X ⊂ X^{∼}

A.1.5 Bem. (dichter Teilraum) Ein metrischer Raum und eine dichte Teilmenge des Raumes haben die gleiche Vervollständigung.

Wenn M ⊂ X dicht ist und (X^{∼}, j) eine Vervollständigun von X, so ist j(M) ⊂ X^{∼} dicht. Folglich ist (X^{∼}, j|M) eine Vervollständigung von M.

A.1.6 Bem. (Konstruktion Vervollständigung) Mit dem Cantorschen Verfahren kann man jeden metrischen Raum vervollständigen. Zur Bildung der Vervollständigung benutzt man aber auch gerne die folgenden Methoden.

(i) In einem vollständigen metrischen Raum (X, d) ist der Abschluß M^{−} einer Teilmenge M ⊂ X ein vollständiger metrischer Raum (M^{−}, d|_{M^{−}}).

(ii) Gegeben sei eine isometrische Abbildung j : (X, d_{X}) → (Y, d_{Y}) in einen vollständigen Raum (Y, d_{Y}). Dann erhält man eine Vervollständigung (X^{∼}, j) von X, indem man X^{∼} als Abschluß von j(X) in Y definiert. Durch geeignete Wahl von j und Y kann man häufig weitere Eigenschaften der Vervollständigung X^{∼} leichter herleiten als mit der Cantorschen Konstuktion.

A.2 Separable Räume

A.2.1 Bem. (separable metrische Räume) (i) Ein metrischer Raum (X, d) heißt separabel, wenn es eine höchstens abzählbare, dichte Teilmenge in (X, d) gibt.

(ii) Die Separabilität eines Raumes benutzt man gerne, um mit den abzählbar vielen Elementen einer dichten Teilmenge D eine Konstruktion mittels vollständiger Induktion durchzuführen.

(iii) Jede Teilmenge M eines separablen metrischen Raumes ist separabel.

(iv) Eine Teilmenge M eines metrischen Raumes heißt zerstreut, wenn es ein ρ > 0 so gibt, daß d(x, y) > ρ für alle x, y ∈ M mit x ≠ y gilt.

(v) Eine zerstreute Teilmenge eines separablen metrischen ist höchstens abzählbar.

Beweis. (iii) Es sei D = {x_{n} | n ∈ ℕ} dicht in X. Man wähle zu (n, k) ∈ ℕ × ℕ, sofern vorhanden, ein y_{n,k} ∈ M mit d(x_{n}, y_{n,k}) < \frac{1}{k} und andernfall ein beliebiges y_{n,k} ∈ M beliebig.

Dann ist die Menge {y_{n,k} | (n, k) ∈ ℕ×ℕ} eine höchsten abzählbare, dichte Teilmenge von M.

A2 A METRISCHE RÄUME A.3 Kompakte metrische Räume A3

A.3 Kompakte metrische Räume

A.3.1 Def. und Satz (kompakter metr. Raum) Ein metrischer Raum (M, d) heißt kompakt, wenn er eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften hat:

(a) Eigenschaft von Heine-Borel: Jede offene Überdeckung von M enthält eine endliche Überdeckung von M.

(b) Jede abzählbare offene Überdeckung von M enthält eine endliche Überdeckung von M.

(c) Cantorsche Durchschnittssatz: Jede fallende Folge (F_{n})_{n} nichtleerer abgeschlossener Teilmengen von M hat nichtleeren Durchscnitt.

(d) folgenkompakt: Jede Folge in M hat eine konvergente Teilfolge.

(e) M ist vollständig und jede zerstreute Teilmenge von M ist endlich.

(f) vollständig und präkompakt:

1. M ist vollständig.

2. Zu ε > 0 gibt es endlich viele Punkte x_{1}, …, x_{n} ∈ M derart, daß

min_{ν=1,...,n} ∥x − x_{ν}∥ < ε für x ∈ M.

A.3.2 Bem. (kompakte Räume separabel) Kompakte metrische Räume sind separabel.

Beweis. Man bilde zu ε = \frac{1}{k} ein ε-Netz N_{k} := {x_{1}^{k}, …, x_{n_{k}}^{k}}. Dann ist

N := ⋃_{k=1}^{∞} N_{k}

eine abzählbar dichte Teilmenge in M. Also ist M separabel (siehe Bem. A.2.1).

A.3.3 Bez. (präkompakt oder totalbeschränkt) Ein metrischer Raum M heißt präkompakt, wenn M eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften hat:

(a) Zu ε > 0 gibt es endlich viele Punkte x_{1}, …, x_{n} ∈ M derart, daß

min_{ν=1,...,n} ∥x − x_{ν}∥ < ε für x ∈ M.

Man nennt {x_{1}, …, x_{n}} ein ε-Netz von M. Statt präkompakt sagt man auch totalbeschränkt.

(b) Jede zerstreute Teilmenge von M ist endlich.

(c) Jede Folge in M besitzt eine Teilfolge, die eine Cauchyfolge ist.

(d) Die Vervollständigung M^{∼} ist kompakt.

A.3.4 Bez. (relativkompakt) Es sei M ein metrischer Raum. Eine Teilmenge K heißt relativkompakt, wenn K eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften hat:

(a) der Abschluß \overline{K} ist ein kompakter metrischer Raum.

(b) Jede Folge in K hat eine Teilfolge, die in M konvegiert.

A.3.5 Bem. (Häufungswert einer konv. Folge) Es seien M ein metrischer Raum, (x_{n})_{n} eine Folge in M und c ∈ M.

(i) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) lim_{n→∞} x_{n} = c.

(b) c ist der einzige Häufungswert der Folge (x_{n})_{n}.

(c) Jede Teilfolge von (x_{n})_{n} enthält eine Teilfolge, die gegen c konvergiert.

(ii) Wenn M kompakt ist, ist auch die folgende Bedingung äquivalent zu (a)–(c):

(d) Jede konvergente Teilfolge von (x_{n})_{n} konvergiert gegen c.

A.3.6 Lemma (gleichstetig und glm. Konvergenz) Es sei M ein kompakter metrischer Raum und (f_{n})_{n} eine Folge gleichstetiger Funktionen in C(M, 𝕂).

Wenn die Folge (f_{n})_{n} auf einer dichten Teilmenge von M punktweise konvergiert, dann konvergiert die Folge gleichmäßig auf M.

Anmerkung. Mit Lemma A.3.6 und dem Cantorschen Diagonalprinzip folgt der Satz von Arzela-Ascoli:

A.3.7 Satz (Arzela und Ascoli) Es sei M ein kompakter metrischer Raum. Für eine Familie K in (C(M, 𝕂), ∥·∥_{sup}) sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(i) K ist relativ kompakt.

(ii) Die Familie K ist punktweise beschränkt und gleichstetig, d. h.:

1. sup_{f∈K} |f(x)| < ∞ für x ∈ M.

2. Für x ∈ M und ε > 0 gibt es ein δ > 0 derart, daß

|f(x) − f(y)| < ε für f ∈ K, y ∈ M mit d(x, y) < δ.

A.3.8 Satz (Dini) Es seien M ein kompakter metrischer Raum und (f_{n})_{n} eine monoton fallende Folge in C(M, ℝ).

Wenn die Folge (f_{n})_{n} punktweise gegen 0 konvergiert, dann konvergiert sie gleichmäßig gegen 0, d.h.

f_{n}(x) ↓ 0 für x ∈ M ⇒ ∥f_{n}∥_{sup} ↓ 0.

A4 A METRISCHE RÄUME B.1 Banachräume B1

B Normierte Räume, Algebren

In diesem Anhang sammeln wir einige Definitionen und Sätze zu Banachräumen, Operatoren auf Banachräumen und Banachalgebren, die im Hauptteil für Operatoren auf dem Hilbertraum benötigt werden. Hier sind die Aussagen versammelt, die nicht an den Hilbertraum gebunden sind und für die es im Fall des Hilbertraumes auch keine einfacheren Beweise gibt.

Die Kapitelüberschrift ”Normierte Räume und Algebren“ soll signalisieren, daß dieses Kapitel nicht sehr in die Tiefe geht und daß die meisten Resultate über allgemeine Banachräume hier nicht angesprochen werden.

B.1 Banachräume

B.1.1 Grenzwerte in normierten Räumen

B.1.1 Def. (Halbnorm, Norm) Ein Funktional p auf einem 𝕂-Vektorraum V mit den folgenden Eigenschaften

(i) 0 ≤ p(x)

(ii) p(λx) = |λ|p(x),

(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) (subadditiv), heißt eine Halbnorm auf V. Gilt zusätzlich

(i’) 0 < p(x) für alle x ∈ V, x ≠ 0,

so heißt p eine Norm auf V.

Normen werden üblicherweise mit ∥·∥ bezeichnet.

B.1.2 Bez. (normierte Raum, Banach-Raum) Ein 𝕂-Vektorraum E mit einer fixierten Norm ∥·∥ heißt ein normierter Raum. Auf einem normierten Raum definiert man den Abstand d(x, y) zweier Punkte x, y ∈ V durch

d(x, y) := ∥x − y∥.

Die Funktion d : E × E → [0, ∞) ist eine Metrik auf E.

Wenn E in dieser Metrik vollständig ist, so heißt der normierte Raum E ein Banachraum.

B.1.3 Satz (Rechenregeln Grenzwerte) Für einen normierten Raum E gelten die üblichen Rechenregeln für Grenzwerte:

(i) Es seien (x_{n})_{n}, (y_{n})_{n} konvergente Folgen in E und (λ_{n})_{n} konvergent in 𝕂 Dann gilt

lim_{n→∞}(x_{n} + y_{n}) = lim_{n→∞} x_{n} + lim_{n→∞} y_{n},
lim_{n→∞}(λ_{n}x_{n}) = lim_{n→∞} λ_{n} lim_{n→∞} y_{n}.

(ii) Aus der Dreicksungleichung

| ∥x∥ − ∥x∥ | ≤ ∥x − y∥

folgt, daß die Norm Lipschitz-stetig ist. Die Normen einer Cauchyfolge in E bilden eine Cauchyfolge in ℝ.

Beweis. Wie im 𝕂^{n}, vgl. Analysis Vorlesung.

B.1.4 Folg. (Abschluß lin. Teilraum) In einem normierten Raum gilt:

(i) Der Abschluß eines linearen Teilraumes ist ein linearer Teilraum.

(ii) Der Abschluß einer konvexen Teilmenge ist konvex.

B.1.5 Bsp. (normierte Räume) (i) In der Analysis II wurde gezeigt, das der 𝕂^{n} mit der Norm

∥(ξ_{ν})_{ν}∥_{2} := ( ∑_{ν=1}^{n} |ξ_{ν}|^{1})^{\frac{1}{2}}

vollständig ist.

Da n-dimensionale euklidische bzw. unitäre Räume isometrisch zum l_{2}^{n} sind, sind alle endlichdimensionalen Prähilberträume vollständig (vgl. Beispiel 1.2.7 (ii))

(ii) In der Analysis wurde gezeigt, das auf dem 𝕂^{n} alle Normen äquivalent sind. Zu jeder Norm ∥ · ∥ auf dem 𝕂^{n} gibt es zwei Konstanten 0 < c ≤ C < ∞, so daß

c∥x∥_{2} ≤ ∥x∥ ≤ C∥x∥_{2} für x ∈ 𝕂^{n}.

(iii) Ein Prähilbertraum ist mit der vom inneren Produkt ⟨·, ·⟩ erzeugten Norm ∥x∥ := \sqrt{⟨x, x⟩} ein normierter Raum.

(iv) Der Raum C([0, 1], 𝕂) der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall mit der Supremumsnorm

∥f∥_{sup} := max_{t∈[0,1]} |f(t)|.

ist ein Banachraum

B.1.2 Dualer Raum

B.1.6 Def. (beschränkte Linearform) Es sei E ein normierter Raum über 𝕂

(i) Eine Linearform φ : E → 𝕂 heißt beschränkt, wenn es ein 0 ≤ c so gibt, daß

|φ(x)| ≤ c∥x∥ für alle x ∈ E.

(ii) Man definiert die Norm von φ als

∥φ∥ := sup{|φ(x)| | ∥x∥ ≤ 1.

(iii) Der Raum der beschränkten Linearformen auf E heißt der duale Raum und wird mit E^{∗} bezeichnet.

B.1.7 Bem. (Formeln für die Norm) Es sei E ein normierter Raum über 𝕂

B2 B NORMIERTE RÄUME, ALGEBREN

(i) Für die Norm einer beschränkten Linearform φ gelten die folgenden Formeln:

∥φ∥ = sup{|φ(x)| | ∥x∥ ≤ 1}

= sup{|φ(x)| | ∥x∥ < 1} = sup{|φ(x)| | ∥x∥ = 1}

= sup \{\frac{|φ(x)|}{∥x∥} | x ≠ 0\}.

= inf{c | |φ(x)| ≤ c∥x∥ für x ∈ E}

(ii) Für die reelle Linearform Re φ gilt

∥ Re φ∥ = ∥φ∥.

B.1.8 Festst. (stetige Linearform) Es sei E ein normierter Raum über 𝕂 und φ : E → 𝕂 eine Linearform. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) φ ist beschränkt.

(b) φ ist Lipschitz-stetig.

(c) φ ist stetig.

(d) φ ist stetig im Nullpunkt.

(e) Es gibt einen Punkt x_{0} ∈ E in dem φ stetig ist.

Beweis. Man vergleiche die entsprechenden Aussagen für den Raum ℒ (E, F) der beschränkten linearen Operatoren (siehe Festst. B.2.3).

B.1.9 Festst. (E^{∗} Banachraum) Es sei E ein normierter Raum über 𝕂. Der duale Raum E^{∗} ist ein vollständiger normierter 𝕂-Vektorraum. D.h., E^{∗} ist ein Banachraum.

Beweis. Man vergleiche die entsprechenden Aussagen für den Raum ℒ (E, F) der beschränkten linearen Operatoren (siehe Satz B.2.4 (ii)).

B.1.3 Beschränkte Sesquilinearformen

B.1.10 Def. (beschränkte Sesquilinearform) Es seien E, F normierte Räume.

(i) Eine Sesquilinearform b : E × E → 𝕂 heißt beschränkt, wenn es ein 0 ≤ c < ∞ gibt, so daß

|b(x, y)| ≤ ∥x∥∥y∥ für x ∈ E, y ∈ F.

(ii) Man definiert die Norm einer beschränkten Sesquilinearform b als

∥b∥ := sup{|b(x, y)| | ∥x∥ ≤ 1, ∥y∥ ≤ 1}.

(iii) Wir bezeichnen mit B(E, F; 𝕂) den normierten Raum aller beschränkten Sesquilinearformen auf E × F.

B.1.11 Bem. (stetige Sesquilinearform) Es seien E, F normierte Räume und b : E × F → 𝕂 eine Sesquilinearform.

(i) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) b ist beschränkt

(b) b ist stetig

(c) b ist stetig in 0.

(ii) Eine Sesquilinearform ist gleichmäßig stetig auf beschränkten Mengen.

Anmerkung. Es seien E und F Banachräume und b : E × F → 𝕂 eine Sesquilinearform. Für die Stetigkeit von b reicht es, das b getrennt stetig ( = partiell stetig) ist (siehe Satz von Banach-Steinhaus):

Wenn die Linearformen

b(·, y) und \overline{b(x, ·)} für y ∈ F und x ∈ E

stetig sind, dann ist b beschränkt.

B.2 Beschränkte Operatoren B3

B.2 Beschränkte Operatoren

Anmerkung. Lineare Abbildungen heißen auch lineare Operatoren oder kurz Operatoren. Für 𝕂-Vektorräume V, W bezeichnen wir mit hom_{𝕂}(V, W) = hom(V, W) den Raum aller 𝕂-linearen Abbildungen von V in W.

B.2.1 Def. (beschränkter linearerOperator) Es seien E, F normierte Räume über 𝕂.

(i) Eine lineare Abbildung T : E → F heißt beschränkt, wenn es ein 0 ≤ c so gibt, daß

∥T x∥ ≤ c∥x∥ für alle x ∈ E.

(ii) Man definiert die Norm von T als

∥T ∥ := sup{∥T x∥ | ∥x∥ ≤ 1}.

(iii) Der Raum der beschränkten linearen Abbildungen von E in F wird mit ℒ(E, F) bezeichnet. Im Falle E = F schreiben wir ℒ(E) := ℒ(E, E).

B.2.2 Bem. (Formeln für die Norm) (i) Für die Norm einer beschränkten Operators T gelten die folgenden Formeln:

∥T ∥ = sup{∥T x∥ | ∥x∥ ≤ 1}

= sup{∥T x∥ | ∥x∥ < 1} = sup{∥T x∥ | ∥x∥ = 1} = inf{c | ∥T x∥ ≤ c∥x∥ für x ∈ E}

= sup \{\frac{∥T x∥}{∥x∥} | x ≠ 0\}.

