UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Gerd Wittstock Dipl.-Math. Michael Didas �

Übungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

(Wintersemester 2002/2003)

Blatt 14 Abgabetermin: Montag, 17.02.2003, vor der Vorlesung

Aufgabe 55 (Fortsetzung kompakter Operatoren auf Prähilberträumen)

Sei K ein kompakter Operator auf einem Prähilbertraum X. Die eindeutige Fortsetzung von K zu einem stetigen Operator auf der Vervollständigung X̃ von X werde mit K̃ bezeichnet. Man beweise:

(a) K̃ ist kompakt und K̃(X̃) ⊂ X

(b) σ(K) = σ(K̃)

(c) σ_{p}(K) \ {0} = σ_{p}(K̃) \ {0} und die zu einem Eigenwert λ ≠ 0 von K gehörigen Eigenräume von K und K̃ stimmen überein

(d) K̃ ist normal ⇔ Es existiert ein T ∈ L(X) mit KT = T K und ⟨T x, y⟩ = ⟨x, T y⟩ (x, y ∈ X).

Aufgabe 56 (Spektraldarstellung eines Fredholmschen Integraloperators)

Sei k : [0, 1] × [0, 1] → ℝ wie folgt definiert:

k(t, s) = \{{t(1 − s) für 0 ≤ t ≤ s ≤ 1 \atop s(1 − t) für 0 ≤ s ≤ t ≤ 1.}

Auf dem Prähilbertraum X = C[0, 1] mit dem Skalarprodukt ⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{1} f(t)\overline{g(t)}dt (f, g ∈ X) betrachten wir den Fredholmschen Integraloperator

K : C[0, 1] → C[0, 1], (Kf)(t) = ∫_{0}^{1} k(t, s)f(s)ds (f ∈ C[0, 1], t ∈ [0, 1])

(vgl. Blatt 13, Aufgabe 54). Zeigen Sie:

(a) K ist kompakt

(b) K(X) ⊂ C^{2}[0, 1] und (Kf)′′ = −f für alle f ∈ X

(c) Für f ∈ X und λ ∈ ℂ sind äquivalent:

Kf = λf ⇔ f ∈ C^{∞}[0, 1], λf′′ = −f und f(0) = f(1) = 0.

(d) ⟨Kf, g⟩ = ⟨f, Kg⟩ für alle f, g ∈ X

Geben Sie die Spektraldarstellung von K (d.h. die in der Vorlesung vorgestellte Reihenentwicklung) möglichst explizit an.

Aufgabe 57^{∗} (Fredholmoperatoren)

Ein Operator T ∈ B(H) auf einem komplexen Hilbertraum H heißt Fredholmoperator, falls die Räume ker T und ker T^{∗} endlichdimensional sind und T abgeschlossenes Bild hat. Unter dem Index eines Fredholmoperators T versteht man die Zahl ind T = dim ker T −dim ker T^{∗} ∈ ℤ. (Ein Beispiel zur Indexberechnung finden Sie in der nachfolgenden Aufgabe 58.)

Beweisen Sie, dass für einen Operator T ∈ B(H) auf einem komplexen Hilbertraum H nachstehende Bedingungen äquivalent sind:

(a) T ist ein Fredholmoperator.

(b) Die Räume ker T und ker T^{∗} sind endlichdimensional und es existiert ein eindeutig bestimmter Operator S ∈ B(H) mit S|(ran T)^{⊥} = 0, der ST = P_{(ker T)^{⊥}} und T S = P_{(ker T^{∗})^{⊥}} erfüllt.

(c) Es existiert ein Operator S ∈ B(H), für den ST − id_{H} und T S − id_{H} kompakt sind.

Folgern Sie, dass die Klasse der Fredholmoperatoren auf H stabil ist gegenüber kompakten Störungen, d.h. dass mit T auch T + K (für K ∈ B(H) kompakt) ein Fredholmoperator ist.

(Hinweis zu (c) ⇒ (a): Führen Sie unter Annahme der Existenz einer unendlichen Orthonormalfolge (x_{n}) in ker T (bzw. ker T^{∗}) einen Widerspruch herbei.

Zum Beweis der Abgeschlossenheit von ran T wähle man einen endlichrangigen Operator F ∈ B(H) mit ∥(ST − id_{H}) − F ∥ ≤ \frac{1}{2}. Da T | ker F nach unten beschränkt ist (Begründung?), ist T (ker F) abgeschlossen. Zudem ist T ((ker F)^{⊥}) = T (ran F^{∗}) endlichdimensional. Bleibt zu zeigen, dass die Summe M + N aus einem abgeschlossenen Teilraum M ⊂ H und einem endlichdimensionalen Teilraum N ⊂ H abgeschlossen ist, was man aus der Beziehung M + N = P_{M^{⊥}}^{−1}P_{M^{⊥}}N (Bitte nachrechnen!) ableiten kann.)

Aufgabe 58 (Index eines analytischen Toeplitzoperators)

Es sei p ∈ ℂ[z] ein Polynom mit |p(z)| > 0 für z ∈ 𝕋 und M_{p} der von p auf dem Hardyraum H^{2}(𝔻) (vgl. Blatt 4, Aufgabe 13) induzierte Multiplikationsoperator

M_{p} : H^{2}(𝔻) → H^{2}(𝔻), f ↦ pf.

(a) Geben Sie die Räume ker M_{p} und ran M_{p} explizit an. Zeigen Sie, dass ran M_{p} abgeschlossen ist. (Hinweis zur Abgeschlossenheit des Bildes: Betrachten Sie zu w ∈ 𝔻 die H^{2}(𝔻)-Funktion k_{w,n}(z) = ∑_{k=n}^{∞} \frac{k!}{(k−n)!} \overline{w}^{k−n}z^{k}. Was ist ⟨f, k_{w,n}⟩_{H^{2}}?)

(b) Zeigen Sie, dass der Raum (ran M_{p})^{⊥} endlichdimensional ist. Unter Beachtung der Ergebnisse aus Teil (a) folgt, dass M_{p} ein Fredholmoperator ist (vgl. Aufgabe 57). Berechnen Sie dessen Index

ind M_{p} = dim ker M_{p} − dim(ran M_{p})^{⊥}.

(Anleitung: Seien w_{1}, ⋯, w_{k} die verschiedenen Nullstellen von p in 𝔻 mit den zugehörigen Nullstellenordnungen κ_{1}, ⋯, κ_{k}. Zeigen Sie, dass die beiden Abbildungen

R : H^{2}(𝔻)/ran M_{p} → ℂ^{κ_{1}} × ⋯ × ℂ^{κ_{k}},
[f] ↦ ((f(w_{1}), ⋯, f^{(κ_{1}−1)}(w_{1})), ⋯, (f(w_{k}), ⋯, f^{(κ_{k}−1)}(w_{k})))

und

P : H^{2}(𝔻)/ran M_{p} → (ran M_{p})^{⊥}, [f] ↦ P_{(ran M_{p})^{⊥}}f

wohldefinierte Isomorphismen von ℂ-Vektorräumen sind.)

(c)^{∗} Der Index von M_{p} lässt sich als Windungsindex (im Sinne der Funktionentheorie) berechnen: Beweisen Sie die Formel

ind M_{p} = −ind_{Γ_{p}}(0),

wobei ind_{Γ_{p}}(0) die Umlaufzahl der Kurve Γ_{p} : [0, 2π] → ℂ, t ↦ p(e^{it}) um den Ursprung bezeichnet.