UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Gerd Wittstock Dipl.-Math. Michael Didas �

Übungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

(Wintersemester 2002/2003)

Blatt 2 Abgabetermin: Montag, 11.11.2002, vor der Vorlesung

Aufgabe 5 (Ein Skalarprodukt auf den Matrizen)

Als Spur einer Matrix A = (a_{ij}) ∈ M_{n}(ℂ) bezeichnet man bekanntlich die Summe ihrer Diagonaleinträge: spur(A) = ∑_{j=1}^{n} a_{jj}. Rufen Sie sich die grundlegenden Eigenschaften des Funktionals spur : M_{n}(ℂ) → ℂ in Erinnerung.

Für Matrizen A, B ∈ M_{n}(ℂ) setze man

⟨A, B⟩ = spur(AB^{∗}),

wobei B^{∗} = B̄^{t} die Transponierte der komplex-konjugierten Matrix bezeichnet.

(a) Rechnen Sie nach, dass durch ⟨·, ·⟩ ein Skalarprodukt auf M_{n}(ℂ) definiert wird.

(b) Beweisen Sie unter Verwendung von Teil (a) die folgenden Aussagen:

(i) Für normale Matrizen M, N ∈ M_{n}(ℂ) sind äquivalent: MN = 0 ⇔ NM = 0. (ii) Eine Matrix N ∈ M_{n}(ℂ) ist genau dann normal, wenn spur((N^{∗}N)^{2} − (N^{∗})^{2}N^{2}) = 0.

(Zur Erinnerung: Eine Matrix N ∈ M_{n}(ℂ) heißt normal, wenn N^{∗}N = NN^{∗} gilt.)

(c) Die von dem in Teil (a) eingeführten Skalarprodukt auf M_{n}(ℂ) induzierte Norm heißt Frobeniusnorm und werde fortan mit ∥ · ∥_{2} bezeichnet. Berechnen Sie ∥A∥_{2} explizit als Funktion der Koeffizienten der Matrix A = (a_{ij}) ∈ M_{n}(ℂ), und zeigen Sie, dass die Frobeniusnorm submultiplikativ ist:

∥AB∥_{2} ≤ ∥A∥_{2}∥B∥_{2} (A, B ∈ M_{n}(ℂ))

(d) Ist ∥A∥_{2} < 1, so ist E − A invertierbar und die geometrische Reihe ∑_{k=0}^{∞} A^{k} konvergiert in der Frobeniusnorm gegen (E − A)^{−1}. (Hierbei bezeichnet E die n × n-Einheitsmatrix.)

(e) Für jeden Eigenwert λ von B ∈ M_{n}(ℂ) gilt: |λ| ≤ ∥B∥_{2}.

+(f) Für Spezialisten – Verschärfung von Teil (e): Sind λ_{1}, ⋯, λ_{n} die mit Vielfachheit gezählten Eigenwerte der Matrix B ∈ M_{n}(ℂ), so gilt die Abschätzung (∑_{k=1}^{n} |λ_{j}|^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ ∥B∥_{2}. Gleichheit tritt genau dann ein, wenn B normal ist. (Tipp: Unitäre Transformation.)

Aufgabe 6 (Ein Skalarprodukt auf den stetigen Funktionen)

Beweisen Sie folgende Aussagen:

(a) Auf dem ℂ-Vektorraum C[0, 1] aller stetigen, ℂ-wertigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1] wird durch

⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{1} f(t)\overline{g(t)}dt (f, g ∈ C[0, 1])

ein Skalarprodukt definiert.

(b) Die Familie (f_{n})_{n∈ℤ} mit f_{n}(t) = e^{2πint} (t ∈ [0, 1], n ∈ ℤ) ist orthonormal bzgl. dieses Skalarproduktes. Berechnen Sie ⟨sin(2π·), cos(8π·)⟩.

(c) Der Raum C[0, 1] ist bzgl. der von obigem Skalarprodukt induzierten Norm ∥ · ∥_{2} nicht vollständig.

Aufgabe 7 (Polarisationsformel)

Zeigen Sie nacheinander:

(a) Für jede Sesquilinearform (·, ·) auf einem ℂ-Vektorraum H gilt die sog. Polarisationsformel:

(x, y) = \frac{1}{4} ∑_{k=0}^{3} i^{k}(x + i^{k}y, x + i^{k}y) (x, y ∈ H).

(b) Für einen linearen Operator T : H → H auf einem komplexen Skalarproduktraum (H, ⟨·, ·⟩) mit induzierter Norm ∥ · ∥ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(i) Für alle x, y ∈ H gilt ⟨T x, T y⟩ = ⟨x, y⟩.

(ii) Für alle x ∈ H ist ∥T x∥ = ∥x∥.

+(c) Die Aussagen aus den Teilen (a) und (b) besitzen ”kanonische” Entsprechungen im Kontext von ℝ-Vektorräumen.

Aufgabe 8 (Konvergenz in Skalarprodukträumen)

Es bezeichne (H, ⟨·, ·⟩) einen (reellen oder komplexen) Skalarproduktraum mit induzierter Norm ∥ · ∥.

(a) Seien x ∈ H ein vorgegebener Vektor und (x_{n}) eine Folge in H. Dann gilt die Äquivalenz:

x_{n} ⟶^{n→∞} x  ⇔  ⟨x_{n}, x⟩ ⟶^{n→∞} ⟨x, x⟩ und ∥x_{n}∥ ⟶^{n→∞} ∥x∥.

(b) Sind (x_{n}) und (y_{n}) zwei Folgen aus der Einheitskugel von H mit ⟨x_{n}, y_{n}⟩ → 1 für n → ∞, so gilt ∥x_{n} − y_{n}∥ → 0 für n → ∞.