(ii) Für zwei beschränkte Operatoren S ∈ ℒ(E_{1}, E_{2}), T ∈ ℒ(E_{2}, E_{3}) ist die Komposition T S ∈ ℒ(E_{1}, E_{3}) und es gilt

∥T S∥ ≤ ∥T ∥∥S∥.

B.2.3 Festst. (stetiger linearer Operator) Es sei E, F normierte Räume über 𝕂 und T : E → F eine linearer Operator.

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) T ist beschränkt.

(b) T ist Lipschitz-stetig.

(c) T ist stetig.

(d) T ist stetig im Nullpunkt.

(e) Es gibt einen Punkt x_{0} ∈ E in dem T stetig ist.

Beweis. (a) ⇒ (b): Da T linear ist, gilt

∥T x_{1} − T x_{2}∥ = ∥T (x_{1} − x_{2})∥ ≤ ∥T ∥∥x_{1} − x_{2}∥.

(b)⇒(c)⇒(d)⇒(e) sind klar.

(e) ⇒ (a): Zu ε > 0 gibt es ein δ > 0, so daß

∥T x − T x_{0}∥ ≤ ε für x ∈ E mit ∥x − x_{0}∥ ≤ δ.

Für y ∈ E, y ≠ 0 setze man x := x_{0} + \frac{δ}{∥y∥}y. Da

∥x − x_{0}∥ = δ ist, folgt

∥T y∥ = \frac{∥y∥}{δ}∥T x − T x_{0}∥ ≤ \frac{ε}{δ}∥y∥.

Also ist ∥T ∥ ≤ \frac{ε}{δ}.

B.2.4 Satz (Banachraum ℒ(E, F)) (i) Es seien E ein normierter Raum und F ein Banachraum. Dann ist ℒ(E, F) vollständig, also ein Banachraum.

(ii) Für einen Banachraum E ist ℒ(E) eine Banachalgebra.

Beweis. Es sei (T_{n})_{n} eine Cauchyfolge in ℒ(E, F).

1. Wir zeigen zunächst, daß die Folge (T_{n})_{n} punktweise gegen eine lineare Abbildung T ∈ hom_{𝕂}(E, F) konvergiert. Da für x ∈ E

∥T_{m}x − T_{n}x∥ ≤ ∥T_{m} − T_{n}∥∥x∥

gilt, ist die Folge (T_{n}x)_{n} ein Cauchyfolge in F. Da F vollständig ist, existiert punktweise der Grenzwert

T x := lim_{n→∞} T_{n}x ∈ F für alle x ∈ E

Aus den Rechenregeln B.1.3 für Grenzwerte folgt, daß die so definierte Abbildung T : E → F linear ist.

2. Wir zeigen, daß T beschränkt ist, und daß die Folge (T_{n})_{n} in der Norm gegen T konvergiert.

Für S ∈ ℒ(E, F) folgt aus der Dreiecksungleichung

|∥T_{n} − S∥ − ∥T_{m} − S∥| ≤ ∥T_{n} − T_{m}∥,

daß die Folge (∥T_{n} − S∥)_{n} eine Cauchyfolge ist.

Für S = 0 erhält man

∥T x∥ = lim_{n→∞} ∥T_{n}x∥ ≤ lim_{n→∞} ∥T_{n}∥∥x∥.

Das bedeutet, daß T ∈ ℒ(E, F) ist.

Für S = T_{m} erhält man

∥T x−T_{m}x∥ = lim_{n→∞} ∥T_{n}x−T_{m}x∥ ≤ lim_{n→∞} ∥T_{n} −T_{m}∥∥x∥.

Das bedeutet, daß ∥T −T_{m}∥ ≤ lim_{n→∞} ∥T_{n}−T_{m}∥ ist. Hieraus folgt nun

lim_{m→∞} ∥T − T_{m}∥ ≤ lim_{m→∞} lim_{n→∞} ∥T_{n} − T_{m}∥ = 0.

B.2.5 Bez. (erzeugte Banachalgebra BAlg_{𝕂}(T)) (i) Es sei E ein Banachraum. Für T ∈ ℒ(E) sei

Alg(T) := lin{T^{n} | n ∈ ℕ}

die von T erzeugte Algebra.

Man beachte, daß i. allg. id_{E} = T^{0} kein Element von Alg(T) ist. Die Elemente von Alg(T) sind von der Form P (T), wobei P ein Polynom über 𝕂 ohne konstanten Term ist.

(ii) Es sei BAlg_{𝕂}(T) der Abschluß von Alg(T) ⊂ ℒ(T) in der Norm. BAlg_{𝕂}(T) ist dann die von T ∈ ℒ(T) erzeugte Banachalgebra.

Man beachte, daß i. allg. id_{E} = T^{0} kein Element von BAlg_{𝕂}(T) ist. Die Elemente von BAlg_{𝕂}(T) kann man in der Norm durch Elemente der Form P (T) approximieren, wobei P ein Polynom über 𝕂 ohne konstanten Term ist.

(iii) Ebenso erklärt man die unitalen Algebra

Alg(id_{E}, T) := lin{T^{n} | n ∈ ℕ_{0}}

und ihren Abschluß BAlg_{𝕂}(id_{E}, T).

B.2.6 Festst. (Fortsetzung dicht definierter Op) Es seien E ein normierter Raum , X ein dichter linearer Teilraum von E und F ein Banachraum.

Jeder beschränkte lineare Operator T ∈ ℒ(X, F) hat eine eindeutige stetige Fortsetzung T̃ : E → F.

T̃ ist linear und beschränkt mit ∥T̃∥ = ∥T ∥.

Anmerkung. I. allg. kann man wenig mehr über die Fortsetzung T̃ sagen.

Man beachte: Wenn T injektiv ist, kann T̃ einen Kern T̃ ≠ {0} haben.

Beweis.

B.2.1 Neumannsche Reihe

Anmerkung. (geometrische Reihe) Für Zahlen t ∈ 𝕂 gilt die geometrische Reihe

∑_{n=0}^{∞} t^{n} = \frac{1}{1 − t} für |t| < 1.

Die geometrische Reihe Reihe ist absolut konvergent. Auf analoge Weise kann man auch die Inverse von Operatoren bilden. Diese Reihe nennt man nach Carl Neumann (1832-1925) die Neumansche Reihe.

B.2.7 Satz (Neumannsche Reihe) Es seien E, F Banachräume. T ∈ ℒ(E, F).

(i) Wenn T ∈ ℒ(E) und ∥T ∥ < 1 ist, dann existiert der inverse Operator (id_{E} −T)^{−1} ∈ ℒ(E). Man kann die Inverse mit der Neumannschen Reihe berechnen:

(id_{E} −T)^{−1} = ∑_{n=0}^{∞} T^{n}.

Diese Reihe ist in der Norm absolut konvergent.

(ii) Es sei T ∈ ℒ(E, F) invertierbar mit T^{−1} ∈ ℒ(F, E). Dann ist jeder Operator S ∈ ℒ(E, F) mit ∥T − S∥ < ∥T^{−1}∥^{−1} invertierbar und es gilt

S^{−1} = ∑_{n=0}^{∞} (T^{−1}(T − S))^{n}T^{−1}.

Diese Reihe ist in der Norm absolut konvergent:

∥S∥^{−1} ≤ ∑_{n=0}^{∞} ∥T^{−1}(T − S)∥^{n}∥T^{−1}∥

= \frac{1}{∥T^{−1}∥^{−1} − ∥T − S∥} < ∞.

(iii) Wenn ∥T − S∥ < ∥T^{−1}∥^{−1}, dann gilt

∥S^{−1} − T^{−1}∥ ≤ \frac{∥T^{−1}∥}{∥T^{−1}∥^{−1} − ∥T − S∥}∥T − S∥.

(iv) Die Gruppe GL(E) der invertierbaren Operatoren in ℒ(E) ist offen. Die Bildung der Inversen T → T^{−1} ist stetig und gleichmäßig stetig auf Teilmengen der Form {T ∈ GL(E) | ∥T^{−1}∥ ≤ r} mit 0 < r < ∞.

Beweis. (i) Nach Bemerkung B.2.2 (ii) gilt ∥T^{n}∥ ≤ ∥T ∥^{n}. Mit der geometrischen Reihe folgt

∑_{n=0}^{∞} ∥T^{n}∥ ≤ ∑_{n=0}^{∞} ∥T ∥^{n} = \frac{1}{1 − ∥T ∥} < ∞.

Also konvergiert die Reihe ∑_{n=0}^{∞} T^{n} in der Norm. Es gilt

(id_{E} −T) ∑_{n=0}^{∞} T^{n} = ∑_{n=0}^{∞} T^{n} − ∑_{n=1}^{∞} T^{n} = id_{E} .

Ebenso folgt ∑_{n=0}^{∞} T^{n}(id_{E} −T) = id_{E}.

Da id_{E} −T eine beschränkte Rechts- und Linksinverse hat, existiert (id_{E} −T)^{−1} ∈ ℒ(E).

(ii) Man schreibe S in der Form

S = T − (T − S) = T ( id_{E} −T^{−1}(T − S))

Da nach Voraussetzung

∥T^{−1}(T − S)∥ ≤ ∥T^{−1}∥∥(T − S)∥ < 1

ist, existiert die Inverse S^{−1} und hat die in (i) angegebene Reihenentwicklung:

S^{−1} = ( id_{E} −T^{−1}(T − S))^{−1}T^{−1}

= ∑_{n=0}^{∞} (T^{−1}(T − S))^{n}T^{−1}.

(iii) Sind S, T ∈ GL(E) und ist ∥T − S∥ < ∥T^{−1}∥^{−1}, so folgt

∥S^{−1} − T^{−1}∥ = ∥S^{−1}(T − S)T^{−1}∥

≤ ∥S^{−1}∥∥T − S∥∥T^{−1}∥.

Mit der Abschätzung (ii) für ∥S^{−1}∥ folgt:

∥S^{−1} − T^{−1}∥ ≤ \frac{∥T^{−1}∥}{∥T^{−1}∥^{−1} − ∥T − S∥}∥T − S∥.

(iv) Nach Teil (ii) ist GL(E) offen und nach (iii) ist die Inversenbildung stetig.

Wenn ∥T^{−1}∥ ≤ r und ∥T − S∥ ≤ \frac{1}{2r} ist, so ist ∥T − S∥ ≤ \frac{1}{2r} ≤ \frac{1}{2}∥T^{−1}∥^{−1}. Aus (iii) folgt nun:

∥S^{−1} − T^{−1}∥ ≤ \frac{∥T^{−1}∥}{∥T^{−1}∥^{−1} − ∥T − S∥}∥T − S∥

≤ 2∥T^{−1}∥^{2}∥T − S∥ ≤ 2r^{2}∥T − S∥.

Also ist die Inversenbildung gleichmäßig stetig auf der Menge {T ∈ GL(E) | ∥T^{−1}∥ ≤ r}.

B.2.2 Quotientenraum und Homomorphiesatz

Anmerkung. (Quotientenraum eines Vektorraumes) Es sei V ein 𝕂-Vektorraum und V_{0} ein Unterraum von V. Die Nebenklassen [x] := x + V_{0} bilden mit der Verknüpfung

[x + y] := x + y + V_{0} und α[x] := αx + V_{0}

eine Vektorraum V/V_{0}, den man den Quotientenraum von V nach (oder modulo) V_{0} nennt.

B.2.8 Satz (Quotientenraum vollständig) Es sei E ein normierter Raum und E_{0} ein abgeschlossener Unterraum.

(i) Der Vektorraum E/E_{0} ist mit der Norm

∥[x]∥ := inf_{y∈E_{0}} ∥x + y∥ (Quotientennorm)

ein normierter Raum. Der Raum E/E_{0} versehen mit der Quotientennorm heißt der Quotientenraum des normierten Raumes E nach (oder modulo) E_{0}.

(ii) Wenn E ein Banachraum ist, so ist E/E_{0} vollständig.

Anmerkung. 1. Die Quotientennorm ∥[x]∥ ist der Abstand des Punktes x zu der Menge E_{0}:

dist(x, E_{0}) := inf_{y∈E_{0}} ∥x − y∥.

p : x ↦ dist(x, E_{0}) eine Halbnorm auf E.

Wenn also E_{0} abgeschlossen ist, so ist

dist(x, E_{0}) = inf_{y∈E_{0}} ∥x − y∥ > 0 für x ∈ E \ E_{0}

und [x] ↦ ∥[x]∥ ist eine Norm auf E/E_{0}.

2. Wenn E_{0} nicht abgeschlossen ist, so ist der Abschluß \overline{E_{0}} = Kern p.

Beweis. (i)

(ii)

Anmerkung. Für Hilberträume betrachtet man üblicherweise an Stelle eines Quotientenraumes den senkrechten Raum:

B.2.9 Bem. (Quotient eines Hilbertaumes) Es sei H ein Hilbertraum und H_{0} ein abgeschlossener Unterraum. Der Quotienten H/H_{0} ist auf natürliche Weise isometrisch isomorph zu H^{⊥}. Insbesondere ist H/H_{0} ein Hilbertraum.

Beweis. Nach Feststellung 1.2.12 und Lemma 1.2.13 gibt es zu x ∈ H genau einen Punkt x_{0} ∈ H_{0}, so daß

∥x − x_{0}∥ = dist(x, H_{0}) = ∥x + H_{0}∥  (∗)

ist. Die so definierte Abbildung x ↦ x−x_{0} ist die orthogonale Projektion P_{H_{0}^{⊥}} von H auf H_{0}^{⊥} (siehe Bez. 2.2.1). Aus dem Homorphiesatz folgt H/H_{0} ≅ H_{0}^{⊥} und die Gleichung (∗) besagt, daß dies eine Isometrie ist.

B.3 Kompakte Operatoren B7

B.3 Kompakte Operatoren

B.3.1 Def. (Kompakte Operatoren) Es seien E, F normierte Räume. Ein linearer Operator K ∈ hom(E, F) heißt kompakt, wenn das Bild der Einheitskugel relativ kompakt ist:

\overline{K(Ball E)} kompakt in F.

Wir bezeichnen mit 𝒦(E, F) den Raum der kompakten Operatoren von E nach F.

Anmerkung. Es ist sinnvoll, den Begriff kompakte Operatoren für normierte Räume zu erklären, da sehr viele Resultate über kompakte Operatorem bereits für normierte Räume gelten.

B.3.2 Satz (Operatoren-Ideal 𝒦(E, F)) Es seien E, F normierte Räume. Dann gilt (i) 𝒦(E, F) ist ein linearer Teilraum von ℒ(E, F). Insbesondere sind kompakte lineare Operatoren be-

schränkt.

(ii) Für normierte Räume E_{1}, F_{1}, beschränkte Operatoren S ∈ ℒ(E_{1}, E), T ∈ ℒ(F, F_{1}) und K ∈ 𝒦(E, F) ist die Komposition

E_{1} →^{S} E →^{K} F →^{T} F_{1}

kompakt.

Man sagt hierfür: 𝒦(E, F) ist ein Operatoren-Ideal und schreibt

ℒ(F, F_{1}) ∘ 𝒦(E, F) ∘ ℒ(E_{1}, E) ⊂ 𝒦(E_{1}, F_{1}).

B.3.3 Bem. (Stetige Fortsetzung kompakt. Op.) Es seien E, F normierte Räume und Kin 𝒦(E, F)

(i) die stetige Fortsetzung K^{∼} : E^{∼} → F^{∼} auf die Vervollständigungen ist wieder kompakt.

(ii) Es ist Bild K^{∼} ⊂ F. Man kann also K^{∼} auch als Operator von E^{∼} in F aufassen.

B.3.4 Satz (F vollständig. ⇒ 𝒦(E, F) vollständ.) Es seien E ein normierter Raum, F ein Banachraum.

Dann ist der Raum 𝒦(E, F) der kompakten Operatoren ein abgeschlossener Unterraum von ℒ(E, F).

D.h., wenn (K_{n})_{n} ein Folge kompakter Operatoren ist, die in der Norm gegen einen Operator K konvergiert, dann ist K kompakt.

B.3.5 Bez. (Ideal der Op. von endlichem Rang) Es seien E, F normierte Räume.

(i) Die beschränkten Operatoren K ∈ ℒ(E, F) von endlichem Rang bilden ein Operatoren-Ideal ℱ(E, F).

(ii) Es ist ℱ(E, F) ⊂ 𝒦(E, F).

(iii) Für einen Banachraum F ist der Abschluß von ℱ(E, F) in 𝒦(E, F).

