UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Gerd Wittstock Dipl.-Math. Michael Didas �

Übungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

(Wintersemester 2002/2003)

Blatt 1 Abgabetermin: Montag, 4.11.2002, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (Orthogonalität, Orthonormalbasen im Endlichdimensionalen)

Sei X = {x_{1}, ⋯, x_{n}} eine endliche orthonormale Teilmenge des Skalarproduktraumes (V, ⟨·, ·⟩). Für x ∈ V setze man ∥x∥ = \sqrt{⟨x, x⟩}.

(a) Sei x ∈ V beliebig. Zeigen Sie: Der Vektor x′ = x − ∑_{i=1}^{n}⟨x, x_{i}⟩x_{i} ist orthogonal zu jedem x_{j} (j = 1, ⋯, n). Folgern Sie: Für x ∈ V gilt

∑_{i=1}^{n} |⟨x, x_{i}⟩|^{2} ≤ ∥x∥^{2} (Besselsche Ungleichung).

(b) Beweisen Sie unter Verwendung von Teil (a): Für x, y ∈ V gilt die Ungleichung

|⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥ (Schwarzsche Ungleichung).

Rechnen Sie nach, dass durch ∥ · ∥ tatsächlich eine Norm auf V erklärt wird.

(c) Zeigen Sie \underline{unter der Einschränkung dim V < ∞} die Äquivalenz folgender Aussagen:

(i) Es gibt keine Orthonormale Menge S ⊂ V mit X ⊊ S. (ii) Ist ⟨x, x_{i}⟩ = 0 für alle i = 1, ⋯, n, so folgt x = 0. (iii) span X = V (iv) Für jedes x ∈ V ist x = ∑_{i=1}^{n}⟨x, x_{i}⟩x_{i}.

(v) Für alle x, y ∈ V gilt ⟨x, y⟩ = ∑_{i=1}^{n}⟨x, x_{i}⟩⟨x_{i}, y⟩ (Parsevalsche Identität). (vi) Für jedes x ∈ V ist ∥x∥^{2} = ∑_{i=1}^{n} |⟨x, x_{i}⟩|^{2}.

(d) Zeigen Sie, dass jeder endlich-dimensionale Skalarproduktraum V eine Vektorraumbasis aus paarweise orthogonalen Vektoren der Norm 1 (Orthonormalbasis) besitzt.

Aufgabe 2 (Operatoren auf endlichdimensionalen Hilberträumen)

Sei V ein komplexer Skalarproduktraum mit dim V < ∞ und L(V) = {A : V → V, A ist linear} die Menge aller linearen Operatoren auf V. Beweisen Sie folgende Aussagen:

(a) Zu jedem linearen Funktional y′ : V → ℂ existiert ein Vektor y ∈ V mit der Eigenschaft

y′(x) = ⟨x, y⟩ (x ∈ V).

(b) Sei A ∈ L(V). Dann gibt es genau einen Operator A^{∗} ∈ L(V) mit ⟨Ax, y⟩ = ⟨x, A^{∗}y⟩. Man nennt A^{∗} den adjungierte Operator von A. Im Falle A = A^{∗} heißt A selbstadjungiert.

(c) Leiten Sie einige Rechenregeln für die Abbildung ∗ : L(V) → L(V), A ↦ A^{∗}, her.

(d) Sei X = (x_{1}, ⋯, x_{n}) eine Orthonormalbasis von V. Ist (a_{ij}) die darstellende Matrix von A bzgl. X, so ist (ā_{ij})^{t} die darstellende Matrix von A^{∗} bzgl. X. Es gilt det A^{∗} = \overline{det A}.

(e) Ein Operator A ∈ L(V) ist genau dann selbstadjungiert (vgl. (b)), wenn für die darstellende Matrix (a_{ij}) bzgl. einer Orthonormalbasis X von V gilt: a_{ij} = ā_{ji} (i, j = 1, ⋯, n).

(f) Man hat die Zerlegung L(V) = L(V)_{sa} ⊕ iL(V)_{sa}, wobei L(V)_{sa} den ℝ-Vektorraum der selbstadjungierten Operatoren auf V bezeichnet.

(g) Für A ∈ L(V) gilt: A = 0 ⇔ ⟨Ax, x⟩ = 0 für alle x ∈ V und A = A^{∗} ⇔ ⟨Ax, x⟩ ∈ ℝ für alle x ∈ V. (Hinweis: Berechnen Sie ⟨A(x + λy), (x + λy)⟩ für x, y ∈ H und λ ∈ {1, −1, i, −i}; diese Technik nennt man Polarisieren.)

Aufgabe 3 (Isometrien im Endlichdimensionalen)

Über einem endlich-dimensionalen Skalarproduktraum V beweise man folgende Aussagen:

(a) Für T ∈ L(V) sind äquivalent:

(i) T^{∗}T = id_{V}

(ii) Für alle x, y ∈ V gilt: ⟨T x, T y⟩ = ⟨x, y⟩.

(iii) Für alle x ∈ V ist ∥T x∥ = ∥x∥.

(Hinweis: Für (iii) ⇒ (i) verwende man Aufgabe 2 (g).)

In diesem Fall nennt man T isometrisch bzw. eine Isometrie.

(Bemerkung: Im endlich-dimensionalen Fall ist jede Isometrie automatisch ein isometrischer Isomorphismus. In Skalarprodukträumen beliebiger Dimension ist diese Aussage jedoch falsch. Was kann ”schiefgehen“?)

(b) Sei X = (x_{1}, ⋯, x_{n}) eine Orthonormalbasis von V und U : V → V ein isometrischer Isomorphismus. Dann ist auch (Ux_{1}, ⋯, Ux_{n}) eine Orthonormalbasis von V.

(c) Ein Operator U ∈ L(V), der eine Orthonormalbasis X von V in eine Orthonormalbasis U(X) von V überführt, ist ein isometrischer Isomorphismus.

Aufgabe 4 (Modellsatz für endlichdimensionale Hilberträume)

Seien (V, ⟨·, ·⟩_{V}) und (W, ⟨·, ·⟩_{W}) zwei Skalarprodukträume und L(V, W) = {A : V → W, A linear}. Ein Operator T ∈ L(V, W) heißt isometrisch, falls für alle x, y ∈ V gilt: ⟨T x, T y⟩_{W} = ⟨x, y⟩_{V}.

Zeigen Sie: Jeder n-dimensionale Skalarproduktraum V ist isometrisch isomorph zu ℓ^{2}(n). Hierbei steht ℓ^{2}(n) für den ℂ^{n} – versehen mit dem Standard-Skalarprodukt: ⟨x, y⟩ = ∑_{i=1}^{n} x_{i}ȳ_{i} (x, y ∈ ℂ^{n}).

Konstruieren Sie einen isometrischen Isomorphismus U : V → ℓ^{2}(n) unter Zuhilfenahme von Teil (d) der Aufgabe 1. Ein Blick auf Aufgabe 3 (b) hilft ebenfalls weiter.