UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Gerd Wittstock Dipl.-Math. Michael Didas �

Übungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

(Wintersemester 2002/2003)

Blatt 5 Abgabetermin: Montag, 2.12.2002, vor der Vorlesung

Aufgabe 16 (Direkte Summen von Hilberträumen)

Sei I eine beliebige Indexmenge. Für eine Familie (H_{ι}, ⟨·, ·⟩_{ι}) (ι ∈ I) von Hilberträumen definiert man die direkte Summe

⨁_{ι∈I} H_{ι} = {(x_{ι})_{ι∈I} : x_{ι} ∈ H_{ι} (ι ∈ I) und ∑_{ι∈I} ∥x_{ι}∥^{2} < ∞}.

(a) Zeigen Sie, dass H = ⨁_{ι∈I} H_{ι} ein Vektorraum ist, auf dem durch

⟨(x_{ι}), (y_{ι})⟩ = ∑_{ι∈I}⟨x_{ι}, y_{ι}⟩_{ι} ((x_{ι}), (y_{ι}) ∈ H)

ein Skalarprodukt definiert wird.

(b) Beweisen Sie, dass (⨁_{ι∈I} H_{ι}, ⟨·, ·⟩) ein Hilbertraum ist.

(c) Begründen Sie, warum im Falle eines separablen, unendlich-dimensionalen Hilbertraumes K für beliebiges n ∈ ℕ die Hilberträume ⨁_{j=1}^{n} K und K isomorph sind.

Aufgabe 17 (Unbeschränktheit der quantenmechanischen Operatoren)

Die Vertauschungsrelation AB − BA = id_{E} ist durch zwei beschränkte lineare Operatoren A, B ∈ L(E) auf einem normierten Raum E ≠ (0) nicht erfüllbar.

Gehen Sie zum Beweis dieser Aussage wie folgt vor:

(a) Rechnen Sie nach: AB^{n+1} − B^{n+1}A = (AB^{n} − B^{n}A)B + B^{n}(AB − BA) für n ≥ 0.

(b) Zeigen Sie induktiv: AB^{n+1} − B^{n+1}A = (n + 1)B^{n} für n ≥ 0.

(c) Führen Sie unter Verwendung der Beschränktheit von A und B einen Widerspruch herbei.

Die Heisenbergesche Unschärferelation ist eine Kommutatorrelation der oben angegebenen Form. Die typischen Operatoren der Quantenmechanik sind daher unbeschränkt.

Aufgabe 18 (Beispiele zur Berechnung der Operatornorm)

Es bezeichne C[0, 1] den ℂ-Vektorraum aller stetigen komplexwertigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1]. Für f ∈ C[0, 1] seien ∥f∥_{∞} = sup_{0≤t≤1} |f(t)| die Supremumsnorm und ∥f∥_{1} = ∫_{0}^{1} |f(t)|dt die Integralnorm von f. Ferner seien g ∈ C[0, 1] und n ∈ ℕ fest gewählt. Man beweise, dass die Abbildungen

S : (C[0, 1], ∥ · ∥_{1}) → (C[0, 1], ∥ · ∥_{1}), (Sf)(t) = ∫_{0}^{t} f(s)ds

T_{g} : (C[0, 1], ∥ · ∥_{∞}) → (C[0, 1], ∥ · ∥_{∞}), f ↦ gf

U_{n} : (C[0, 1], ∥ · ∥_{∞}) → ℂ, f ↦ ∫_{0}^{1} f(t)dt − ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{n}f(\frac{k}{n})

linear und stetig sind und berechne ihre Normen. Des Weiteren zeige man, dass lim_{n→∞} U_{n}(f) = 0 für alle f ∈ C[0, 1] gilt. Gilt auch ∥U_{n}∥ →^{n} 0?

Aufgabe 19 (Fourierreihen)

Laut Vorlesung bildet das Funktionensystem

e_{n} : [0, 1] → ℂ, t ↦ e^{2πint} (n ∈ ℤ)

eine Orthonormalbasis des Prä-Hilbertraumes C[0, 1] bzgl. des Skalarproduktes

⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{1} f(t)\overline{g(t)}dt (f, g ∈ C[0, 1]).

Die von ⟨·, ·⟩ auf C[0, 1] induzierte Norm werde mit ∥ · ∥_{2} bezeichnet; wie in Aufgabe 18 steht ∥ · ∥_{∞} für die Supremumsnorm auf C[0, 1].

(a) Zeigen Sie: Der Stammfunktionsoperator

S : (C[0, 1], ∥ · ∥_{2}) → (C[0, 1], ∥ · ∥_{2}), (Sf)(t) = ∫_{0}^{t} f(s)ds

und die identische Abbildung j : (C[0, 1], ∥ · ∥_{∞}) → (C[0, 1], ∥ · ∥_{2}), f ↦ f, sind linear und stetig. Geben Sie die Funktionen Se_{n} (n ∈ ℤ) explizit an und beweisen Sie die absolute und gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihe ∑_{n∈ℤ\\{0\}} \frac{⟨f,e_{n}⟩}{2πin}e_{n}.

(b) Benutzen Sie die Ergebnisse aus Teil (a) zum Beweis der folgenden Aussage:

Es sei f ∈ C[0, 1] eine stetige Funktion mit verschwindendem nullten Fourierkoeffizienten (d.h. ⟨f, e_{0}⟩ = 0). Dann besitzt die Stammfunktion F (t) = ∫_{0}^{t} f(s)ds (t ∈ [0, 1]) bzgl. der Orthonormalbasis (e_{n})_{n∈ℤ} die Fourierreihe

F = ∑_{n∈ℤ\\{0\}} \frac{⟨f, e_{n}⟩}{2πin}e_{n} − ( ∑_{n∈ℤ\\{0\}} \frac{⟨f, e_{n}⟩}{2πin}) e_{0}.

(c) Sei nun speziell f : [0, 1] → ℂ, t ↦ t − \frac{1}{2} und F wie in Teil (b) definiert. Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten ⟨f, e_{n}⟩ für n ∈ ℤ sowie ⟨F, e_{0}⟩ direkt, d.h. durch Auswertung der entsprechenden Integrale.

Schließen Sie dann unter Anwendung von Teil (b) auf die Gültigkeit der Formel

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} .