Anmerkung. In vielen Fällen ist ℱ (E, F) in 𝒦 (E, F) dicht, d.h. man kann Kompakte Operatoren durch beschränkte Operatoren von endlichem Rang approximieren.

Es gibt aber Banachräume ohne diese Approximationseigenschaft. Ein Beispiel ist der Raum ℒ (ℓ_{2}(ℕ).

B.4 Banachalgebren B9

B.4 Banachalgebren

Anmerkung. (Algebren) 1. Eine 𝕂-Algebra A ist ein 𝕂-Vektorraum mit einer assoziativen und distributiven Multiplikation:

(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + bc und (b + c)a = ba + ca,

die mit der Multiplikation mit λ ∈ 𝕂 vertauscht:

λ(ab) = (λa)b = a(λb) für a, b, c ∈ A.

2. A heißt unital, wenn es ein Einslelement e ∈ A gibt:

ea = ae = a für a ∈ A.

dieses Einelement ist dann eindeutig bestimmt.

3. Zu einer nicht-unitalen Algebra kann man immer eine Eins adjungieren. Man bildet

A_{e} := 𝕂 ⊕ A

und erklärt die Multiplikation durch

(λe + a)(μe + b) = λμe + (λb + μa + ab

für a, b ∈ A und λ, μ ∈ 𝕂. A ist ein zweiseitige Ideal in A_{e} und offensichtlich ist A_{e} die kleinste unitale Algebra, die A als Unteralgebra enthält.

4. Es sei A eine unitale Algebra. Ein Element a ∈ A heißt invertierbar, wenn a eine Linksinverse b ∈ A und eine Rechtsinverse c ∈ A hat:

ba = e und ac = e.

Dann ist b = c. Man bezeichnet den gemeinsamen Wert mit a^{−1}.

Die invertierbaren Elemente von A bilden eine Gruppe G(A). Man nennt G(A) auch die Einheitengruppe von A.

5. Bekannte Beispiele sind die klassischen Matrizengruppen GL(n) := G(M_{n}) für n ∈ ℕ.

B.4.1 Invertierbare El. einer B-Algebra

B.4.1 Bez. (normierte Algebra) Ein 𝕂-Algebra A heißt normierte Algebra, wenn A ein normierter Raum ist und die Norm submultiplikativ ist:

∥ab∥ ≤ ∥a∥∥b∥ für a, b ∈ A.

A heißt unitale normierte Algebra, wenn A ein Einselement e hat und ∥e∥ = 1 ist.

Anmerkung. (normierte Algebra) 1. Zu einer nichtunitalen normierten Algebra kann man immer eine Eins adjungieren. Man bildet die unitale Algebra

A_{e} := 𝕂 ⊕ A

und erklärt die Norm durch

∥λe + a∥ := |λ| + ∥a∥ für λ ∈ 𝕂, a ∈ A.  (∗)

Man rechnet leicht nach, daß A_{e} mit dieser Norm eine normierte unitale Algebra ist, die A als Unteralgebra enthält.

Unter zusätzlichen Vorraussetzungen an A gibt es andere, bessere Möglichkeiten, die Norm auf A_{e} zu wählen. Z. Bsp. setzt man für C^{∗}-Algebren ∥λe + a∥ = sup_{∥x∥≤1} ∥λx + ax∥.

2. Der Fall komplexer normierter Algebren ist einfacher zu behandeln, wie man schon am Beispiel der Algebra der n×n-Matrizen sieht.

Man kann eine reelle normierte Algebra immer isometrisch und isomorph in eine komlexe normiert Algebra einbetten. Wir werden uns auf die Untersuchung komplexer normierter Algebren beschränken.

B.4.2 Def. (Banachalgebra) Ein komplexe normierte Algebra A heißt Banachalgebra, wenn A in der Norm vollständig ist.

B.4.3 Bsp. (Banachalgebren) (i) C([0, 1], ℂ) ist mit der Norm ∥·∥_{sup} eine unitale Banachalgebra.

Entsprechendes gilt für einen kompakten Hausdorffraum K und den Raum C(K, ℂ) der stetigen komplexen Funktionen auf K.

(ii) Der Raum C_{0}(ℝ, ℂ) der stetigen komplexen Funktionen f auf ℝ, die im Unendlichen verschwinden, d.h.,

lim_{t→∞} |f(t)| = lim_{t→−∞} |f(t)| = 0,

ist mit der Norm ∥·∥_{sup} eine nicht-unitale Banachalgebra. Adjungiert man eine Eins 1l und versieht C_{0}(ℝ, ℂ)_{1l} := ℂ ⊕ C_{0}(ℝ, ℂ) mit der Norm

∥λ1l + f∥ = sup_{∥g∥≤1} ∥λg + fg∥_{sup}

so ist C_{0}(ℝ, ℂ)_{1l} isometrisch isomorph zu der Algebra der stetigen Funktionen auf ℝ, die im Unendlichen einen Grenzwert haben:

lim_{t→∞} f(t) = lim_{t→−∞} f(t) = λ.

Der abstrakten Eins 1l entspricht dabei die charakteristische Funktion 1l_{ℝ}.

(iii) Für einen komplexen Banachraum E ist ℒ(E) eine unitale Banachalgebra.

Weitere Beispiel bilden die abgeschlossenen Unteralgebren von ℒ(E). Wir sprechen von einer unitalen Unteralgebra A von ℒ(E), wenn id_{E} ∈ A ist.

B.4.4 Bem. (Produkt stetig) In einer normierten Algebra ist das Produkt stetig und gleichmäßig stetig auf beschränkten Mengen.

Beweis.

Anmerkung. Eine unitale Banachalgebra A kann man immer als abgeschlossene Unteralgebra der Algebra aller beschränkten Operatoren auf A auffassen, indem man sie durch die sogenante links-reguläre Darstellung

L : A → ℒ (A) mit L_{a} : x ↦ ax für x ∈ A.

in die Banachalgebra ℒ (A) einbettet:

B.4.5 Bem. (links-reguläre Darstellung) (i) Es sei A eine unitale Banachalgebra mit Eins e ∈ A. Die Linksmultiplikation L : A → ℒ(A) mit

L_{a} : x ↦ ax für x ∈ A.

ist ein isometrischer, unitaler Algebrenisomorphismus von A in ℒ(A):

L_{ab} = L_{a}L_{b}, L_{e} = id_{A} und ∥L_{a}∥ = ∥a∥.

(ii) Ein Element a ∈ A ist genau dann invertierbar in A, wenn der Linksmultiplikator L_{a} eine Inverse (L_{a})^{−1} ∈ ℒ(A) hat.

In diesem Fall gilt (L_{a})^{−1} = L_{(a^{−1})} und a^{−1} = (L_{a})^{−1}e. Wir schreiben für die Inverse kurz: L_{a}^{−1} = L_{a^{−1}}.

Es gilt also G(A) ≅ GL(A) ∩ L_{A}.

Beweis. (i) Offensichtlich gilt L_{ab} = L_{a}L_{b} und L_{e} = id_{A}. Aus

∥L_{a}x∥ ≤ ∥a∥∥x∥ für x ∈ A

folgt ∥L_{a}∥ ≤ ∥a∥.

Aus L_{a}e = a folgt andererseits ∥a∥ ≤ ∥L_{a}∥. Insgesamt ist also ∥L_{a}∥ = ∥a∥.

(ii) Wenn a eine Inverse a^{−1} ∈ A hat, so ist

L_{a}L_{a^{−1}}x = aa^{−1}x = x und L_{a^{−1}}L_{a}x = a^{−1}ax = x

für x ∈ A. D.h., (L_{a})^{−1} = L_{a^{−1}}.

Wenn L_{a} eine Inverse (L_{a})^{−1} ∈ ℒ(A) hat, so sei b := (L_{a})^{−1}e.

Dann gilt ab = L_{a}(L_{a})^{−1}e = e. Da L_{a} injektiv ist, folgt aus

L_{a}(ba − e) = aba − a = (ab − e)a = 0,

daß ba = e ist. Insgesamt folgt also a^{−1} := b.

Anmerkung. (Rechtsmultiplikation) 1. Die Rechtsmultiplikation R_{a} : x ↦ xa ist ein Anti-Isomorphismus, d.h., R_{ab} = R_{b}R_{a}, was weniger praktisch ist.

Wenn A unital ist, so ist ∥R_{a}∥ = ∥a∥.

2. Da das Produkt von A assoziativ ist, vertauschen die Operatoren L_{a} und R_{b}:

L_{a}R_{b}x = a(xb) = (ax)b = R_{b}L_{a}x

für a, b, x ∈ A.

3. Für eine unitale Banachalgebra A gilt: Ein Operator T ∈ hom(A) ist genau dann eine Linksmultipli-

kation mit einem Element aus A, wenn T mit allen Rechtmultiplikatoren vertauscht:

T R_{x} = R_{x}T für alle x ∈ A ⇔ T = L_{T e}.

B.4.6 Bem. (volle Unteralgebra) (i) Eine unitale Unteralgebra B einer unitalen Banachalgebra heißt voll, wenn G(B) = G(A) ∩ B

(ii) Zum Beispiel ist die linksreguläre Darstellung L_{A} eine volle Unteralgebra von ℒ(A).

B.4.7 Satz (Einheitengruppe G(A) offen) In einer unitalen Banachalgebra A gilt:

(i) Die Gruppe G(A) der invertierbaren Elememte in A ist offen.

Insbesondere ist die offene Kugel um e mit Radius 1 in G(A).

U := {a ∈ A | ∥a − e∥ < 1} ⊂ G(A).

(ii) Die Bildung der Inversen T → T^{−1} ist stetig und gleichmäßig stetig auf Teilmengen der Form {a ∈ G(A) | ∥a^{−1}∥ ≤ r} mit 0 < r < ∞.

Anmerkung. (zum Beweis) Wir zitieren den Satz B.2.7 über die Neumansche Reihe für die Gruppe GL(E), E ein Banachraum. Mit Hilfe der regulären Linksdarstellung B.4.5 können wir dieses Resultat auf GL(A) ∩ L_{A} anwenden. Instruktiver ist es, den Beweis von Satz B.2.7 noch einmal für eine beliebige unitale Banachalgebra zu wiederholen.

Beweis. (i) Nach Satz B.2.7 (ii) ist G(A) offen.

Nach Satz B.2.7 (ii) ist die Kugel U ⊂ G(A).

(ii) Nach Satz B.2.7 (iii) ist die Inversenbildung stetig. Wenn ∥a^{−1}∥ ≤ r und ∥a − b∥ ≤ \frac{1}{2r} ist, so ist ∥a − b∥ ≤

\frac{1}{2r} ≤ \frac{1}{2}∥a^{−1}∥^{−1}. Aus Satz B.2.7 (iii) folgt nun:

∥b^{−1} − a^{−1}∥ ≤ \frac{∥a^{−1}∥}{∥a^{−1}∥^{−1} − ∥a − b∥}∥a − b∥
≤ 2∥a^{−1}∥^{2}∥a − b∥ ≤ 2r^{2}∥a − b∥.

Also ist die Inversenbildung gleichmäßig stetig auf der Menge {a ∈ G(A) | ∥a^{−1}∥ ≤ r}.

B.4.8 Bez. (Charakter einer unitalen Algebra) Es sei A eine komplexe, kommutative, unitale Banachalgebra. Ein Charakter χ von A ist ein unitaler Algebrenhomorphismus

χ : A → ℂ mit χ(1l_{A}) = 1.

Anmerkung. (Spektrum: kommutative unitale B-Alg.) Die Menge der Charaktere von A heißt das Spektrum von A und wird mit Σ_{A} bezeichnet (siehe Bez. E.3.1).

B.4.9 Bem. (Charakter einer B-Algebra stetig) Es sei A eine unitale Banachalgebra.

Dann ist jeder Charakter χ : A → 𝕂 beschränkt mit ∥χ∥ = 1.

Beweis. Es seien T ∈ A mit ∥T ∥ = 1 und t ∈ 𝕂 mit|t| < 1. Nach Satz B.2.7 ist (1l_{A}−tT) invertierbar und die Inverse hat die Entwicklung in eine normkonvergente Neumannsche Reihe:

(1l_{A} − tT)^{−1} = ∑_{n=0}^{∞} t^{n}T^{n} ∈ A.

Da

χ(1l_{A} − tT)χ((1l_{A} − tT)^{−1}) = χ((1l_{A} − tT)(1l_{A} − tT)^{−1})
= χ(1l_{A}) = 1

gilt, ist

0 ≠ χ(1l_{A} − tT) = 1 − tχ(T) für |t| < 1.

Folglich ist |χ(T)| ≤ 1 und somit ∥χ∥ ≤ 1.

Da χ(1l_{A}) = 1 gilt, ist ∥χ∥ ≥ 1. Also ist insgesamt ∥χ∥ = 1.

B.4.10 Satz (Abschluß eines echten Ideals) Ist J ein echtes zweiseitige Ideal einer unitalen Banachalgebra, so ist der Abschluß \overline{J} wieder ein echtes zweiseitige Ideal.

Beweis. Da das Produkt in einer Banachalgebra stetig ist, ist der Abschluß eines Ideals wieder ein Ideal (siehe Bem. B.4.4).

Ein echtes Ideal enthält nicht die Eins und daher auch keine invertierbaren Elemente. D.h., die offene Kugel U um e mit Radius 1

U := {a ∈ A | ∥a − e∥ < 1}

liegt im Komplement von J. Dann ist auch \overline{J} ∩ U = ∅.

B.4 Banachalgebren B11

B.4.2 Ideale und Homomorphismen

B.4.11 Satz (Quotient einer Banachalgebra) Es sei A eine Banachalgebra und J ein abgeschlossenes echtes Ideal in A.

(i) Die Quotientenalgebra A/J mit der Quotientennorm

∥[a]∥ = inf_{x∈J} ∥a + x∥ für [a] ∈ A/J

ist eine Banachalgebra.

(ii) Wenn A unital ist, so ist A/J unital.

Beweis. (i) Nach Satz B.2.8 ist A/J versehen mit der Quotientennorm ein Banachraum.

Wir zeigen, daß A/J eine normierte Algebra ist: Für a, b ∈ A ist

∥[a]∥∥[b]∥ = inf_{x∈J} ∥a + x∥ inf_{y∈J} ∥b + y∥

= inf_{x,y∈J} ∥a + x∥∥b + y∥ ≥ inf_{x,y∈J} ∥(a + x)(b + y)∥

= inf_{x,y∈J} ∥ab + ay + xb + xy∥

≥ inf_{z∈J} ∥ab + z∥ = ∥[ab]∥.

(ii) Es sei e ∈ A/J das Einselement. Nach Satz B.2.7 gilt für die offene Kugel U um e:

U := {a ∈ A | ∥a − e∥ < 1} ⊂ G(A).

Da J ein echtes Ideal ist, ist J ∩ U = ∅ und somit

∥e + x∥ ≥ 1 für x ∈ J.

Also ist ∥[e]∥ = ∥e∥ = 1.

C.2 Ordnungseins-Räume C1

C Geordnete normierte Räume

C.1 Geordnete Vektorräume

C.1.1 Bez. (geordnete Vektorräume) (i) Ein ℝ-Vektorraum V heißt ein geordneter Vektorraum, wenn V eine Ordnung ≤ hat (siehe Definition F.1.1) die die folgenden Regeln erfüllt:

1. x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z für alle z ∈ V.

2. 0 ≤ x und 0 ≤ λ ∈ ℝ_{+} ⇒ 0 ≤ λx.

(ii) In einem geordneten Vektorraum V nennt man

V_{+} := {x ∈ V | 0 ≤ x ∈ V }

den positiven Kegel von V und die Elemente x ∈ V_{+} positiv oder auch nichtnegativ.

V_{+} ist ein spitzer Kegel in V, d.h. es gilt

V_{+} + V_{+} ⊂ V_{+} und ℝ_{+} · V_{+} ⊂ V_{+} (Kegel)
V_{+} ∩ (−V_{+}) = {0}  (spitz).

(iii) Meisten verlangt man noch, das V positiv erzeugt ist, d. h. jedes Element von V ist Differenz zweier positiver Elemente:

3. Zu x ∈ V gibt es 0 ≤ y ∈ V und 0 ≤ z ∈ V, so daß x = y − z ist.

V ist genau dann positiv erzeugt, wenn

V = V_{+} − V_{+}

gilt. Man nennt dann V_{+} einen erzeugenden kegel.

(iv) Umgekehrt kann man mit Hilfe eines spitzen Kegels eine Vektorraumordnung einführen

Eine Teilmenge K ⊂ V heißt Kegel, wenn K +K ⊂ K und ℝ_{+}K ⊂ K ist. K heißt spitz, wenn K ∩(−K) = {0} ist.

Ist K ein spitzer Kegel in V, so definiert man eine Ordnung auf V durch

x ≤ y : ⇔ y − x ∈ K.

