UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Gerd Wittstock Dipl.-Math. Michael Didas �

Übungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

(Wintersemester 2002/2003)

Blatt 13 Abgabetermin: Montag, 10.02.2003, vor der Vorlesung

Aufgabe 51 (Konstruktion von Charakteren auf C^{∗}(N, id_{H}))

Sei N ∈ B(H) ein normaler Operator auf einem komplexen Hilbertraum H und λ ∈ σ(N). Zeigen Sie:

(a) Es existiert eine Folge (x_{n}) in H mit ∥x_{n}∥ = 1 (n ∈ ℕ) und (λ − N)x_{n} ⟶^{n→∞} 0, d.h. λ ist ein approximativer Eigenwert. (Benutzen Sie Aufgabe 50.)

(b) Für p ∈ ℂ[ζ, ζ̄] gilt ∥(p(λ, λ̄)−p(N, N^{∗}))x_{n}∥ ⟶^{n→∞} 0. (Tipp: Ziehen Sie sich auf p(ζ, ζ̄) = ζ^{k}ζ̄^{m} zurück.)

(c) Die Abbildung χ : ℂ[N, N^{∗}] → ℂ, A ↦ lim_{n→∞}⟨Ax_{n}, x_{n}⟩ ist ein kontraktiver, unitaler ∗- Homomorphismus (mit χ(N) = λ) und besitzt als solcher eine eindeutige stetige Fortsetzung zu einem Charakter von C^{∗}(N, id_{H}).

Aufgabe 52 (Der stetige Funktionalkalkül für normale Operatoren)

Sei N ∈ B(H) ein normaler Operator auf einem komplexen Hilbertraum H, C(σ(N)) die C^{∗}- Algebra aller stetigen komplexwertigen Funktionen auf σ(N) und z ∈ C(σ(N)) die identische Funktion.

(a) Zeigen Sie: Es existiert genau ein unitaler ∗-Homomorphismus Φ : C(σ(N)) → C^{∗}(N, id_{H}) mit der Eigenschaft Φ(z) = N. Die Abbildung Φ ist eine bijektive Isometrie, und es gilt der spektrale Abbildungssatz: σ(Φ(f)) = f(σ(N)).

Man nennt Φ den stetigen Funktionalkalkül von N und verwendet die Schreibweise f(N) = Φ(f) für f ∈ C(σ(N)).

(b) Beweisen Sie, dass der stetige Funktionalkalkül ordnungserhaltend ist, d.h. dass für f ∈ C(σ(N)) gilt: f ≥ 0 ⇔ f(N) ≥ 0.

(c) Geben Sie an, wie man mithilfe des Funktionalkalküls die Operatoren |N|, Re N, Im N, sowie (falls N = N^{∗}) N_{+}, N_{−} und (falls N positiv) N^{1/2} darstellen kann.

(d) Bestätigen Sie unter Benutzung des stetigen Funktionalkalküls: Ein normaler Operator N ∈ B(H) ist genau dann

(i) unitär, wenn σ(N) ⊂ 𝕋 gilt;  (ii) selbstadjungiert, wenn er σ(N) ⊂ ℝ erfüllt.

(e) Rechnen Sie nach: Ist N selbstadjungiert, so ist ∑_{n=0}^{∞} \frac{(iN)^{n}}{n!} unitär.

(f) Sei λ ∈ σ(N) beliebig. Konstruieren Sie zu ε > 0 einen Operator N_{ε} ∈ B(H) mit ∥N_{ε}∥ = 1 und (λ − N)N_{ε} ⟶^{ε↓0} 0. (Hinweis: Wenden Sie den Funktionalkalül an auf die Einschränkung geeigneter stetiger Funktionen f_{ε} : ℂ → [0, 1], deren Träger sich für ε ↓ 0 auf {λ} zusammenzieht.) Zeigen Sie hiervon ausgehend, dass λ ein approximativer Eigenwert von N ist, indem Sie eine zugehörige Folge approximativer Eigenvektoren konstruieren.

Aufgabe 53 (Bild kompakter Operatoren)

Seien H und K Hilberträume. Zeigen Sie:

(a) Ist T ∈ L(H, K) kompakt und M ⊂ ran T ein abgeschlossener Teilraum, so gilt dim M < ∞. (Hinweis: Reduzieren Sie auf den Fall M = ran T = K eines surjektiven kompakten Operators T und benutzen Sie den Satz von der offenen Abbildung (Teil (c) von Aufgabe 49).)

(b) Ein idempotenter Operator T ∈ B(H) ist genau dann kompakt, wenn er endlichrangig ist, d.h. dim ran T < ∞ gilt.

Aufgabe 54 (Fredholmscher Integraloperator)

Sei k : [0, 1] × [0, 1] → ℂ stetig. Der durch

(T_{k}f)(t) = ∫_{0}^{1} k(t, s)f(s)ds (f ∈ C[0, 1], t ∈ [0, 1])

definierte Operator T_{k} ∈ L(C[0, 1]) heißt Fredholmscher Integraloperator mit Kern k. Man beweise:

(a) T_{k} ist wohldefiniert und stetig;

(b) T_{k} ist kompakt.