UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Gerd Wittstock Dipl.-Math. Michael Didas �

Übungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

(Wintersemester 2002/2003)

Blatt 12 Abgabetermin: Montag, 3.02.2003, vor der Vorlesung

Aufgabe 47 (Ideale in C[0, 1])

Es sei C[0, 1] die Banachalgebra aller stetigen komplexwertigen Funktionen auf [0, 1] versehen mit der Supremumsnorm ∥f∥_{∞} = sup_{t∈[0,1]} |f(t)| (f ∈ C[0, 1]). Für eine Teilmenge F ⊂ [0, 1] sei

I_{F} = {f ∈ C[0, 1] : f|F = 0}.

(a) Man beweise, dass I_{F} ein abgeschlossenes Ideal ist. Ferner zeige man, dass es umgekehrt zu jedem abgeschlossenen Ideal I in C[0, 1] eine eindeutig bestimmte abgeschlossene Teilmenge F von [0, 1] gibt mit I = I_{F}.

(b) Sei nun F ⊂ [0, 1] abgeschlossen. Wie kann man den Quotienten C[0, 1]/I_{F} beschreiben?

Aufgabe 48 (Ideale in B(H))

Sei H ein komplexer Hilbertraum. Zeigen Sie: Jedes von {0} verschiedene (zweiseitige) Ideal I in B(H) enthält die endlichrangigen Operatoren F (H) = {T ∈ B(H) : dim ran T < ∞}.

(Anmerkung: Ist H separabel und dim H = ∞, so ist \overline{F (H)} sogar das einzige nicht-triviale abgeschlossene Ideal in B(H). Im nicht-separablen Fall ist {T ∈ B(H) : ran T ist separabel} ein weiteres abgeschlossenes Ideal.)

Aufgabe 49 (Hauptsätze der Operatorentheorie im Hilbertraumfall)

Seien H, K komplexe Hilberträume. Beweisen Sie die folgenden Aussagen unter Beachtung der Tatsache, dass schwach beschränkte Teilmengen eines Hilbertraumes Norm-beschränkt sind (vgl. Aufgabe 46).

(a) Eine Familie (T_{λ})_{λ∈Λ} von Operatoren in B(H) heißt punktweise beschränkt, falls die Bedingung sup_{λ∈Λ} ∥T_{λ}x∥ < ∞ für jedes x ∈ H erfüllt ist. Offenbar ist jede Norm-beschränkte Familie von Operatoren in B(H) punktweise beschränkt, es gilt jedoch auch die Umkehrung: (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit) Jede punktweise beschränkte Familie (T_{λ})_{λ∈Λ} in B(H) ist bereits beschränkt bzgl. der Operatornorm, erfüllt also sup_{λ∈Λ} ∥T_{λ}∥ < ∞. (Hinweis: Zeigen Sie, dass die Familie (T_{λ}^{∗})_{λ∈Λ} punktweise beschränkt ist. Leiten Sie daraus die Beschränktheit der Menge {T_{λ}x : λ ∈ Λ, x ∈ H mit ∥x∥ ≤ 1} ab.)

(b) (Satz von der stetigen Inversen) Ist T ∈ L(H, K) stetig und bijektiv, so ist T^{−1} automatisch stetig. (Anleitung: Zeigen Sie, dass T^{∗} nach unten beschränkt ist, indem Sie die schwache Beschränktheit der Menge {h ∈ H : ∥T^{∗}h∥ = 1} nachweisen. Beachten Sie dabei, dass ker T^{∗} = {0}. Begründen Sie dann, warum T^{∗} stetig invertierbar ist.)

(c) (Satz von der offenen Abbildung) Jeder surjektive stetige Operator T ∈ L(H, K) ist offen, d.h. bildet offene Mengen auf offene Mengen ab. (Hinweis: Es genügt zu zeigen, dass das Bild der offenen Einheitskugel eine offene Nullumgebung enthält. Dies folgt mit Teil (b)).

(d) (Satz vom abgeschlossenen Graphen) Eine lineare Abbildung T : H → K mit abgeschlossenem Graphen graph(T) = {(x, T x) : x ∈ H} ⊂ H ⊕ K ist stetig. (Tipp: Faktorisieren Sie T über den Graphen und wenden Sie Teil (b) an.)

Aufgabe 50 (approximatives Punktspektrum)

Für einen stetigen Operator T ∈ B(H) auf einem komplexen Hilbertraum H definiert man das approximative Punktspektrum σ_{ap}(T) als die Menge aller approximativen Eigenwerte von T (vgl. Aufgabe 40), d.h.

σ_{ap}(T) = {λ ∈ ℂ : Es ex. eine Folge (x_{n}) von Einheitsvektoren in H mit (T − λ)x_{n} ⟶^{n→∞} 0}.

Hierbei bezeichnet wie üblich T − λ den Operator T − λ · id_{H}.

Zeigen Sie: Für eine Zahl λ ∈ ℂ sind äquivalent:

(a) λ ∉ σ_{ap}(T)

(b) ker(T − λ) = {0} und ran (T − λ) ist abgeschlossen

(c) Es existiert ein c > 0 mit ∥(T − λ)x∥ ≥ c∥x∥ für alle x ∈ H.

Folgern Sie: σ_{ap}(T) ist abgeschlossen und σ(T) = σ_{ap}(T) ∪ \overline{σ_{ap}(T^{∗})}, wobei \overline{⋯} die komplexe Konjugation bezeichnet.

(Vorschlag: Bei (b) ⇒ (c) hilft Aufgabe 49 (b), die Implikation (c) ⇒ (b) ist trivial. Ergänzen Sie nun die fehlende Äquivalenz.)