Mit dieser Ordnung ist V ein geordneter Vektorraum, d.h. es gelten C.1.1 (i) (1.) und (2.). und es ist V_{+} = K.

C.2 Ordnungseins-Räume

C.2.1 Bsp. (Ordnung auf C([0, 1], ℝ)) Die Vektorraum C([0, 1], ℝ) der stetigen Funktionen ist mit der üblichen punktweisen Ordnung ein geordneter Vektorraum. Die Ordnung von C([0, 1]ℝ) hat viele spezielle Eigenschaften, die andere geordnete Vektorräume i.a. nicht haben.

Was man häufiger wiederfindet, ist die Art, wie die sup-Norm und die Ordnung auf C([0, 1], ℝ) zusammenhängen. Für die abgeschlossene Einheitskugel gilt

Ball(C([0, 1], ℝ) = {f ∈ C([0, 1], ℝ) | −1l ≤ f ≤ 1l}

wobei 1l = 1_{[0,1]} sei. Man kann die Norm durch die Ordnung ausdrücken:

∥f∥ = min{c | −c1l ≤ f ≤ c1l}  (∗)

und auch die Ordnung durch die Norm:

0 ≤ f ⇔ ∥∥f∥1l − f∥ ≤ ∥f∥.  (∗∗)

Anmerkung. Den obigen Zusammenhang (∗) bzw. (∗∗) zwischen Norm und Ordnung findet man auch in ℒ (H), in allen C^{∗}-Algebren und noch in vielen anderen Situationen. Wir führen hierfür eine Bezeichnung ein.

C.2.2 Bez. (Ordnungseinsraum) Es sei E ein reeller normierter Raum und ein geordneter Vektorraum. E heißt ein Ordnungseins-Raum^{4} oder einsgeordneter normierter Raum, wenn es ein Element u ∈ E gibt, so daß

Ball(E) = {x ∈ E | −u ≤ x ≤ u}

ist. Dieses Element u ist offensichtlich eindeutig bestimmt und heißt die Ordnungseinsdes geordneten Banachraumes E.

Anmerkung. 1. Beispiel: Ein Beispiel eines Ordnungseins-Raumes bilden die stetigen reellen Funktionen C(K, ℝ) auf einem kompakten Hausdorffraum K. C(K, ℝ) versieht man mit der sup-Norm ∥·∥_{sup}, die Ordnung ist die punktweise Ordnung der reellen Funktionen und als Ordnungseins wählt man die Funktion 1l := 1_{K}.

2. Beispiel: Jeder lineare Teilraum F von C(K, ℝ), der die Eins enthält, ist ebenfalls ein Ordnungseins-Raum. Der Unterraum F ist i.a. weder eine Unteralgebra noch ein Unterverband von C(K, ℝ).

3. Das obige Beispiel (2.) ist das typische Beispiel eines Ordnungsein-Raumes, denn mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach kann man folgendes zeigen:

Darstellungssatz(Ordnungseins-Räume) Zu jedem Ordnungseins-Raum (E, ∥·∥, u) gibt es einen kompakten Hausdorffraum K und eine lineare,isometrische und ordnungsisomorphe unitale Abbildung Φ : E → C(K, ℝ). D.H. es gilt für alle x ∈ E:

∥Φx∥ = ∥x∥
Φ(x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 0
Φ(u) = 1l

Dieser Darstellungssatz ist einerseits ein mächtiges Hilfsmittel, andererseits bewahrt die Darstellung Φ nicht unbeding weitere interessante Strukturen, die E haben kann. Aus diesem Grunde behandelt man Ordnungseinsräume besser abstrakt und geht nicht immer über den Darstellungssatz. Der Darstellungssatz sagt uns aber, welche Regeln wir im Hinblick auf die Norm und die Ordnung zu erwarten haben.

4. So paßt in dem uns interessierenden Fall E = ℒ (H)_{sa} das Produkt ST von kommutierenden Operatoren S, T ∈ ℒ (H)_{sa} nicht mit dem Produkt Φ(S)Φ(T) der stetigen Funktionen Φ(S), Φ(T) ∈ C(K, ℝ) zusammen. Z. B. gilt die Schwarzsche Ungleichung Φ(T)^{2} ≤ Φ(T^{2}), dies ist aber keine Gleichung.

Anmerkung. Die Definition eines Ordnungseins-Raumes kann man noch etwas abschwächen. Man kann auf die Vorraussetzung, daß der positive Kegel E_{+} spitz ist, verzichten, denn dies folgt bereits aus der Kopplung C.2.2 von Norm und Ordnung:

Beweis: Es sei ±x ∈ E_{+}. Da E_{+} ein Kegel ist, ist ±nx ∈ E_{+} für n ∈ ℕ und somit

u − nx ∈ E_{+} und nx ∈ E_{+}.

Es gilt also −u ≤ 0 ≤ nx ≤ u. Nach Definition C.2.2 eines Ordnungsein-Raumes ist nx ∈ Ball E. D.h., ∥x∥ ≤ \frac{1}{n} für alle n ∈ ℕ. Also ist der Kegel E_{+} spitz.

4Ordnungseins engl: order unit, Ordnungseins-Raum engl: order unit space

C2 C GEORDNETE NORMIERTE RÄUME

Anmerkung. Die rechte Seite von (∗∗) besagt, daß die Funktionswerte von f in dem Streifen zwichen 0 und ∥f∥ liegen. Man könnte ebensosogut einen größeren positiven Streifen wählen. Die folgende Bemerkung C.2.3 (i) besagt, daß dies Prinzip in jedem Ordnungseinsraum gilt.

C.2.3 Bem. (Ordnungseinsraum) Es Sei E ein Ordnungseins-Raum (siehe Bez.C.2.2) mit der Ordnungseins u ∈ E_{+}.

(i) Für x ∈ E sind die folgenen Aussagen äquivalent:

(a) 0 ≤ x.

(b) ∥cu − x∥ ≤ c für alle c ≥ ∥x∥.

(c) ∥∥x∥u − x∥ ≤ ∥x∥.

(d) Es gibt ein c ≥ ∥x∥, so daß ∥cu − x∥ ≤ c gilt.

(ii) Der positive Kegel E_{+} ist abgeschlossen.

(iii) Es seien (x_{n})_{n} und (y_{n})_{n} konvergente Folgen in E. Aus

x_{n} ≤ y_{n} für n ∈ ℕ folgt lim_{n→∞} x_{n} ≤ lim_{n→∞} y_{n}.

(iv) Die Ornung ist archimedisch. D.h., wenn x ≤ \frac{1}{n}y für alle n ∈ ℕ, so ist x ≤ 0.

Beweis. (i) (a) ⇒ (b) Wir zeigen zugleich (d) ⇒ (a).

Ohne Einschränkung sei x ≠ 0. Für c ≥ ∥x∥ gilt dann:

0 ≤ x ⇔ 0 ≤ \frac{x}{c} ⇔ u − \frac{x}{c} ≤ u.

Da \frac{x}{c} ∈ Ball(E) ist, ist −u ≤ \frac{x}{c} ≤ u und folglich −u ≤

0 ≤ u − \frac{x}{c}. Insgesamt gilt also:

0 ≤ x ⇔ −u ≤ u − \frac{x}{c} ≤ u

⇔ ∥u − \frac{x}{c}∥ ≤ 1 ⇔ ∥cu − x∥ ≤ c.

(b) ⇒ (c) und (c) ⇒ (d) sind offensichtlich.

(ii) Es sei (x_{n})_{n} eine konvergente Folge in E_{+}, x := lim_{n→∞} x_{n}. Da 0 ≤ x_{n} ist, gilt nach (i)

∥∥x_{n}∥u − x_{n}∥ ≤ ∥x_{n}∥.

Da ∥x∥ = lim_{n→∞} ∥x_{n}∥ ist, folgt

∥∥x∥u − x∥ ≤ ∥x∥.

Nach (i) Ist 0 ≤ x ∈ E_{+}.

(iii) Es seien x = lim_{n→∞} x_{n}, y = lim_{n→∞} y_{n} und x_{n} ≤ y_{n} für n ∈ ℕ. Dann ist nach (iii)

y − x = lim_{n→∞}(y_{n} − x_{n}) ≥ 0.

(iv) folgt aus (iii).

D1

D Summierbare Familien

In unendlichdimensionalen normierten Räumen gibt es, anders als in 𝕂, unbedingt summierbare Reihen, die nicht absolut konvergent sind. Unbedingt summierbar besagt, daß man die Reihe beliebig umordnen kann. D. h. es kommt auf die Reihenfolge der Summanden nicht an.

Für diese Situation gibt es eine adäquate Terminologie. Man löst sich von der Konvention, daß die Summanden mit den natürlichen Zahlen indiziert sind und läßt beliebige Indexmengen zu, die nicht geordnet sind. Die zu treffende Definition einer unendlichen Summe ist invariant gegen bijektive Transformationen (Umordnungen) der Indexmenge.

Diese Indexmengen können auch überabzählbar sein. In normierten Räumen sind dann nur höchstens abzählbar viele Summanden ungleich Null. Die neue Definition erfordert aber nicht, daß man diese Summanden explizit angibt und irgendwie durchnummeriert. Man kann dies aber tun und dann auf die Ergebnisse über Reihen aus Analysis I, II zurückgreifen.

D.1 Def. (summierbare Familie) Es sei E ein normierter Raum, I eine Menge und (x_{α})_{α∈I} ein Element von E^{I}. Wir nennen (x_{α})_{α∈I} kurz eine Familie in E.

Die Familie (x_{α})_{α∈I} heißt summierbar mit Summe y ∈ E, wenn folgendes gilt:

Zu jedem ε > 0 gibt es eine endliche Menge F_{0} ⊂ I, so daß für jede größere endliche Menge F ⊂ I gilt:

∥ ∑_{α∈F} x_{α} − y∥ < ε.

Man schreibt dann y = ∑_{α∈I} x_{α} und sagt, die Summe

∑_{α∈I} x_{α} ist unbegingt konvergent.

Anmerkung. (i) Wenn I endlich ist, kann man die Epsolontik natürlich weglassen

(ii) Es sei I abzählbar, I = {α_{n} | n ∈ I} eine Aufzählung. Dann ist für eine summierbare Familie (x_{α})_{α∈I} die Reihe ∑_{n=1}^{∞} x_{α_{n}} konvergent und es gilt

∑_{n=1}^{∞} x_{α_{n}} = ∑_{α∈I} x_{α}.

Die Umkehrung gilt nicht, auch nicht in ℝ (vgl. Bemerkung D.10).

(iii) Die Indexmenge I darf aber auch überabzählbar sein. In diesem Fall sind aber höchsten abzählbar viele Summanden ≠ 0. Man könnte die Nullsummanden wegglassen, meist ist es aber bequemer, auch überabzählbar viele Summanden zuzulassen.

D.2 Festst. (summ. Fa. abzählbar) Es sei (x_{α})_{α∈I} eine summierbare Familie. Dann ist die Menge

I′ := {α ∈ I | x_{α} ≠ 0}

höchstens abzählbar.

Beweis. (summ. Fa. abzählbar) Es sei x := ∑_{α∈I} x_{α}. Zu n ∈ ℕ gibt es eine endliche Menge F_{n} ⊂ I, so daß

∥x − ∑_{α∈F} x_{α}∥ < \frac{1}{n} für endliches F, F_{n} ⊂ F ⊂ I.

Da für β ∉ F_{n}

∥x_{β}∥ ≤ ∥x − ∑_{α∈F_{n}∪\{β\}}x_{α}∥ − ∥x − ∑_{α∈_{n}F} x_{α}∥ < \frac{2}{n}

gilt, ist I′ ⊂ ⋃_{n=1}^{∞} F_{n}. Also ist I′ höchstens abzählbar.

D.3 Bem. (Rechenregeln) Es seien E, F und G normierte Räume.

(i) Gegeben seien endlich viele disjunkte Indexmengen I_{ν} und summierbare Familien (x_{α})_{α∈I_{ν}} für ν = 1, …, n.

Es sei I := ⋃_{ν=1}^{n} I_{ν}.

Dann gilt

∑_{ν=1}^{n} ∑_{α∈I_{ν}} x_{α} = ∑_{α∈I} x_{α}.

(ii) Gegeben seien endich viele summierbare Familien (x_{ν,α})_{α∈I} für ν = 1, …, n. Dann ist die Famlie

( ∑_{ν=1}^{n} x_{ν,α})_{α∈I} summierbar, und es gilt

∑_{ν=1}^{n} ∑_{α∈I} x_{n,α} = ∑_{α∈I} ∑_{ν=1}^{n} x_{n,α}.

(iii) Es sei T ∈ L(E, F) eine beschränkte lineare Abbildung. Für eine summierbare Familie (x_{α})_{α∈I} in E ist die Familie (T x_{α})_{α∈I} summierbar in F und es gilt

T ( ∑_{α∈I} x_{α}) = ∑_{α∈I} T x_{α}.

(iv) Es sei b : E × F → G eine stetige bilineare oder sesquilineare Abbildung. Für summierbare Familien (x_{α})_{α∈I} in E und (y_{β})_{β∈J} in F ist die Familie (b(x_{α}, y_{β}))_{(α,β)∈I×J} summierbar in G und es gilt

∑_{(α,β)∈I×J} b(x_{α}, y_{β}) = b( ∑_{α∈I} x_{α}, ∑_{β∈J} y_{α}).

D.4 Satz (Cauchy-Kriterium) Es sei E ein Banachraum. Eine Familie (x_{α})_{α∈I} ist genau dann summierbar, wenn sie die folgende Cauchy-Bedingung erfüllt:

(C) Zu jedem ε > 0 gibt es eine endliche Menge F_{0} ⊂ I, so daß für alle endlichen Mengen F, G mit F_{0} ⊂ F ⊂ G ⊂ I gilt:

∥ ∑_{α∈G\F} x_{α}∥ < ε.

Anmerkung. Man kann die Cauchy-Bedingung noch etwas einfacher formulieren:

(C’) Zu jedem ε > 0 gibt es eine endliche Menge F_{0} ⊂ I, so daß für alle endlichen Mengen F mit F_{0} ⊂ F ⊂ I gilt:

∥ ∑_{α∈F \F_{0}} x_{α}∥ < ε.

D2 D SUMMIERBARE FAMILIEN

Bedingung (C’ ) ist ein Spezialfall der Cauchy-Bedingung (C). Wenn (C’) für \frac{ε}{2} > 0 erfüllt ist, folgt (C) mit der Dreiecksungleichung:

∥ ∑_{α∈G\F} x_{α}∥ ≤ ∥ ∑_{α∈G\F_{0}} x_{α}∥ + ∥ ∑_{α∈F \F_{0}} x_{α}∥ < ε

für alle endlichen Mengen F, G mit F_{0} ⊂ F ⊂ G ⊂ I.

Beweis. ((Cauchy-Kriterium)) 1. Aus der Dreiecksungleichung folgt, daß eine summierbare Familie die Cauchy-Bedingung erfüllt.

2. Wir zeigen, daß die Bedingung hinreichend ist. Für n ∈ ℕ wähle man endliche Mengen F_{n} ⊂ I, so daß für endliches F, F_{n} ⊂ F ⊂ I gilt:

∥ ∑_{α∈F \F_{n}} x_{α}∥ < \frac{1}{n}.

Ohne Einschränkung gelte F_{n} ⊂ F_{n+1}. Die Folge der y_{n} := ∑_{α∈F_{n}} x_{α} ist eine Cauchy-Folge, da

∥y_{n} − y_{m}∥ = ∥ ∑_{α∈F_{n}\F_{m}} x_{α}∥ < \frac{1}{m} für m < n.

Es sei y := lim_{n→∞} y_{n}. Da für endliches F mit F_{m} ⊂ F ⊂ I gilt

∥ ∑_{α∈F} x_{α} − y∥ ≤ ∥ ∑_{α∈F} x_{α} − y_{m}∥ + ∥y_{m} − y∥

= ∥ ∑_{α∈F \F_{m}} x_{α}∥ + ∥y_{m} − y∥ < \frac{2}{m}.

Also ist die Familie (x_{α})_{α∈I} summierbar und ∑_{α∈I} x_{α} = y.

Anmerkung. (zu obigen Beweis) Offensichtlich ist x_{α} = 0

für α ∉ I′ := ⋃_{n=1}^{∞} F_{n} und y = ∑_{α∈I′} x_{α}.

D.5 Festst. (nichtnegat. summierbare Familie) Eine Familie (λ_{α})_{α∈I} nichtnegativer Zahlen in ℝ ist genau dann summierbar, wenn

sup_{F} ∑_{α∈F} λ_{α} < ∞

ist, wobei sich das Supremum über alle endlichen F ⊂ I erstreckt. Dann ist

∑_{α∈I} λ_{α} = sup_{F} ∑_{α∈F} λ_{α}.

