UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Gerd Wittstock Dipl.-Math. Michael Didas �

Übungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

(Wintersemester 2002/2003)

Blatt 11 Abgabetermin: Montag, 27.01.2003, vor der Vorlesung

Es bezeichne H stets einen komplexen Hilbertraum.

Aufgabe 42 (Spektrum eines Multiplikationsoperators)

Für g ∈ C[0, 1] bezeichne M_{g} ∈ B(L^{2}[0, 1]) den von g induzierten Multiplikationsoperator, d.h. die eindeutige stetige Fortsetzung des Operators C[0, 1] → C[0, 1], f ↦ gf auf L^{2}[0, 1] (vgl. Aufgabe 21). Beweisen Sie:

(a) Es gilt die Äquivalenz: M_{g} ≥ 0 ⇔ g ≥ 0 (g ∈ C[0, 1]).

(b) Folgern Sie aus Teil (a): Für g ∈ C[0, 1] ist ∥M_{g}∥ = ∥g∥_{∞} und σ(M_{g}) = g([0, 1]). (Hinweise: Mḡ = M_{g}^{∗}, λid − M_{g} = M_{λ−g}.)

(c) Berechnen Sie σ(M_{g}) für g(t) = e^{2πit} (t ∈ [0, 1]).

Aufgabe 43 (Spektrum des zweiseitigen Shifts)

Da die Funktionen e_{n} : [0, 1] → ℂ mit e_{n}(t) = e^{2πint} (n ∈ ℤ) ein vollständiges Orthonormalsystem in L^{2}[0, 1] bilden, ist die Fouriertransformation F : L^{2}[0, 1] → ℓ^{2}(ℤ), f ↦ (⟨f, e_{n}⟩)_{n∈ℤ} eine unitäre Abbildung. Dabei ist offensichtlich ⟨f, e_{n}⟩ = ∫_{0}^{1} f(t)e^{−2πint}dt.

(a) Rechnen Sie nach: Vermöge Fouriertransformation ist der Multiplikationsoperator M_{g} ∈ B(L^{2}[0, 1]) mit g(t) = e^{2πit} (t ∈ [0, 1]) unitär äquivalent zum zweiseitigen Shift-Operator U ∈ B(ℓ^{2}(ℤ)) (vgl. Aufgabe 39). Bestimmen Sie dann σ(U) mittels Teil (c) von Aufgabe 42.

(b) Zeigen Sie: Die für k ≥ 1 definierten Vektoren x^{k} = (ξ_{n}^{k})_{n∈ℤ} ∈ ℓ^{2}(ℤ) mit ξ_{n}^{k} = 1/\sqrt{2k + 1} (falls −k ≤ n ≤ k) und ξ_{n}^{k} = 0 (sonst) bilden eine Folge approximativer Eigenvektoren (vgl. Aufgabe 40) von U zum approximativen Eigenwert 1.

(c) Konstruieren Sie für jede Zahl λ ∈ 𝕋 = {z ∈ ℂ : |z| = 1} eine zugehörige Folge approximativer Eigenvektoren von U. Berechnen Sie nun σ(U) ohne Benutzung der Fouriertransformation.

Aufgabe 44 (ein selbstadjungierter Operator ohne Eigenwerte)

Es sei M_{t} ∈ B(L^{2}[0, 1]) der Multiplikationsoperator mit der Funktion [0, 1] → ℝ, t ↦ t (vgl. Aufgabe 42). Zeigen Sie: M_{t} ist ein selbstadjungierter Operator ohne Eigenwerte.

(Anleitung: Es bezeichne 1 ∈ C[0, 1] die konstante Funktion 1 auf dem Intervall [0, 1]. Angenommen, λ ∈ σ(M_{t}) wäre ein Eigenwert von M_{t} und h ∈ L^{2}[0, 1] ein zugehöriger Eigenvektor. Indem man für jedes Polynom p ∈ ℂ[x] das Skalarprodukt ⟨p(M_{t})1, h⟩ einerseits soweit wie möglich ausrechnet (Was ist p(M_{t})^{∗}h?) und andererseits im Betrag nach oben abschätzt, kann man zeigen, dass das Punktauswertungsfunktional C[0, 1] ∋ p ↦ p(λ) ∈ ℂ beschränkt ist bzgl. der ∥ · ∥_{2}-Norm auf der Urbildseite. Dies lässt sich jedoch zum Widerspruch führen.)

Aufgabe 45 (Resolventenwachstum)

Aus Aufgabe 41 (a) folgt, dass für beliebiges T ∈ B(H) die Norm der Resolvente (λ − T)^{−1} bei Annäherung der Zahl λ ∈ ℂ \ σ(T) an das Spektrum von T gegen ∞ strebt.

Zeigen Sie, dass im Falle eines selbstadjungierten Operators T ∈ B(H) das Wachstumsverhalten der Resolvente explizit gegeben ist durch die Formel

∥(λ − T)^{−1}∥ = \frac{1}{dist(λ, σ(T))} für alle λ ∈ ℂ \ σ(T).

Aufgabe 46^{∗} (schwach beschränkt = Norm-beschränkt)

Eine Teilmenge M ⊂ H heißt schwach beschränkt, falls für jedes h ∈ H die Familie komplexer Zahlen (⟨h, x⟩)_{x∈M} beschränkt ist, d.h. wenn es zu jedem h ∈ H eine Konstante α(h) > 0 gibt, so dass die Abschätzung

|⟨h, x⟩| ≤ α(h) (x ∈ M)

gilt. Jede (Norm-)beschränkte Menge ist offenbar schwach beschränkt, überraschenderweise gilt jedoch auch die Umkehrung:

Jede schwach beschränkte Teilmenge eines Hilbertraumes ist (norm-)beschränkt.

Führen Sie den in Halmos, ”A Hilbert space problem book”, van Nostrand, vorgeführten Beweis dieser Aussage (vgl. Solution 22, S. 185f) detailliert aus.