UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Gerd Wittstock Dipl.-Math. Michael Didas �

Übungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

(Wintersemester 2002/2003)

Blatt 4 Abgabetermin: Montag, 25.11.2002, vor der Vorlesung

Aufgabe 13 (Funktionale Hilberträume II: Der Hardyraum)

Der Hardyraum über der Einheitskreisscheibe 𝔻 = {z ∈ ℂ : |z| < 1} ist definiert als

H^{2}(𝔻) = {f : 𝔻 → ℂ analytisch, sup_{0<r<1} ∫_{0}^{2π} |f(re^{it})|^{2}dt < ∞} .

Für f ∈ H^{2}(𝔻) setzt man ∥f∥_{H^{2}} = sup_{0<r<1} (\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |f(re^{it})|^{2}dt)^{\frac{1}{2}} .

Zeigen Sie zunächst die folgenden beiden Hilfsbehauptungen:

i) Für zwei analytische Funktionen f, g : 𝔻 → ℂ mit den Taylorreihen f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} sowie g(z) = ∑_{k=0}^{∞} b_{k}z^{k} (z ∈ 𝔻) gilt:

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(re^{it})\overline{g(re^{it})}dt = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}b̄_{k}r^{2k} (0 < r < 1).

ii) Für (a_{k}), (b_{k}) ∈ ℓ^{2}(ℕ_{0}) ist lim_{r↑1} ∑_{k=0}^{∞} a_{k}b̄_{k}r^{2k} = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}b̄_{k}.

Folgern Sie hieraus nachstehende Aussagen über die Struktur des Hardyraumes H^{2}(𝔻):

(a) Für eine analytische Funktion f : 𝔻 → ℂ mit Taylorreihe f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} (z ∈ 𝔻) sind äquivalent: f ∈ H^{2}(𝔻) ⇔ (a_{k}) ∈ ℓ^{2}(ℕ_{0}), und in diesem Fall ist

∥f∥_{H^{2}} = ∥(a_{k})∥_{2}.

(b) Der Hardyraum H^{2}(𝔻) ist ein Vektorraum, auf dem durch ∥ · ∥_{H^{2}} eine Norm erklärt wird, die ihn zu einem Hilbertraum macht. (Geben Sie explizit einen isometrischen Isomorphismus Φ : H^{2}(𝔻) → ℓ^{2}(ℕ_{0}) an.)

(c) Für das von ∥ · ∥_{H^{2}} auf H^{2}(𝔻) induzierte Skalarprodukt ⟨·, ·⟩_{H^{2}} gilt die Formel:

⟨f, g⟩_{H^{2}} = lim_{r↑1} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(re^{it})\overline{g(re^{it})}dt.

(Insbesondere darf in der Definition von ∥ · ∥_{H^{2}} das Supremum sup_{0<r<1} durch den Limes lim_{r↑1} ersetzt werden.)

(d) Das System {z^{k} : k ∈ ℕ_{0}} ist eine Orthonormalbasis von H^{2}(𝔻). (Hierbei bezeichnet z : 𝔻 → ℂ die identische Funktion z ↦ z.)

(e) Zu jedem w ∈ 𝔻 existiert eine Funktion k_{w} ∈ H^{2}(𝔻) mit der Eigenschaft

⟨f, k_{w}⟩_{H^{2}} = f(w) (f ∈ H^{2}(𝔻)),

d.h. H^{2}(𝔻) ist ein funktionaler Hilbertraum. Geben Sie k_{w} (w ∈ 𝔻) samt zugehöriger Taylorreihe explizit an. (Tipp: Gewinnen Sie f(w) aus der Taylorreihe von f um 0 und interpretieren Sie die Reihe als Skalarprodukt in ℓ^{2}(ℕ_{0}) ≃ H^{2}(𝔻).)

Aufgabe 14 (Orthogonalreihen)

Betrachten Sie die folgenden Aussagen über eine Folge (x_{n})_{n≥1} paarweise orthogonaler Elemente eines Prä-Hilbertraumes H:

(a) Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} x_{n} ist konvergent.

(b) Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} x_{n} ist schwach konvergent, was definitionsgemäß bedeutet, dass es einen Vektor x ∈ H gibt, so dass

⟨∑_{n=1}^{k} x_{n}, y⟩ →^{k} ⟨x, y⟩ (für alle y ∈ H)

gilt.

(c) Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} ∥x_{n}∥^{2} ist konvergent.

Zeigen Sie: Im Prä-Hilbertraumfall gelten die Implikationen (a) ⇔ (b) ⇒ (c). Ist H sogar ein Hilbertraum, so sind (a), (b) und (c) äquivalent.

Aufgabe 15 (Gram-Schmidt-Orthonormalisierung)

(a) Sei (x_{n})_{n∈ℕ_{0}} eine linear unabhängige Folge von Vektoren in einem Prä-Hilbertraum X und (e_{n})_{n∈ℕ_{0}} diejenige Orthonormalfolge, die aus der gegebenen Folge (x_{n})_{n∈ℕ_{0}} durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens hervorgeht. Zeigen Sie:

Ist (f_{n})_{n∈ℕ_{0}} eine weitere Orthonormalfolge in X mit der Eigenschaft

span{f_{0}, ⋯, f_{n}} = span{x_{0}, ⋯, x_{n}} (n ∈ ℕ_{0}),

so existiert eine Folge (λ_{k})_{k≥0} komplexer Zahlen vom Betrage Eins mit f_{k} = λ_{k}e_{k} für alle k ∈ ℕ_{0}.

(b) Es bezeichne P [−1, 1] den Prä-Hilbertraum aller komplexen Polynomfunktionen auf dem Intervall [−1, 1] mit dem Skalarprodukt

⟨f, g⟩ = ∫_{−1}^{1} f(t)\overline{g(t)}dt (f, g ∈ P [−1, 1]).

Für n ∈ ℕ_{0} sei u_{n} : [−1, 1] → ℝ, u_{n}(t) = t^{n} sowie

φ_{n} : [−1, 1] → ℝ, t ↦ \sqrt{\frac{2n + 1}{2}} \frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t^{2} − 1)^{n}

das n-te Legendre-Polynom.

Zeigen Sie nach folgender Anleitung, dass (φ_{n})_{n∈ℕ_{0}} das durch Gram-Schmidt-Orthonormali-sierung von (u_{n})_{n∈ℕ_{0}} entstehende Orthonormalsystem in P [−1, 1] ist.

(i) Überlegen Sie sich, dass φ_{n} ein Polynom n-ten Grades ist und einen positiven höchsten Koeffizienten besitzt.

(ii) Zeigen Sie durch (j + 1)-fache partielle Integration, dass für 0 ≤ j < m die Beziehung

∫_{−1}^{1} t^{j}φ_{m}(t)dt = 0

besteht. Folgern Sie: ⟨φ_{n}, φ_{m}⟩ = 0 für n ≠ m.

(iii) Beweisen Sie (ebenfalls mittels partieller Integration), dass ∥φ_{n}∥^{2} = 1 ist (n ∈ ℕ_{0}).

(iv) Schließen Sie unter Benutzung von Teil (a) den Beweis ab.