Wenn eine Familie nichtnegativer Zahlen nicht summierbar ist, setzen wir wie bei Reihen

∑_{α∈I} λ_{α} = ∞.

D.6 Bez. (absolut summierbare Familien) Eine Familie (x_{α})_{α∈I} in E heißt absolutsummierbar,

wenn ∑_{α∈I} ∥x_{α}∥ < ∞.

D.7 Festst. (abs. summ. in Banachraum) In einem Banachraum ist jede absolut summierbare Familie summierbar:

∑_{α∈I} ∥x_{α}∥ < ∞ ⇒ ∑_{α∈I} x_{α} existiert.

Beweis. ((absolut summierbare Familien)) Wir zeigen, daß eine absolut summierbare Familie das Cauchy-Kriterium D.4 (C’) erfült.

Nach Voraussetzung gibt es zu ε > 0 eine endliche Menge F_{0} ⊂ I, so daß

∑_{α∈F \F_{0}} ∥x_{α}∥ < ε für F endlich, F_{0} ⊂ F_{0} ⊂ I.

Aus der Dreiecksungleichung folgt nun

∥ ∑_{α∈F \F_{0}} x_{α}∥ ≤ ∑_{α∈F \F_{0}} ∥x_{α}∥ < ε.

D.8 Bsp. (summ., nicht abs. summ. Familie) Man betrachte in dem Hilbertraum l_{2}(ℕ) mit der Standardbasis (e_{n})_{n} das Element x = (\frac{1}{n})_{n}. Nach Beispiel 1.5.4 (iii) ist die Familie (\frac{1}{n}e_{n})_{n} summierbar mit Summe x. Da ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} = ∞ ist, ist diese Familie aber nicht absolutsummierbar.

D.9 Festst. (Teilfamilien summierbar) Es seien E ein Banachraum und und (x_{α})_{α∈I} eine summierbare Fammilie in E. Für alle J ⊂ I ist dann die Familie (x_{β})_{β∈J} summierbar.

Beweis. ((Teilfamilien summierbar)) Wir zeigen, daß die Familie (x_{β})_{β∈J} die Cauchy-Bedingung D.4 (C’) erfüllt.

Zu ε > 0 wähle ein endliches F_{0} ⊂ I, so daß für alle endlichen Mengen F mit F_{0} ⊂ F ⊂ I gilt:

∥ ∑_{α∈F \F_{0}} x_{α}∥ < ε.

Man setze K_{0} := F_{0} ∩ J. Für endliche Mengen K mit K_{0} ⊂ K ⊂ J bilde man die endliche Menge F := K ∪ F_{0}. Dann folgt F_{0} ⊂ F ⊂ I und somit

∥ ∑_{β∈K\K_{0}} x_{β}∥ = ∥ ∑_{α∈F \F_{0}} x_{α}∥ < ε.

D.10 Bem. (summierbare Familien im 𝕂^{n}) Im Fall E = 𝕂 oder allgemeiner, wenn dim E < ∞ ist, ist eine Familien genau dann summierbar, wenn sie absolut summierbar ist.

Anmerkung. Die obige Eigenschaft charakterisiert die endlichdimensionalen Banachräume. Nach dem Satz von Dvoresky und Rogers gibt es in jedem unendlichdimensionalen Banachraum eine summierbare Folge, die nicht absolut summierbar ist.

D3

Beweis. ((summierbare Familien im 𝕂^{n})) 1. Die Familie (λ_{α})_{α∈I} sei summierbar in 𝕂.

Im Fall 𝕂 = ℝ bilde man

J_{+} := {β ∈ I | λ_{β} ≥ 0} und J_{−} := {β ∈ I | λ_{β} < 0}.

Nach Feststellung D.9 sind die beiden Familien (λ_{β})_{β∈J_{∓}} summierbar. Also ist die Familie (∥(λ_{α}∥)_{α∈I} summierbar in ℝ.

Im Falle 𝕂 = ℂ sind also die Familien (Re λ_{α})_{α∈I} und (Im λ_{α})_{α∈I} absolut summierbar.

2. Die Familie (x_{α})_{α∈I} sei summierbar in 𝕂^{n} in der Norm ∥ · ∥_{2} des Standardskalarproduktes. Dann sind nach 1. die Koordinaten absolut summierbar sind und folglich

∑_{α∈I} ∥x_{α}∥_{2} < ∞.

Da auf dem 𝕂^{n} alle Normen äquivalent sind (siehe Analysis II), ist die Familie in jeder Norm absolut summierbar.

Ein endlichdimensionaler normierter Raum ist isomorph zum 𝕂^{n}.

D.11 Festst. (Aufspaltung in Doppelsummen) Es seien E ein Banachraum und (x_{α})_{α∈I} eine summierbare Familie in E.

Es seien (I_{β})_{β∈J} paarweise disjunkte Teilmengen von I, so daß I := ⋃_{β∈J} I_{β}. Dann ist die Familie ( ∑_{α∈I_{β}} x_{α})_{β∈J} summierbar und es gilt

∑_{β∈J} ∑_{α∈I_{β}} x_{α} = ∑_{α∈I} x_{α}.

Beweis. ((Aufspaltung in Doppelsummen)) Es sei x − ∑_{α∈F} x_{α}. Nach Feststellung D.9 existieren für jedes β ∈ J die Teilsummen y_{β} := ∑_{α∈I_{β}} x_{α}.

Zu ε > 0 gibt es eine endliche Menge F_{0} ⊂ I, so daß

∥x − ∑_{α∈F} x_{α}∥ < ε für alle endlichen F mit F_{0} ⊂ F ⊂ I.

Es sei G_{0} := {β | I_{β} ∩ F_{0} ≠ ∅}.

Für endliches G mit G_{0} ⊂ G ⊂ J sei n := |G| die Anzahl der Elemente von G. Zu β ∈ G gibt es endliche K_{β} ⊂ I_{β}, so daß

∥y_{b} − ∑_{α∈K} x_{α}∥ < \frac{ε}{n} für endliche K mit K_{β} ⊂ K ⊂ I_{β}.

Ohne Einschränkung sei F_{0} ∩ I_{β} ⊂ K_{β}. Da G_{0} ⊂ G ist, folgt

F_{0} ⊂ ⋃_{β∈G} K_{β} =: F

und somit

∥x − ∑_{β∈G} y_{β}∥ = ∥x − ∑_{α∈F} x_{α} + ∑_{β∈G} ( ∑_{α∈K_{β}} x_{α} − y_{β})∥

≤ ∥x − ∑_{α∈F} x_{α}∥ + ∑_{β∈G} ∥ ∑_{α∈K_{β}} x_{α} − y_{β}∥

< ε + k \frac{ε}{k} = 2ε.

D.12 Folg. (Doppelsummen) Es seien E ein normierter Raum und (x_{α,β})_{(α,β)∈I×J} eine summierbare Familie in E.

Dann ist die Familie ( ∑_{α∈I} x_{α,β})_{β∈J} summierbar und

es gilt

∑_{β∈J} ∑_{α∈I} x_{α,β} = ∑_{(α,β)∈I×J} x_{α,β}.

D4 D SUMMIERBARE FAMILIEN E.1 Spektrum und Resolvente eines Op. E1

E Spektraltheorie

E.1 Spektrum und Resolvente eines Op.

E.1.1 Def. (Spektrum eines Operators in ℒ(E)) (i) Es seien E ein komplexer Banachraum und T ∈ ℒ(E). Die Menge

ρ(T) = {λ ∈ 𝕂 | exist. (λ id_{H} −T)^{−1} ∈ ℒ(H)}.

heißt die Resolventenmenge von T.

(ii) Das Komplement der Resolventenmenge heißt das Spektrum σ(T) von T:

σ(T) := {λ ∈ 𝕂 | λ ∉ ρ(T)}.

(iii) Die Abbildung

R(., T) : ρ(T) → ℒ(E),
R(λ, T) = (λ id_{E} −T)^{−1}

heißt die Resolvente von T.

Anmerkung. (Bezeichnung der Resolvente) Wir schreiben auch kurz R(λ) := R(λ, T).

Üblich sind auch auch die Schreibweisen R_{λ}(T) bzw. R_{T} (λ) für die Resolvente.

In der älteren Literatur wird die Resolvente häufig mit entgegengesetztem Vorzeichen definiert.

Anmerkung. (Spektraltheorie komplex) 1. Das Spektrum einer Matrix A ∈ hom(𝕂^{n}) besteht aus den Eigenwerten von A. Feinheiten, wie die Vielfachheit eines Eigenwertes werden durch den Begriff Spektrum nicht erfaßt.

2. Das Beispiel der Matrizen A ∈ hom(𝕂^{n}) zeigt, daß man nur im Fall 𝕂 = ℂ zu brauchbaren Aussagen gelangt. Im Falle 𝕂 = ℝ kann das Spektrum leer sein. Dagegen gibt es im komplexen immer Eigenwerte und mit Hilfe der Eigenwerte und der zugehörigen Hauptvektorräume konstruiert man die Jordansche Normalform von A (siehe Lineare Algebra).

3. In der linearen Algebra behandelt man reellen Matrizen A ∈ hom_{ℝ}(ℝ^{n}), in dem man sie auf dem ℂ^{n} operieren läßt. D. h., man komplexifiziert den ℝ^{n} zum ℂ^{n} und untersucht die ℂlineare Fortsetzung von A auf den ℂ^{n}. Für einige spezielle Klassen von Banachräumen und Operatoren kann man auf ähnliche Weise durch Komplexifizierung Aussagen über das Spektrum gewinnen.

4. Für die Spektraltheorie allgemeiner Operatoren ist es aber sinnvoll, sich auf den Fall komplexer Banachräume zu beschränken.

Anmerkung. (Spektrum einer Matrix) In der linearen Algebra erhält man die Resultate über Eigenwerte und Normalformen einer Matrix A, indem man die Beziehungen zwischen den Polynomen p ∈ ℂ[ζ] und den Matrizen p(A) untersucht.

1. Man bildet die von A und der Identität erzeugte unitale Algebra

Alg(A, id) := {p(A) | p ∈ ℂ[ζ]}

und den surjektiven Algebrenhomorphismus

Φ : ℂ[ζ] ∋ p ↦ p(A) ∈ Alg(A, id),

wobei Φ(1) = id und Φ(ζ) = A ist.

2. Der Kern eines Algebrenhomorphismus ist ein Ideal in der Algebra der Polynome. Diese Ideal hat die folgende Gestalt:

Da Alg(A, id) endliche Dimension hat, sind die Potenzen {A^{0}, A^{1}, A^{2}, … } linear abhängig. Das Minimalpolynom m_{A} von A ist das normierte Polynom kleinsten Grades, das A annulliert: m_{A}(A) = 0.

Der Kern des Algebrenhomorphismus Φ besteht aus den Vielfachen des Minimalpolynoms:

Kern Φ = ℂ[ζ]m_{A}.

Alle Polynome q einer Nebenklassen p+ℂ[ζ]m_{A} erzeugen dasselbe Element q(A) ∈ Alg(A, id). Nach dem Isomorphissatz gilt also: Satz Die Quotientenalgebra ℂ[ζ]/m_{A} ist isomorph zur Algebra

Alg(A, id).

3. Für beliebige Operatoren auf unendlichdimensionalen Banachräumen gibt es kein zu 2 analoges Resultat, aber Teilaussagen gelten weiter. Ein erster Schritt in dieser Richtung ist der spektrale Abbildunggssatz für Polynome E.1.2.

E.1.2 Satz (Spektr. Abbildungssatz für Polyn.) Es sei E ein komplexer Banachraum und T ∈ ℒ(E). (i) Es sei p ∈ ℂ[ζ] ein Polynom der Form

p(ζ) = ∏_{κ=1}^{k}(λ_{κ} − ζ)^{n_{κ}},

wobei λ_{1}, …, λ_{k} ∈ ℂ die Nullstellen mit den Vielfachheiten n_{1}, …, n_{k} ∈ ℕ sind.

Der Operator p(T) ist genau dann invertierbar, wenn λ_{1}, …, λ_{k} ∈ ρ(T) sind.

(ii) Für ein Polynom p ∈ ℂ[ζ] gilt der spektrale Abbildungssatz:

σ(p(T)) = {p(λ) | λ ∈ σ(T)}.

Also kurz: σ(p(T) = p(σ(T)).

Beweis. (i) Es sei p(ζ) = ∏_{κ=1}^{k}(λ_{κ} − ζ)^{n_{κ}}. Wenn alle Nullstellen λ_{1}, …, λ_{k} in der Resolventenmenge ρ(T) liegen, so existiert die Inverse

(p(T))^{−1} := ∏_{κ=1}^{k}(λ_{κ} id_{E} −T)^{−n_{κ}} ∈ ℒ(E).

Wenn (p(T))^{−1} ∈ ℒ(E) existiert, so gilt für ι = 1, …, k:

id_{E} = (λ_{ι} id_{E} −T)

· ((λ_{ι} id_{E} −T)^{n_{ι}−1} ∏_{\begin{matrix}κ=1 \\ κ≠ι \end{matrix}}^{k}(λ_{κ} id_{E} −T)^{n_{κ}}(p(T))^{−1}).

Also hat λ_{ι} id_{E} −T eine Rechtsinverse und, da alle Faktoren kommutieren, auch eine Linksinverse. D.h., λ_{ι} ∈ ρ(T).

(ii) Es sei μ ∈ ℂ. Man zerlege das Polynom μ − p(ζ) in Linearfaktoren:

μ − p(ζ) = ∏_{κ=1}^{k}(λ_{κ} − ζ)^{n_{κ}}.

Nach Teil (i) gilt:

μ ∈ ρ(p(T)) ⇔ λ_{1}, …, λ_{k} ∈ ρ(T).

Für das Komplement σ(p(T)) = ℂ \ ρ(p(T)) gilt also:

μ ∈ σ(p(T)) ⇔ exist. ein λ_{ι} ∈ σ(T) mit μ − p(λ_{ι}) = 0.

E2 E SPEKTRALTHEORIE

Anmerkung. (Nullstellen des Minimalpolynoms) Es sei A ∈ M_{n} eine Matrix. Aus dem spektralen Abbildunggssatz E.1.2 und der Minimalität des Polynoms m_{A} erhält man die folgende Beschreibung des Spektrums von A.

Satz Die Nullstellenmenge des Minimalpolynoms m_{A} ist das Spektrum von A:

σ(A) = {λ ∈ ℂ | m_{A}(λ) = 0}.

E.1.3 Satz (Resolvente analytisch) Es seien E ein Banachraum und T ∈ ℒ(E)

(i) Dann gilt

1. Die Resolventenmenge ρ(T) ist offen.

2. Die Resolvente R(., T) : ρ(T) → ℒ(E) ist eine analytische Funktion.

3. Das Spektrum σ(T) ist kompakt.

Genauer gilt:

(ii) Für λ ∈ ρ(T) ist

{μ ∈ ℂ | |μ − λ| < ∥R(λ, T)∥^{−1}} ⊂ ρ(T).

(iii) Die Resolvente R : μ ↦ (μ id_{E} −T)^{−1} hat eine Enwicklung in eine Potenzreihe:

R(μ, T) = ∑_{n=0}^{∞} R(λ, T)^{n+1}(λ − μ)^{n},

die für |μ − λ| < ∥R(λ, T)∥^{−1} in der Norm absolut konvergiert.

(iv) Die Resolvente hat um den Punkt ∞ die Laurententwicklung

R(λ, T) = ∑_{n=1}^{∞} T^{n−1}λ^{−n} für |λ| > ∥T ∥.

Die Reihe ist in der Norm absolut konvergent.

Das Spektrum liegt in der abgeschlossenen Kreischeibe um 0 mit Radius ∥T ∥:

σ(T) ⊂ {λ ∈ ℂ | |λ| ≤ ∥T ∥.

Anmerkung. 1. Der genaue Konvergenzradius der Laurententwicklung in Satz E.1.3 (iii) ist gleich dem Spektralradius r(T) von T (siehe Satz E.1.5).

2. Die Aussagen folgen leicht aus Satz B.2.7. Es ist aber instruktiver, diesen wichtigen Spezialfall noch einmal zu rechnen.

Beweis. (i) folgt aus (ii) – (iv).

(ii) Man schreibe μ id_{E} −T in der Form

μ id_{E} −t = (λ id_{E} −T)( id_{E} −R(λ, T)(λ − μ)) (∗)

Da nach Vorausetzung

∥R(λ, T)(λ − μ)∥ ≤ 1

ist, existiert nach Satz B.2.7 (i) die Inverse R(μ, T) ∈ ℒ(E). Also ist die Resolventenmenge ρ(T) offen.

