UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Gerd Wittstock Dipl.-Math. Michael Didas �

Übungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

(Wintersemester 2002/2003)

Blatt 10 Abgabetermin: Montag, 20.01.2003, vor der Vorlesung

Es bezeichne H stets einen komplexen Hilbertraum.

Aufgabe 37 (invariante und reduzierende Teilräume)

Seien T ∈ B(H), M ⊂ H ein abgeschlossener Teilraum von H und P = P_{M} ∈ B(H) die Orthogonalprojektion auf M. Bzgl. der orthogonalen Zerlegung H = M ⊕ M^{⊥} kann T als Operatormatrix

T = ( \begin{matrix}T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{matrix} )

mit stetigen linearen Operatoren T_{11} : M → M, T_{12} : M^{⊥} → M, T_{21} : M → M^{⊥}, T_{22} : M^{⊥} → M^{⊥} geschrieben werden (vgl. Aufgabe 29 (a)).

(a) Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) T M ⊂ M (d.h. M ist invariant unter T)

(ii) P T P = T P (iii) T_{21} = 0

(b) Zeigen Sie die Äquivalenz nachstehender Aussagen:

(i) T M ⊂ M und T M^{⊥} ⊂ M^{⊥} (d.h. M ist reduzierend für T)

(ii) P T = T P (iii) T_{12} = T_{21} = 0 (d.h. T = T_{11} ⊕ T_{22} ∈ B(M ⊕ M^{⊥})) (iv) M ist invariant unter T und T^{∗}

(c) Beweisen Sie: Ist M reduzierend für T, so ist (T |M)^{∗} = T^{∗}|M. Einschränkungen normaler (unitärer) Operatoren auf reduzierende Teilräume bleiben normal (unitär). Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass die Einschränkung eines unitären Operators auf einen invarianten Teilraum hingegen nicht einmal normal sein muss.

Aufgabe 38 (diagonalisierbare Operatoren)

Ein Operator T ∈ B(H) heißt diagonalisierbar, falls eine Familie (P_{j})_{j∈J} paarweise orthogonaler Projektoren mit H = ⨁_{j∈J} P_{j}H und eine Familie (α_{j})_{j∈J} paarweise verschiedener komplexer Zahlen mit sup_{j∈J} |α_{j}| < ∞ existieren, so dass für alle j ∈ J und alle x ∈ P_{j}H gilt: T x = α_{j}x. Zeigen Sie, dass für einen diagonalisierbaren Operator T ∈ B(H) folgendes gilt:

(a) Für jedes x ∈ H ist die Reihe ∑_{j∈J} α_{j}P_{j}x summierbar zur Summe T x = ∑_{j∈J} α_{j}P_{j}x.

(b) T ist normal und ∥T ∥ = sup_{j∈J} |α_{j}|.

(c) Für S ∈ B(H) sind äquivalent: ST = T S ⇔ P_{j}H reduziert S (für jedes j ∈ J)

(d) Unter welchen Bedingungen an die Folge (α_{j})_{j∈J} ist T selbstadjungiert (positiv)?

(e) Für positives T ist mit T auch T^{1/2} diagonalisierbar. (Geben Sie die Reihendarstellung (gem. Teil (a)) von T^{1/2} explizit an.)

(f) Mit T ist auch |T | diagonalisierbar. (Wie sieht die Reihendarstellung von |T | aus?)

(g) Bestimmen Sie den Kern von T.

Aufgabe 39 (Spektren)

(a) Gegeben sei eine Folge (α_{n})_{n≥0} ∈ ℓ^{∞}(ℕ_{0}). Die Operatoren S, D ∈ B(ℓ^{2}(ℕ_{0})) seien wie folgt definiert:

S(x_{0}, x_{1}, x_{2}, ⋯) = (0, x_{0}, x_{1}, x_{2}, ⋯) und D(x_{0}, x_{1}, x_{2}, ⋯) = (α_{0}x_{0}, α_{1}x_{1}, α_{2}x_{2}, ⋯).

Zeigen Sie: Der Operator S hat keine Eigenwerte, die Menge der Eigenwerte von S^{∗} hingegen ist 𝔻 = {z ∈ ℂ : |z| < 1}. Bestimmen Sie die Spektren der Operatoren S und D.

(b) Beweisen Sie: Der zweiseitige Shift

U : ℓ^{2}(ℤ) → ℓ^{2}(ℤ), (x_{n})_{n∈ℤ} ↦ (x_{n−1})_{n∈ℤ}

ist ein unitärer Operator ohne Eigenwerte.

Aufgabe 40 (approximative Eigenwerte)

(a) Zeigen Sie: Ist (A_{n})_{n≥1} eine Folge invertierbarer Operatoren in B(H), die in der Operatornorm gegen einen nicht invertierbaren Operator A ∈ B(H) konvergiert, so ist die Folge der Normen (∥A_{n}^{−1}∥)_{n≥1} unbeschränkt. (Hinweis: Für invertierbare Operatoren S, T ∈ B(H) gilt T^{−1} − S^{−1} = S^{−1}(S − T)T^{−1}.)

(b) Folgern Sie aus Teil (a): Ist T ∈ B(H) ein stetiger Operator und λ ∈ ∂σ(T) ein Randpunkt des Spektrums, so existiert eine Folge (x_{n})_{n≥1} von Vektoren in H mit

∥x_{n}∥ = 1 (n ≥ 1) und (T − λ)x_{n} ⟶^{n→∞} 0.

Eine solche Zahl λ nennt man einen approximativen Eigenwert von T.

Aufgabe 41^{∗} (abgeschlossene Teilräume mit nicht abgeschlossener Summe)

In jedem Hilbertraum H mit dim H = ∞ existieren

(a) abgeschlossene Teilräume X, Z ⊂ H, so dass X + Z nicht abgeschlossen ist;

(b) abgeschlossene Teilräume W, Z ⊂ H, so dass P_{W} Z nicht abgeschlossen ist, wobei P_{W} ∈ B(H) die Orthoprojektion auf W bezeichnet.

Zum Beweis wähle man Orthonormalfolgen (x_{n})_{n≥1} und (y_{n})_{n≥1} in H mit x_{n}⊥y_{m} für alle n, m ∈ ℕ (Warum geht das?) und setze α_{n} = cos(1/n), β_{n} = sin(1/n) sowie z_{n} = α_{n}x_{n} + β_{n}y_{n} (n ≥ 1). Die Räume

X = \overline{lin}\{x_{n} : n ≥ 1\} und Z = \overline{lin}\{z_{n} : n ≥ 1\}

haben dann die in (a) geforderten Eigenschaften. Führen Sie die Beweise der folgenden Behauptungen im Detail aus:

(i) Die Reihe ∑_{n≥1} β_{n}y_{n} konvergiert. Ihr Grenzwert y liegt in \overline{X + Z}.

(ii) Gäbe es eine Darstellung y = x + z mit x ∈ X, z ∈ Z, so wäre

β_{n} = ⟨y, y_{n}⟩ = ⟨z, z_{n}⟩⟨z_{n}, y_{n}⟩ = ⟨z, z_{n}⟩β_{n} (n ≥ 1),

im Widerspruch dazu, dass (z_{n})_{n≥1} eine Orthonormalfolge ist. Dies zeigt Teil (a).

(iii) Setzt man W = X^{⊥}, so folgt Teil (b) aus der Identität X + Z = X ⊕ P_{X^{⊥}}Z.