UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Gerd Wittstock Dipl.-Math. Michael Didas �

Übungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

(Wintersemester 2002/2003)

Blatt 3 Abgabetermin: Montag, 18.11.2002, vor der Vorlesung

Aufgabe 9 (Funktionale Hilberträume I)

Für eine beliebige Menge Ω bezeichne ℂ^{Ω} die Menge aller komplexwertigen Funktionen f : Ω → ℂ.

Ein Hilbertraum H ⊂ ℂ^{Ω} von Funktionen auf Ω heißt funktionaler Hilbertraum, wenn für jeden Punkt λ ∈ Ω das zugehörige Auswertungsfunktional

δ_{λ} : H → ℂ, f ↦ f(λ)

stetig ist. Zeigen Sie:

(a) Ein Hilbertraum H ⊂ ℂ^{Ω} ist genau dann ein funktionaler Hilbertraum, wenn eine Funktion

K : Ω × Ω → ℂ

mit folgenden Eigenschaften existiert:

(i) Für jedes feste λ ∈ Ω gehört die Funktion K_{λ} : Ω → ℂ, μ ↦ K(μ, λ) zu H.

(ii) Für alle f ∈ H und λ ∈ Ω gilt f(λ) = ⟨f, K_{λ}⟩

In diesem Fall ist K eindeutig bestimmt und heißt reproduzierender Kern von H.

(b) Sei nun H ⊂ ℂ^{Ω} ein funktionaler Hilbertraum mit reproduzierendem Kern K. Dann gelten folgende Aussagen (Hinweis: Was ist ⟨K_{μ}, K_{λ}⟩?):

(i) Für alle λ ∈ Ω ist ∥δ_{λ}∥ = ∥K_{λ}∥ = \sqrt{K(λ, λ)}. (Hierbei sei K_{λ} wie in Teil (a) definiert.)

(ii) Es besteht die Beziehung \overline{K(λ, μ)} = K(μ, λ) für alle λ, μ ∈ Ω.

(iii) Sind je endlich viele komplexe Zahlen ξ_{1}, ⋯, ξ_{n} und Punkte λ_{1}, ⋯, λ_{n} ∈ Ω gegeben, so gilt stets

∑_{i,j=1}^{n} K(λ_{i}, λ_{j})ξ_{j}ξ̄_{i} ≥ 0.

(c) Der Raum ℓ^{2}(n) (siehe Blatt 1, Aufgabe 4) kann als funktionaler Hilbertraum über der Menge Ω = {1, ⋯, n} aufgefasst werden. (Wie?) Geben Sie explizit den reproduzierenden Kern K von ℓ^{2}(n) an.

Interessantere Beispiele funktionaler Hilberträume (etwa der Hardy-Raum oder der Bergman-Raum über der Einheitskreisscheibe in ℂ) werden in der Vorlesung bzw. auf den folgenden Übungsblättern vorgestellt.

Aufgabe 10 (Ein für Folgenräume typischer Vollständigkeitsbeweis)

Beweisen Sie die Vollständigkeit des Raumes

ℓ^{1}(ℕ_{0}) = {(x_{n})_{n=0}^{∞} : x_{n} ∈ ℂ für n ∈ ℕ_{0} und ∑_{n=0}^{∞} |x_{n}| < ∞}

bezüglich der Norm

∥(x_{n})_{n}∥_{1} = ∑_{n=0}^{∞} |x_{n}| ((x_{n})_{n} ∈ ℓ^{1}(ℕ_{0})).

Aufgabe 11 (Ortho-Projektionen auf endlichdimensionale Teilräume)

Seien H ein Prä-Hilbertraum und M ⊂ H ein endlichdimensionaler Teilraum.

(a) Zeigen Sie: Jedes x ∈ H besitzt eine eindeutige Darstellung der Form

x = x_{M} + x_{M^{⊥}} mit x_{M} ∈ M und x_{M^{⊥}} ∈ M^{⊥}.

Überlegen Sie sich zuerst die Eindeutigkeit; finden Sie dann – unter Verwendung einer Orthonormalbasis (e_{1}, ⋯, e_{n}) von M – explizite Formeln für die Abbildungen

P_{M} : H → H, x ↦ x_{M}  und  Q_{M} : H → H, x ↦ x_{M^{⊥}}

(Hinweis: Blatt 1, Aufgabe 1).

(b) Folgern Sie, dass P_{M} und Q_{M} stetig lineare Projektionen sind.

(c) Sei nun N ⊂ H ein beliebiger Teilraum von H, x ∈ H und z ∈ N. Zeigen Sie, dass der Vektor x − z genau dann orthogonal zu N ist, wenn ∥x − z∥ = inf_{y∈N} ∥x − y∥ gilt.

Folglich ist für jedes x ∈ M die Orthogonalprojektion x_{M} = P_{M}x von x auf M das eindeutig bestimmte Element x_{M} in M mit der Eigenschaft ∥x − x_{M}∥ = inf_{y∈M} ∥x − y∥.

Aufgabe 12 (Unbedingte Konvergenz)

Sei I eine beliebige Indexmenge. Eine Familie {x_{ι} : ι ∈ I} von Vektoren in einem normierten Raum E heißt summierbar zur Summe x ∈ E, in Zeichen

∑_{ι∈I} x_{ι} = x,

wenn es zu jedem ε > 0 eine endliche Indexmenge J(ε) ⊂ I gibt, so dass für jede endliche Obermenge J ⊃ J(ε) mit J ⊂ I stets ∥x − ∑_{ι∈J} x_{ι}∥ < ε ist. Zeigen Sie:

(a) Aus ∑_{ι∈I} x_{ι} = x und ∑_{ι∈I} y_{ι} = y folgt ∑_{ι∈I}(x_{ι} + y_{ι}) = x + y und ∑_{ι∈I} αx_{ι} = αx für alle α ∈ ℂ.

(b) Höchstens abzählbar viele Glieder einer summierbaren Familie sind ≠ 0.

(c) Ist die abzählbare Familie {x_{n} : n ∈ ℕ} summierbar zur Summe x, so konvergiert die Reihe ∑_{j=1}^{∞} x_{j} unbedingt (d.h. bei jeder Anordnung ihrer Glieder) gegen x.