(iii) Mit der Neumanschen Reihe erhält man die Entwicklung der Resolvente in eine Potenzreihe um einen Punkt λ ∈ ρ(T). Mit Satz B.2.7 (i) folgt aus (∗)

(μ id_{E} −T)^{−1} = R(λ, T) ∑_{n=0}^{∞} R(λ, T)^{n}(λ − μ)^{n},

für |μ − λ| < ∥(λ id_{E} −T)^{−1}∥^{−1}.

Die Reihe konvergiert absolut in der Norm:

∑_{n=0}^{∞} ∥R(λ, T)^{n+1}∥|λ − μ|^{n}

≤ ∑_{n=0}^{∞} ∥R(λ, T)∥^{n+1}|λ − μ|^{n}

= \frac{1}{∥R(λ, T)∥^{−1} − |λ − μ|} < ∞

(iv) Wir zeigen die Laurententwicklung der Resolvente um den Punkt ∞. Für |λ| > ∥T ∥ ist

λ id_{E} −T = λ(id_{e} −λ^{−1}T) und ∥λ^{−1}T ∥ < 1.

Nach Satz B.2.7 existiert also (λ id_{E} −T)^{−1} ∈ ℒ(E) und hat die Entwicklung in eine Neumannsche Reihe:

(λ id_{E} −T)^{−1} = λ^{−1} ∑_{n=0}^{∞}(λ^{−1}T)^{n} = ∑_{n=1}^{∞} T^{n−1}λ^{−n}.

Das Spektrum σ(T) liegt also in der abgeschlossenen Kreisscheibe um 0 mit Radius ∥T ∥. Da die Resolventenmenge ρ(T) offen ist, ist σ(T) abgeschlossen und folglich kompakt.

E.1.4 Bem. (Cauchysche Integralsatz) Es sei E ein komplexer Banachraum, G ⊂ ℂ offen und f : G → E eine komplex analytische Abbildung, d.h. f hat um jeden Punkt ζ_{0} ∈ G eine Enwicklung in eine in der Norm konvergente Potenzreihe

f(ζ) = ∑_{n=0}^{∞} x_{n}(ζ − ζ_{0})^{n} für |ζ − ζ_{0}| < R

mit Konvergenzradius R > 0. Dabei sind die Koeffizienten x_{n} ∈ E.

Dann gilt für jeden geschlossenen, stückweise stetig differenzierbaren Weg Γ in G, der null-homolog ist, der Cauchysche Integralsatz:

∫_{Γ} f(ζ) dζ = 0.

Anmerkung. Wir benutzen den Cauchysche Integralsatz im Beweis des folgenden Satzes E.1.5 für zwei sehr einfache Wege:

• Γ_{R} sei der Rand einer abgeschlossenen Kreisscheibe mit Radius R , die in G liegt.

• Γ_{R} − Γ_{r} sei der Rand eines abgeschlossenen Kreisringes mit Innenradius r und Außenradius R, der in G liegt. In diesem Fall gilt also

∫_{Γ_{R}} f(ζ) dζ = ∫_{Γ_{r}} f(ζ) dζ.

E.1 Spektrum und Resolvente eines Op. E3

E.1.5 Satz (Spektrum nicht leer und kompakt) Es sei E ein komplexer Banachraum, dim E > 0 und T ∈ ℒ(E).

(i) Das Spektrum σ(T) ist nicht leer und kompakt. Für den Spektralradius

r(T) := max{|λ| | λ ∈ σ(T)}

gilt r(T) = lim_{n→∞} \sqrt[n]{∥T^{n}∥} ≤ ∥T ∥.

(ii) Die Resolvente hat die Laurententwicklung

R(λ, T) = ∑_{n=1}^{∞} T^{n−1}λ^{−n} für |λ| > r(T).

Die Reihe ist in der Norm absolut konvergent

Beweis. 1. Nach Satz E.1.3 (iv) ist das Spektrum σ(T) kompakt und liegt in der abgeschlossenen Kreisscheibe um 0 mit Radius ∥T ∥. Die Resolvente hat um den Punkt ∞ die Laurententwicklung

R(λ, T) = ∑_{ν=0}^{∞} T^{ν}λ^{−ν−1} für |λ| > ∥T ∥.  (∗)

Die Reihe ist in der Norm absolut konvergent.

2. Wir zeigen, daß das Spektrum nicht leer ist: Für R > ∥T ∥ konvergiert die Laurentreihe (∗) auf der Kreislinie |λ| = r gleichmäßig in der Norm. Man kann also die Reihe gliedweise über diese Kreislinie Γ_{R} integrieren und erhält

\frac{1}{2πi} ∫_{Γ_{R}} λ^{n}R(λ, T) dλ = ∑_{ν=0}^{∞} T^{ν} \frac{1}{2πi} ∫_{Γ_{R}} λ^{n−1−ν} dλ
= T^{n} für n ∈ ℕ_{0}.

Wenn σ(T) = ∅ ist, so ist ρ(T) = ℂ und die Resolvente ist eine auf ganz ℂ erklärte analytische Funktion. Aus dem Cauchyschen Integralsatz E.1.4 folgt dann

\frac{1}{2πi} ∫_{Γ_{R}} λ^{n}R(λ, T) dλ = 0.

Insbesondere wäre id_{E} = T^{0} = 0 und somit dim E = 0 im Widerspruch zur Voraussetzung.

3. Wir zeigen die Formel für den Spektralradius: Da die Resolvente R(λ, T) im Gebiet {λ | |λ| > r(T)} analytisch ist, folgt

T^{n} = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ_{R}} λ^{n}R(λ, T) dλ = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ_{r}} λ^{n}R(λ, T) dλ

für r(T) < r < R und ∥T ∥ < R. Da R(., T) normstetig ist, ist es auf der kompakten Kreislinie beschränkt:

M(r) := max{∥R(λ, T)∥ | |λ| = r} < ∞.

Aus der Integraldarstellung von T^{n} folgt die Abschätzung

∥T^{n}∥ ≤ r^{n}M(r)\frac{1}{2π} ∫_{Γ_{r}} d|λ| = r^{n−1}M(r).

Somit erhalten wir

lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{∥T^{n}∥} ≤ r für r > r(T).

Es ist also lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{∥T^{n}∥} ≤ r(T).

Wenn λ ∈ σ(T) ist, so ist λ^{n} ∈ σ(T^{n}) (siehe Satz E.1.2) und folglich

|λ| ≤ \sqrt[n]{∥T^{n}∥} für n ∈ ℕ.

Anmerkung. (Vorzeichen der Resolvente) 1. In der älteren Literatur wird häufig für die Resolvente das entgegengesetzte Vorzeichen gewählt und die Funktion λ ↦ (T − λ id_{E})^{−1} als Resolvente bezeichnet.

Unsere Definition E.1.1 (iii) der Resolvente ist die heute übliche. Die Spektraltheorie allgemeiner Operatoren beruht weitgehend auf funktionentheoretischen Methoden. Bei dieser Wahl des Vorzeichens hat man die beste Entsprechung von Formeln aus der Funktionentheorie mit analogen Formeln der Spektraltheorie.

Man sieht das am Beispiel der Cauchyschen Integralformel für einen Kreis. Für ζ ∈ ℂ mit |ζ| < r gilt bekanntlich:

ζ^{n} = \frac{1}{2πi} ∫_{|λ|=r} \frac{λ^{n}}{λ − ζ} d λ für n ∈ ℕ_{0}.

Man kann hierin ζ durch T ∈ ℒ (E) mit r(T) < r ersetzen (siehe Punkt 3 des obigen Beweises):

T^{n} = \frac{1}{2πi} ∫_{|λ|=r} λ^{n}(λ id_{E} −T)^{−1}d λ für n ∈ ℕ_{0}.

Letztendlich ergibt sich die Wahl des Vorzeichens aus der Orientierung der komplexen Ebene. Diese besagt anschaulich, daß die Einheitskreislinie entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen wird.

E.1.1 Rechenregeln: Spektralradius

Anmerkung. Die algebraischen Verknüpfungen S + T und ST harmonierenden nicht besonders mit der bildung des Spektrums, sofern S und T ∈ ℒ (E) nicht vertauschen.

E.1.6 Bem. (Spektrum von ST und T S) Es sei A eine unitale Algebra S, T ∈ A.

(i) Für λ ∈ 𝕂, λ ≠ 0 ist λ1l_{A} − ST genau dann invertierbar in A, wenn λ1l_{A} − T S invertierbar ist.

(ii) Für das Spektrum und den Spektralradius gelten:

σ(ST) ∪ {0} = σ(T S) ∪ {0} und r(ST) = r(T S).

Beweis. (i) Es existiere R := (λ1l_{A} − ST)^{−1} ∈ A. Dann gilt

(λ1l_{A} − T S)λ^{−1}(1l_{A} + T RS)

\begin{matrix}= 1l_{A} + T RS − λ^{−1}T S − λ^{−1}T ST RS \\ = 1l_{A} − λ^{−1}T S + λ^{−1}T (λ1l_{A} − ST)RS = 1l_{A}. \end{matrix}

Analog gilt λ^{−1}(1l_{A} + T RS)(λ1l_{A} − T S) = 1l_{A}.

(ii) Nach (ii) ist

ρ(ST) \ {0} = ρ(T S) \ {0}

und somit σ(ST) ∪ {0} = σ(T S) ∪ {0}. Für die Spektralradien folgt hieraus

r(ST) = max_{λ∈σ(ST)} |λ| = max_{λ∈σ(T S)} |λ| = r(T S).

E.1.7 Festst. (Rechenregeln: Spektralradius) Es seien E ein Banachraum und S, T ∈ ℒ(E).

(i) Für α ∈ ℂ gilt r(αT) = |α| r(T)

(ii) Wenn ST = T S ist, gilt

r(S + T) ≤ r(S) + r(T) (subadditiv)

(iii) Wenn ST = T S ist, gilt

r(ST) ≤ r(S) r(T) (submultiplikativ).

(iv) r(T^{n}) = r(T)^{n} für n ∈ ℕ.

(v) r(ST) = r(T S).

Anmerkung. (Gegenbeispiel:Spektralradius) 1. Der Spektralradius ist i. alg. weder subadditiv noch submultiplikativ, wie die folgenden Beispiele zeigen:

2. Es sei A = [ \begin{matrix}0,1 \\ 0,0 \end{matrix} ]. Da A^{2} = 0 ist, ist r(A) = 0 und ebenso r(A^{∗}) = 0. Anderserseits ist

A + A^{∗} = [ \begin{matrix}0,1 \\ 1,0 \end{matrix} ] und A^{∗}A = [ \begin{matrix}0,0 \\ 0,1 \end{matrix} ] .

und somit r(A + A^{∗}) = 1 und r(A^{∗}A) = 1.

Beweis. (i) Da σ(αT) = α σ(T) ist, folgt r(αT) = |α| r(T)

(ii) Für den Spektralradius gilt r(T) = lim_{n→∞} \sqrt[n]{∥T^{n}∥}. (siehe Satz E.1.5). D.h., zu ε > 0 gibt es ein k_{0} ∈ ℕ derart, daß für l ≥ k_{0}

∥S^{l}∥ ≤ (r(S) + ε)^{l} und ∥T^{l}∥ ≤ (r(T) + ε)^{l}

gilt. Man wähle eine 1 ≤ c < ∞, so daß für 1 ≤ l ≤ k_{0} − 1

∥S^{l}∥ ≤ c(r(S) + ε)^{l} und ∥T^{l}∥ ≤ c(r(T) + ε)^{l}

ist. Da S und T vertauschen gilt für (S + T)^{n} die binomische Formel. Für n ≥ 2k_{0} kann man nun abschätzen:

∥(S + T)^{n}∥ = ∥∑_{ν=0}^{n} \binom{n}{ν}S^{ν}T^{n−ν} ∥

≤ ∑_{ν=0}^{n} \binom{n}{ν}∥S^{ν}∥∥T^{n−ν}∥

≤ ∑_{ν=0}^{k_{0}−1} \binom{n}{ν}c(r(S) + ε)^{ν}(r(T) + ε)^{n−ν}

+ ∑_{ν=k_{0}}^{n−k_{0}} \binom{n}{ν}(r(S) + ε)^{ν}(r(T) + ε)^{n−ν}

+ ∑_{\begin{matrix}ν= \\ n−k_{0}+1 \end{matrix}}^{n} \binom{n}{ν}(r(S) + ε)^{ν}c(r(T) + ε)^{n−ν}

≤ c ∑_{ν=0}^{n} \binom{n}{ν}(r(S) + ε)^{ν}(r(T) + ε)^{n−ν}

= c((r(S) + ε) + (r(T) + ε))^{n}.

Für alle ε > 0 gilt also die Abschätzung

r(S + T) = lim \sqrt[n]{∥(S + T)^{n}∥} ≤ (r(S) + ε) + (r(T) + ε)

und somit r(S + T) ≤ r(S) + r(T).

(iii) Da S und T vertauschen, folgt

r(ST) = lim_{n→∞} \sqrt[n]{∥(ST)^{n}∥} lim_{n→∞} \sqrt[n]{∥S^{n}T^{n}∥}

≤ lim_{n→∞} \sqrt[n]{∥S^{n}∥∥T^{n}∥} = r(S) r(T).

(iv) Nach dem spektralen Abbildungssatz für Polynome (siehe Satz E.1.2) ist σ(T^{n}) = (σ(T))^{n} und folglich r(T^{n}) = r(T)^{n}.

(v) Aus ∥(ST)^{n+1}∥ ≤ ∥S∥∥(T S)^{n}∥∥T ∥ folgt

r(ST) = lim_{n→∞} \sqrt[n+1]{∥(ST)^{n+1}∥} ≤ lim_{n→∞} \sqrt[n]{∥(ST)^{n}∥} ≤ r(T S)

Analog folgt r(T S) ≤ r(ST). (Für einen anderen Beweis siehe siehe Bemerkung E.1.6

E.1.8 Festst. (Radikal einer kommutat. B-Alg.) Es seien E Banachraum und A eine abgeschlossene, kommutative, unitale Unteralgebra von ℒ(E).

(i) Der Spektralradius ist eine submultiplikative Halbnorm auf A. Der Kern dieser Halbnorm ist das Radikal von A.

Rad(A) := {S ∈ A | r(S) = 0}.

(ii) Das Radikal Rad(A) ist ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in A.

1. Die Quotientenalgebra A/ Rad(A) ist mit der Qotientennorm eine unitale Banachalgebra.

2. Es sei T̂ := T +Rad(A) die Nebenklasse von T ∈ A. Die Quotientenalgebra A/ Rad(A) ist mit der Spektralnorm

∥T̂∥_{σ} := r(T)

eine unitale normierte Algebra. Es gilt r(T̂) = ∥T̂∥_{σ}.

Beweis. (i) Auf einer kommutativen Unteralgebra A ⊂ ℒ(E) ist das Funktional A ∋ T ↦ r(T) eine Halbnorm.

(ii)

E.2 Spektrum bezgl. einer Unteralgebra E5

E.2 Spektrum bezgl. einer Unteralgebra

Anmerkung. (Spektrum bezügl. einer B–Unteralg. )

1. Die Definition des Spektrums eines Operators T ∈ ℒ (E) und die Eigenschaften aus Satz E.1.3 und Satz E.1.5 des Spektrums beruhen nur darauf, daß ℒ (E) eine unitale Banachalgebra ist. Sie gelten entsprechend für Elemente einer beliebigen unitalen komplexen Banachalgebra A.

2. Für eine unitale Banachalgebra A mit Einselement e definiert man die Resolventenmenge eines Elementes x ∈ A als

ρ_{A}(a) := {λ ∈ ℂ | (λe − a)^{−1} ∈ A}

und das Spektrum σ_{A} := ℂ \ ρ_{A}(x).

Nach Bemerkung B.4.5 gilt für die Linksmultiplikation L_{a} ∈ ℒ (A) die Beziehung (L_{a})^{−1} = L_{a^{−1}} und folglich ist

ρ_{A}(a) = ρ(L_{a}) und σ_{A}(a) = σ(L_{a}).

Man kann also eine abstrakte unitale Banachalgebra immer als Unteralgebra der Algebra ℒ (A) der beschränkten Operatoren auffassen und statt σ_{A}(a) das Spektrum des Multiplikationsoperators L_{A} untersuchen.

3. Insbesondere untersucht man das Spektrum σ_{A}(T) von T ∈ ℒ (E) im Bezug auf eine abgeschlossen unitale Unteralgebra A ⊂ ℒ (E), die T enthält. Wenn E unendlichdimensional ist, kann σ(T) ⊊ σ_{A}(T) sein (siehe Bsp. E.3.5).

4. Wenn dim E = n ∈ ℕ ist, so hängt das Spektrum σ_{A}(T) nicht von der Wahl der unitalen Unteralgebra A mit T ∈ A ab. Es gilt nämlich:

Satz Es sei V ein n-dimensionaler 𝕂-Vektorraum und T ∈ hom V. Wenn T invertierbar ist, so gibt es ein Polynom P ∈ 𝕂[ζ] mit Grad P ≤ n − 1 derart, daß

T^{−1} = P (T)

ist.

Beweis. Es sei

m_{A}(ζ) = ζ^{k} + α_{n−1}ζ^{n−1} + ⋯ + α_{0}

das Minimalpolynom von T. Es ist m_{A} ∈ 𝕂[ζ]. Wenn T invertierbar ist, dann ist 0 kein Eigenwert von A, also keine Nullstelle von m_{A}. Also ist α_{0} = m_{A}(0) ≠ 0. Aus m_{A}(T) = 0 folgt

T (α_{0}^{−1}(T^{k−1} + α_{k−1}T^{k−2} + ⋯ + α_{1} id_{V} )) = id_{V} .

Also ist T^{−1} ein Polynom in T. Entsprechendes gilt für (λ id −T)^{−1} mit λ ∈ ρ(T).

E.2.1 Bez. (Spektrum bezgl. einer Unteralg.) Es seien E ein komplexer Banachraum, A eine abgeschlossene unitale Unteralgebra von ℒ(E)

(i) Die unitale Unteralgebra A heißt voll in ℒ(E), wenn folgendes gilt:

Wenn T ∈ A ist, und T^{−1} ∈ ℒ(E) exisitiert, dann ist T^{−1} ∈ A.

(ii) Wenn A nicht voll ist, gibt es also Operatoren T ∈ A und λ ∈ ρ(T), so daß (λ id_{E} −T)^{−1} ∉ A ist. (siehe Bsp. E.3.5). Daher definieren wir:

Für T ∈ A heißt die Menge

ρ_{A}(T) = {λ ∈ 𝕂 | exist. (λ id_{H} −T)^{−1} ∈ A}.

die Resolventenmenge von T bezüglich A.

Das Komplement der Resolventenmenge heißt das Spektrum von T bezüglich A:

σ_{A}(T) := ℂ \ ρ_{A}(T).

E.2.2 Bez. (Spektrum: Element einer B-Alg.) (i) Für eine unitale Banachalgebra A mit Einselement e definiert man die Resolventenmenge eines Elementes x ∈ A als

ρ_{A}(a) := {λ ∈ ℂ | (λe − a)^{−1} ∈ A}

und das Spektrum σ_{A}(a) := ℂ \ ρ_{A}(a).

(ii) Nach Bemerkung B.4.5 gilt für die Linksmultiplikation L_{a} ∈ ℒ(A) die Beziehung (L_{a})^{−1} = L_{a^{−1}} und folglich ist

ρ_{A}(a) = ρ(L_{a}) und σ_{A}(a) = σ(L_{a}).

Anmerkung. 1. Man kann eine abstrakte unitale Banachalgebra als volle Unteralgebra der Algebra ℒ (A) der beschränkten Operatoren auffassen und das Spektrum σ_{A}(a) auf das Spektrum des Multiplikationsoperators L_{a} zurückführen.

2. Für einen Banachraum E ist umgekehrt ℒ (E) eine unitale Banachalgebra und das Spektrum eines Operators ist ein Spezialfall von Bezeichnung E.2.2 (i).

Da wir in diesem Kapitel das Spektrum von Operatoren und nicht die Struktur abstrakter Banachalgebren untersuchen, verwenden wir den Standpunkt 1.

3. Als Hilfmittel brauchen wir die von einem Operator T ∈ ℒ (E) erzeugte unitale Banachalgebra BAlg(T, id_{E}) und Quotientenalgebren dieser Algebra. Dies erlaubt uns, zwei wichtige Hilfmittel

• Charaktere und maximale Ideale

aus der Theorie der kommutativen Banachalgebren anzuwenden. Die Theorie der Spektren, Charaktere und maximaler Ideale für abstrakte kommutative Banachalgebren nennt man Gelfand-Theorie. Hierbei benötigt man an einer entscheidenden Stelle des Beweises das Zornsche Lemma.

Im Fall einer Algebra, die wie BAlg(T, id_{E}) von einem Element T erzeugt wird, hat man eine eineindeutige Entsprechung zwischen dem Spektrum von T, also komplexen Zahlen, und den Charakteren der Algebra, bzw. den maximalen Idealen der Algebra. Dies erlaubt es., die Resultate in diesem Fall direkt zu konstruieren.

E.2.3 Bem. (σ_{A}(T) ≠ ∅ und kompakt) Es seien E ein Banachraum und T ∈ ℒ(E). Es sei A eine abgeschlossene unitale Unteralgebra von ℒ(E), die T enthält.

(i) Die Resolventenmenge ρ_{A}(T) ist offen.

(ii) Das Spektrum σ_{A}(T) ≠ ∅ und kompakt. Der Spektralradius

r_{A}(T) := max{|λ| | λ ∈ σ_{A}(T)

ist gleich r(T) = lim_{n→∞} \sqrt[n]{∥T^{n}∥}.

Beweis. (i) Es sei λ ∈ ρ_{A}(T) und μ ∈ ℂ mit

|μ − λ| < ∥(R(λ, T)∥^{−1}.

Nach Satz E.1.3 (ii) gilt dann

(μ id_{E} −T)^{−1} = ∑_{n=0}^{∞} R(λ, T))^{(n+1)}(λ − μ)^{n},

und die Reihe konvergiert absolut in der Norm. Folglich ist R(μ, T) ∈ A und ρ_{A}(T) ist offen.

(ii) Offensichtlich gilt σ_{A}(T) ⊃ σ(T) ≠ ∅ und r_{A}(T) ≥ r(T).

Andererseits gilt nach Satz E.1.5 (ii)

R(λ, T) = ∑_{n=1}^{∞} T^{n−1}λ^{−n} für |λ| > r(T).

Da die Reihe in der Norm absolut konvergiert, ist

R(λ, T) ∈ A für |λ| > r(T).

Also ist r_{A}(T) ≤ r(T).

σ_{A}(T) ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt.

E.3 Charaktere und Spektrum

Anmerkung. (Charakter) Ein Charakter χ von A ist ein unitaler Algebrenhomorphismus

χ : A → ℂ mit χ(1l_{A}) = 1.

(siehe Bez. B.4.8 und Bem. B.4.9).

E.3.1 Bez. (Spektrum einer unitalen Algebra) Es sei A eine komplexe, kommutative, unitale Banachalgebra.

Die Menge der Charaktere von A heißt das Spektrum von A und wird mit Σ_{A} bezeichnet.

Anmerkung. 1. Das Spektrum Σ_{A} versieht man mit der sogenanten schwach*-Topologie oder Gelfand-Topologie und spricht dann vom Gelfandraum Σ_{A}. Leider gibt es für diesen wichtigen Raum kein allgemein verwendetes Symbol. Andere Bezeichnungen sind Sp_{A} = Δ_{A} = Â u.s.w.

2. Wir interessieren uns in diesem Abschnitt nur für Algebren A, die von einem Element T ∈ A erzeugt werden, d.h., die Polynome p(T) liegen dicht in A. Nach Satz E.3.2 gibt es in diesem Fall eine eineindeutige Entsprechung zwischen Σ_{A} und σ_{A}(T) ⊂ ℂ. Da dies auch einen Homöomorphismus zwischen σ_{A}(T) und dem Gelfandraum Σ_{A} ergibt, benötigen wir die Gelfand-Topologie vorläufig nicht.

E.3.2 Satz (Charaktere und Spektrum) Es sei A eine unitale Banachalgebra, die von einem Element T ∈ A erzeugt wird, d.h. A = BAlg(T, 1l_{A}).

(i) Zu λ ∈ σ_{A}(T) gibt es genau einen Charakter χ_{λ} ∈ Σ_{A} mit χ_{λ}(T) = λ.

(ii) Für S ∈ A sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) μ ∈ σ_{A}(S).

(b) Es gibt ein χ ∈ Σ_{A} mit μ = χ(S).

(iii) Insbesondere ist die Abbildung

Σ_{A} ∋ χ ↦ χ(T) ∈ σ_{A}(T)

bijektiv.

Beweis. (i) Es sei λ ∈ σ_{A}.

1. Wir konstruieren zunächst einen Algebrenhomomorphismus χ_{λ} : Alg(T, id_{E}) → ℂ durch die Vorschrift:

χ_{λ} : p(T) ↦ p(λ) für p ∈ ℂ[ζ]

und zeigen, daß χ_{λ} wohldefiniert und kontrahierend ist.

Wenn für zwei Polynome p, q ∈ ℂ[ζ] die Operatoren p(T) und q(T) übereinstimmen, so folgt aus dem spektralen Abbildungssatz E.1.2

(p(λ) − q(λ) = (p − q)(λ) ∈ σ((p − q)(T)) = {0}.

Die Linearform χ_{λ} : Alg(T, id_{E}) → ℂ ist also wohldefiniert und multiplikativ:

χ_{λ}(p(T)q(T)) = χ_{λ}((p · q)(T)) = (p · q)(λ)
= p(λ)q(λ) = χ_{λ}(p(T))χ_{λ}(q(T))

für p, q ∈ ℂ[ζ].

Für ein Polynom p ∈ ℂ[ζ] gilt der spektrale Abbildungssatz p(σ(T)) = σ(p(T)) (siehe Satz E.1.2) und somit ist

|χ_{λ}p(T)| = |p(λ)| ≤ r(p(T) ≤ ∥p(T)∥.

Da χ_{λ}(id_{E}) = 1 ist, ist ∥χ_{λ}∥ = 1.

2. Stetige Fortsetzung von χ_{λ}: Da nach Vorausetzung Alg(T, 1l_{A}) dicht in A ist, hat χ_{λ} genau eine stetige Fortsetzung auf A, die wir wieder mit χ_{λ} bezeichnen. Diese stetige Fortsetzung ist linear und multiplikativ.

3. Eindeutigkeit von χ_{λ}: Da alle Charaktere stetig sind (siehe Bem. B.4.9) folgt aus der Konstruktion, daß es genau einen unitalen Algebrenhomomorphismus χ : A → ℂ mit χ(T) = λ gibt.

(ii) Es seien S ∈ A.

(a) ⇒ (b): Es sei μ ∈ σ_{A}(S). Da S_{μ} := μ1l − S ∉ G(A) liegt, ist

S_{μ}A := {S_{μ}A | A ∈ A}

ein echtes Ideal von A. Nach Satz B.4.10 ist der Abschluß J := (RA)^{−} auch ein echtes Ideal von A.

Die Quotientenalgebra A/J ist eine unitale Banachalgebra, die von der Nebenklasse T + J erzeugt wird (siehe Satz B.4.11). Nach Bemerkung E.2.3 gibt es ein λ im Spektrum von T + J und nach Teil (i) hierzu einen Charakter χ̃ : A/J → ℂ mit χ̃(T + J) = λ.

Für den Charakter χ : A → ℂ mit

χ(U) := χ̃(U + J) für U ∈ A,

gilt dann μ − χ(S) = χ(μ1l − S) = χ(R) = 0.

(b) ⇒ (a): Wenn μ ∈ ρ_{A}(S) ist, so existiert die Inverse R_{μ} := (μ1l_{A} −S)^{−1} ∈ A. Für jeden Charakter χ ∈ Σ_{A} gilt

χ(μ1l_{A} − S)χ(R_{μ}) = χ(1l_{A}) = 1

und somit μ − χ(S) = χ(μ1l_{A} − S) ≠ 0. D.h.

{χ(S) | χ ∈ Σ_{A}} ⊂ σ_{A}(S).

(iii) folgt aus (i) und (ii).

E.3.3 Festst. (Spektraltranformation in C(σ(T))) Es seien E ein komplexer Banachraum, T ∈ ℒ(E) und BAlg(T, id_{E}) die von T erzeugte abgeschlossen unitale Unteralgebra von ℒ(E).

E.3 Charaktere und Spektrum E7

(i) Es gibt genau einen Algebrenhomomorphismus Ψ : BAlg(T, id_{E}) → C(σ(T), ℂ) mit

Ψ : id_{E} ↦ 1l_{σ(T)} und Ψ : T ↦ ζ,

wobei ζ : σ(T) → ℂ die identische Funktion ist.

Ψ ist kontrahierend: ∥Ψ∥ = 1.

(ii) Es gilt

∥Ŝ∥_{max} = r(S) für S ∈ BAlg(T, id_{E}).

(iii) Zur Abkürzung bezeichne Ŝ := Ψ(S). Für S ∈ BAlg(T, id_{E}) gilt Ŝ(λ) = χ_{λ}(S) und

{Ŝ(λ) | λ ∈ σ(T)} ⊂ σ(S).

Die Funktionswerte von Ŝ liegen im Spektrum von S.

Anmerkung. Man beachte, die Aussage iii von Feststellung E.3.3 besagt, daß die Funktionswerte von Ŝ in dem Spektrum σ_{ℒ (E)}(S) liegen.

Aus Satz E.3.2 (ii) folgt leicht, daß Funktionswerte von Ŝ in der größeren Menge σ_{BAlg(T,id_{E})} liegen. (siehe Bez. E.2.1):

Beweis. (i) 1. Wir konstruieren zunächst einen Algebrenhomomorphismus Ψ : Alg(T, id_{E}) → C(σ(T), ℂ):

Für ein Polynom p ∈ ℂ[ζ] gilt der spektrale Abbildungssatz p(σ(T)) = σ(p(T)) (siehe Satz E.1.2) und somit ist

∥p∥_{sup} := max_{λ∈σ(T)} |p(λ)| = r(p(T)) ≤ ∥p(T)∥. (∗)

Wenn für zwei Polynome p, q ∈ ℂ[ζ] p(T) = q(T) ist, so folgt für die Einschränkungen p| σ(T) = q| σ(T).

Die Abbildung Ψ mit

Alg(T, id_{E}) ∋ p(T) ↦ p| σ(T) ∈ C(σ(T), ℂ)

ist also wohldefiniert. Ψ ist offensichtlich linear und multiplikativ:

p(T) + q(T) = (p + q)(T) ↦ (p + q)| σ(T)

= p| σ(T) + q| σ(T),

p(T) · q(T) = (p · q)(T) ↦ (p · q)| σ(T)

= p| σ(T) · q| σ(T)

Es ist Ψ(id_{E}) = 1l_{σ(T)} und Ψ(T) = ζ.

Aus (∗) und Ψ(id_{E}) = 1l_{σ(T} folgt ∥Ψ∥ = 1.

2. Da C(σ(T), ℂ) mit der Norm ∥·∥_{sup} vollständig ist, hat Ψ genau eine stetige Fortsetzung auf BAlg(T, id_{E}), die wir wieder mit Ψ bezeichnen.

Diese Forsetzung Ψ : BAlg(T, id_{E}) → C(σ(T), ℂ) ist ein Algebrenhomomorphismus mit ∥Ψ∥ = 1.

3. Wir zeigen die Eindeutigkeit von Ψ. Für λ ∈ σ(T) ist die Punktauswertung

δ_{λ} : C(σ(T), ℂ) → ℂ,
δ_{λ} : f ↦ f(λ) für f ∈ C(σ(T), ℂ)

ein unitaler Algebrenhomorphismus.

Ist Ψ̃ : BAlg(T, id_{E}) → C(σ(T), ℂ) ein unitaler Algebrenhomorphismus mit Ψ̃(T) = ζ, so ist die Komposition χ := δ_{λ} ∘ Ψ̃ ein Charakter mit χ(T) = ζ(λ) = λ. Aus Satz E.3.2 (i) folgt χ = χ_{λ}. Somit gilt

Ψ̃(S)(λ) = χ_{λ}(S) = Ψ(S)(λ) für λ ∈ σ(T).

Da dies für alle S ∈ BAlg(T, id_{E}) gilt, ist Ψ̃ = Ψ.

(ii) Zu S ∈ BAlg(T, id_{E}) gibt es eine Folge (p_{n})_{n} von Polynomen mit

lim_{n→∞} ∥p_{n}(T) − S∥ = 0.

Nach Konstruktion von Ψ ist Ψ(p_{n}(T)) = p_{n}| σ(T). Aus dem spektralen Abbildungssatz E.1.2 folgt:

r(p_{n}(T)) = max |σ(p_{n}(T))| = max |p_{n}(σ(T))|
= ∥Ψ(p_{n}(T))∥_{sup}.

Da der Spektralradius subadditiv und kleiner als die Norm ist, gilt

r(p_{n}(T)) − r(S) ≤ r(p_{n}(T) − S)

≤ ∥p_{n}(T) − S∥ ⟶_{n→∞} 0.

(siehe Festst. E.1.7(ii) und Satz E.1.5 (i)). Da Ψ kontrahierend ist, gilt

∥Ψ(p_{n}(T)∥_{sup} − ∥Ŝ∥_{sup} ≤ ∥Ψ(p_{n}(T) − S)∥

≤ ∥p_{n}(T) − S∥ ⟶_{n→∞} 0.

Insgesamt folgt also

r(S) = lim_{n→∞} r(p_{n}(T)) = lim_{n→∞} ∥Ψ(p_{n}(T)∥_{sup} = ∥Ŝ∥_{sup}.

(iii) Wir zeigen zuerst Ŝ(σ(T)) ⊂ σ(S):

Es seien λ ∈ σ(T), S ∈ BAlg(T, id_{E}) und μ = Ŝ(λ). Nach Definition von BAlg(T, id_{E}) gibt es eine Folge

(p_{n})_{n} von Polynomen mit

lim_{n→∞} ∥p_{n}(T) − S∥ = 0.

Nach dem spektralen Abbildungssatz E.1.2 ist μ_{n} := Ψ(p_{n}(T))(λ) = p_{n}(λ) ∈ σ(p_{n}(T). Da Ψ kontrahierend ist, folgt

|μ_{n} − μ| ≤ ∥Ψ(p_{n}(T) − Ψ(S)∥ ≤ ∥p_{n}(T) − S∥

und somit lim_{n→∞} μ_{n} = μ. Also ist

χ_{λ}(S) = lim_{n→∞} p_{n}(T) = lim_{n→∞} μ_{n} = Ŝ(λ),

lim_{n→∞} ∥(μ_{n} id_{E} −p_{n}(T)) − (μ id_{E} −S)∥ = 0.

Annahme: μ ∈ ρ(S). Da die Gruppe GL(E) der invertierbaren Operatoren offen in ℒ(E) ist (siehe Satz B.2.7(iv)), gibt es ein n_{0} ∈ ℕ, so daß μ_{n} id_{E} −p_{n}(T) ∈ GL(E) für n ≥ n_{0} ist. Dies ist ein Widerspruch zu μ_{n} ∈ σ(p_{n}(T)).

Also ist μ ∈ σ(S).

Anmerkung. In Feststellung E.3.3 (ii) gilt sogar das Gleicheitszeichen

Ŝ(σ(T) = σ(S) für S ∈ BAlg(T).  (∗∗)

Dazu beweise man den Spektralabbildungssatz für rationale Funktionen

\frac{p}{q} mit p, q ∈ ℂ[ζ] und q(λ ≠ 0 für λ ∈ σ(T).

Die rationalen Funktionen p(T)q(T)^{−1} erzeugen die unitale Banachalgebra BRat(T). Es ist BAlg(T, id_{E}) ⊂ BRat(T) und BRat(T) ist eine volle Unteralgebra von ℒ (E).

Da Satz E.3.2 sinngemäß auch für BRat(T) gilt, kann man Feststellung E.3.3 BRat(T) zeigen. Mit Satz E.3.2 (ii) (für die Algebra BRat(T)) folgt nun die Gleichung (∗∗) für S ∈ BRat(T).

E.3.4 Folg. (Spektralhomomoph. isometrisch) Es seien E ein komplexer Banachraum, T ∈ ℒ(E) und Ψ : BAlg(T, id_{E}) → C(σ(T), ℂ) der spektralhomomorphismus. Dann sind äquivalent:

(a) Ψ ist isometrisch.

(b) r(S) = ∥S∥ für S ∈ BAlg(T, id_{E}).

(c) ∥S^{2}∥ = ∥S∥^{2} für S ∈ BAlg(T, id_{E}).

E.3.5 Bsp. (Spektrum des zweiseitigen Shiftop.) Auf dem komplexen ℓ_{2}(ℤ) erklärt man den zweiseitigen Vorwärtsshiftoperator U durch

U : ∑_{n=−∞}^{∞} ξ_{n}e_{n} ↦ ∑_{n=−∞}^{∞} ξ_{n−1}e_{n}

oder kurz

U : (ξ_{n})_{(n∈ℤ)} ↦ (ξ_{n−1})_{(n∈ℤ)}.

Es gilt

(i) U ist ein unitärer Operator. Der adjungierte Operator U^{∗} = U^{−1} ist der zweitige Rückwärtsshift

U : (ξ_{n})_{(n∈ℤ)} ↦ (ξ_{n+1})_{(n∈ℤ)}.

(ii) Das Spektrum von U ist der volle Einheitskreis

σ(U) = {λ | |λ| = 1}.

(iii) U hat keine Eigenwerte.

(iv) Die Inverse U^{−1} liegt nicht in der von U erzeugten unitalen abgeschlossenen Unteralgebra BAlg(U, id_{ℓ_{2}(ℤ)})

Das Spektrum U bezüglich der Unteralgebra BAlg(U, id_{ℓ_{2}(ℤ)}) ist die abgeschlossene Einheitskreisscheibe (siehe Bez. E.2.1):

σ_{BAlg(U,id_{ℓ_{2}(ℤ)})} = {λ | |λ| ≤ 1}.

Beachte : Für |λ| < 1 ist ∑_{n=−∞}^{0} λ^{−n}e_{n} ∈ ℓ_{2}(ℤ) und

(λ id_{ℓ_{2}(ℤ)} −U) ∑_{n=−∞}^{0} λ^{−n}e_{n} = e_{1},

Beweis. Wir setzen zur Abkürzung A := BAlg(U, id_{ℓ_{2}(ℤ)})

(i)

(ii) Da U normal ist, ist r(U) = ∥U∥ = 1.

(iii)

(iv) Für |λ| < 1 ist

(λ id_{ℓ_{2}(ℤ)} −U) ∑_{n=−∞}^{0} λ^{−n}e_{n} = e_{1},

oder anschaulich:

(…, λ^{2}, λ^{1}, 1, 0, 0, …)

↦ (…, λ^{3}, λ^{2}, λ, 0, 0, …) − (…, λ^{3}, λ^{2}, λ, 1, 0, …) = (…, 0, 0, 0, 1, 0, …).

Für die Operatoren S ∈ BAlg(U, id_{ℓ_{2}(ℤ)}) ist Se_{1} ∈ lin{e_{1}, e_{2}, … }. Folglich ist (λ id_{ℓ_{2}(ℤ)} −U)^{−1} ∉ BAlg(U, id_{ℓ_{2}(ℤ)}) und somit λ ∈ σ_{A}.

Die offene Einheitkreisscheibe liegt in σ_{A}. Da das Spektrum abgeschlossen ist, liegt die abgeschlossene Einheitkreisscheibe im Spektrum.

Da andererseits r_{A}(U) = r(U) = 1 ist, ist σ_{A} die Einheitkreisscheibe im Spektrum.

(v)

E.3.6 Bsp. (zweiseitiger Shift auf L^{2}([01])) Man kann den zweiseitigen Shiftoperator auch auf dem L^{2}[0, 1] untersuchen:

Die Funktionen e_{n} : t ↦ e^{2πint} bilden eine Orthonormalbasis des L^{2}[0, 1] (siehe Abschn. 1.5.1) und so sind L^{2}[0, 1] ≅ ℓ_{2}(ℤ) isometrisch isomorph. (siehe Satz 1.5.12). Der entsprechende Shiftoperator auf dem L^{2}[0, 1] verschiebt die Fourierkoeffizienten. Dies tut auch der Multiplikationsoperator M_{e_{1}}:

(M_{e_{1}}f)(t) = e^{2πit}f(t) für f ∈ C([0, 1], ℂ) und t ∈ [0, 1].

Es ist M_{e_{1}}e_{n} = e_{n+1} und somit

M_{e_{1}} ∑_{n=−∞}^{∞} ξ_{n}e_{n} = ∑_{n=−∞}^{∞} ξ_{n−1}e_{n}.

Für |λ| ≠ 1 ist

r_{λ} := \frac{1}{λ − e_{1}} ∈ C([0, 1], ℂ)

und folglich ist R(λ, M_{e_{1}}) = M_{r_{λ}}. Das Spektrum des Multiplikationsoperators M_{e_{1}} besteht aus allen Funktionswerten:

σ(M_{e_{1}}) = {e^{2πit} | t ∈ [0, 1]}

F.2 Mächtigkeit von Mengen F1

F Mengenlehre

F.1 Zornsches Lemma

F.1.1 Def. (Präordnung, Ordnung) 1. Ein binäre Relation ≤ auf einer Menge X heißt eine Präordnung, wenn sie reflexiv und transitiv ist:

(i) x ≤ x

(ii) x ≤ y und y ≤ z ⇒ x ≤ z.

Die Relation ≤ heißt eine Ordnung, wenn sie zusätzlich antisymetrisch ist:

(iii) x ≤ y und y ≤ x ⇒ x = y

Wir nennen dann X kurz eine prägeordnete Menge bzw. eine geordnete Menge.

In den Lehrbüchern ist die Terminologie ist hier nicht einheitlich: Man findet für eine Relation mit den Eigenschaften I-III auch die Bezeichnung teilweise Ordnung

2. Eine (prä)geordnete Menge X heißt linear geordnet oder total georndet, wenn für je zwei Elemente x, y ∈ X eine der Relationen x ≤ y oder y ≤ x gilt.

3. Ein Element s ∈ X heißt eine obere Schranke einer Teilmenge M ⊂ X, wenn x ≤ s für alle x ∈ M gilt.

M heißt nach oben beschränkt, wenn M eine obere Schranke s ∈ X hat.

4. Eine (prä)geordnete MengeX heißt induktiv geordnet, genauer nach oben induktiv geordnet, wenn jede total geordnete Teilmenge M ⊂ X eine obere Schranke hat.

5. Ein Element m einer (prä)geordneten Menge heißt maximal, wenn aus m ≤ x stets x ≤ m folgt.

Anmerkung. 1. Ein geordnete Menge kann mehrere verschieden maximale Elemente haben. Man unterscheide die Begriffe maximales Element und gröstes Element:

Ein Element m einer geordneten Menge heißt größtes Element oder Maximum, wenn x ≤ m für alle x ∈ X gilt.

2. Ebenso definiert man untere Schranken, nach unten induktiv geordnet Mengen und minimale Elemente. Mit diesen Begriffen gilt das Zornsche Lemma analog für nach unten induktiv geordnete Mengen. Formal erhält man dies, wenn man die Relation ≤ durch die Relation ≥ ersetzt, die ebenfalls eine (Prä)ordnung ist.

Beispiel: Die natürlichen Zahlen ℕ sind nach unten induktiv geordnet. ℕ verfügt mit dem Prinzip der vollständigen Induktion über eine viel stärkere Eigenschaft.

3. Einen Ersatz für das Prinzip der vollständigen Induktion bietet das Zornsche Lemma. Man formuliert dies üblicherweise für nach oben induktiv (prä)geordnete Mengen.

F.1.2 Satz (Zornsches Lemma) Jede induktiv (prä)geordnete Menge hat mindestens ein maximales Element.

Anmerkung. (zum Beweis des Zornschen Lemmas) Das Zornsche Lemma ist äquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre.

Anmerkung. Häufig wird das Zornsche Lemma nur für geordnete Mengen formuliert. Hieraus folgt sofort die Aussage für prägeordnete Mengen. Dazu betrachte man auf einer prägeordneten Menge X die Äquivalenzrelation

x ∼ y ⇔ x ≤ y und y ≤ x.

Die Menge X/∼ der Äquivalenzklassen ist dann geordnet. Ist X induktiv geordnet, so ist auch X/∼ induktiv geordnet. Aus dem Zornschen Lemma für X/∼ folgt nun, daß X ein maximales Element hat.

F.1.3 Bsp. (Basis eines Vektorraumes) Mit Hilfe des Zornschen Lemmas beweist man, daß jeder Vektorraum V ≠ {0} eine Basis hat.

Dazu betrachte man die Menge X aller nichtleeren, linear unabhängigen Teilmengen L von V. Man ordne X durch die Inklusion.

K ≤ L : ⇔ K ⊂ L.

Behauptung: X ist induktiv geordnet:

Wenn M ⊂ X linear geordnet ist, so bilde man

S := ⋃_{L∈M} L ∈ X .

Wir zeigen, daß S ist eine linear unabhängige Teilmenge von V ist.

Zu endlich vielen x_{1}, …, x_{n} ∈ S gibt es Elemente L_{1}, …, L_{n} ∈ M mit x_{ν} ∈ L_{ν}. Da M linear geordnet ist, ist eines der Elemente L_{1}, …, L_{n} das größte, dies sei L_{n_{0}}. Also liegen x_{1}, …, x_{n} ∈ L_{n_{0}} und sind folglich linear unabhängig.

Also ist S eine obere Schranke von M.

Nach dem Zornschen Lemma gibt es ein maximales Element B ∈ X. Da B eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V ist, ist B eine Basis von V.

F.2 Mächtigkeit von Mengen

F2 F MENGENLEHRE SYMBOLVERZEICHNIS S1

S Symbolverzeichnis

Allgemeine Bezeichnungen ℂ Körper der komplexen Zahlen 𝕂 wahlweise ℝ oder ℂ, Abschn. 1.1 ℝ Körper der reellen Zahlen

Variable, Räume, Abbildungen … ⟨x, y⟩ Inneres Produkt, Def. 1.1.7 A Algebra, Banachalgebra A, Def. B.4.2 \overline{φ} konjugierte eines linearen Funktionals b Sesquilinearform, Bilinearform

Funktorielle Bezeichnungen χ : A → ℂ Charakter der AlgebraA, Bez. B.4.8 γ(T) Minimalmodul des Operators T, Def. 2.3.10 ρ(T) Resolventenmenge von T ∈ ℒ(E), Def. E.1.1 ρ_{A}(a) Resolventenmenge von a ∈ A, Bez. E.2.2 ρ_{A}(T) Resolventenmenge von T ∈ A, Bez. E.2.1 σ(T) Spektrum von T ∈ ℒ(E), Def. E.1.1 Σ_{A} Spektrum der unitalenB- Algebra A, Bez. E.3.1 σ_{A}(a) Spektrum von a ∈ A, Bez. E.2.2 σ_{A}(T) Spektrum von T ∈ A, Bez. E.2.1 C^{∗}{T } von T erzeugte C^{∗}-Algebra, Abschn. 2 G(A) Einheitengruppe der Algebra A, Satz B.4.7 L_{A} links-regulare Darstellung der Algebra A, Bem.

B.4.5 L_{a} Linksmultiplikation mit a ∈ A, Bem. B.4.5 P_{+} Träger P_{T_{+}} des positiven Anteils, Satz 2.5.15 P_{−} Träger P_{T_{−}} des negativen Anteil, Satz 2.5.15 r(T) Spektralradius von T ∈ ℒ(E), Satz E.1.5 r_{A}(T) Spektralradius von T ∈ A, Bem. E.2.3 R(·, T) Resolvente von T ∈ ℒ(E), Def. E.1.1 R_{A} rechts-regulare Darstellung der Algebra A, Bem.

B.4.5 R_{a} Rechtssmultiplikation mit a ∈ A, Bem. B.4.5 P_{(Kern T)^{⊥}} Rechtsträger von T, Bez. 2.2.15 P_{\overline{Bild} T} Linksträger von T, Bildprojektion, Bez. 2.2.15 P_{T^{∗}} Rechtsträger von T, Bez. 2.2.15 P_{T} Linksträger von T, Bildprojektion, Bez. 2.2.15 |T | Betrag von T, Satz 2.5.13 Alg(id_{E}, T) von T erzeugte unitale Algebra, Bez. B.2.5 Alg(T) von T erzeugte Algebra, Bez. B.2.5 BAlg_{𝕂}(id_{E}, T) von T in ℒ(E) erzeugte unitale Banach-

algebra, Bez. B.2.5 BAlg_{𝕂}(T) von T in ℒ(E) erzeugte Banachalgebra, Bez.

B.2.5 Im T Imaginärteil von T, Im T = −i/2(T − T^{∗}), Def.

2.1.4 Re T Realteil von T, Re T = 1/2(T + T^{∗}), Def. 2.1.4 b_{T} Sesquilinearform ⟨x, T y⟩ zum Operator T, Satz

2.1.1 T^{∗} adjungierter Operator zu T, Festst. 2.1.2 T^{(−)} Linksinverse von T, Festst. 2.3.7 T^{∗∗} biadjungierter Operator zu T, Satz 2.1.3 T_{+} positiver Anteil eines selbstadj. Op, Satz 2.5.15 T_{−} negativer Anteil eines selbstadj. Op, Satz 2.5.15 Spezielle Räume C([a, b], 𝕂) Banachraum der stetigen 𝕂-wertigen Funk-

tionen auf dem Intervall [a, b]