UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Gerd Wittstock Dipl.-Math. Michael Didas �

Übungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

(Wintersemester 2002/2003)

Blatt 6 Abgabetermin: Montag, 9.12.2002, vor der Vorlesung

Aufgabe 20 (Nach unten beschränkte Sesquilinearformen)

Seien H ein Hilbertraum und b eine beschränkte Sesquilinearform, die zusätzlich in folgendem Sinne nach unten beschränkt sei: Es existiere eine Konstante c > 0 mit

|b(x, x)| ≥ c∥x∥^{2} (x ∈ H).

Zeigen Sie, dass es genau einen invertierbaren Operator T ∈ B(H) gibt, der b darstellt (der also in der Notation der Vorlesung die Identität b = b_{T} erfüllt), und dass die Abschätzung ∥T^{−1}∥ ≤ \frac{1}{c} gilt.

Aufgabe 21 (Berechnung von Adjungierten)

(a) Zu vorgegebenen Funktionen g ∈ C[0, 1] und k ∈ C([0, 1] × [0, 1]) bezeichne M_{g} ∈ B(L^{2}[0, 1]) die eindeutige stetige Fortsetzung des Operators

C[0, 1] ⟶^{M_{g}} C[0, 1], (M_{g}f)(t) = g(t)f(t) für t ∈ [0, 1]

sowie T_{k} ∈ B(L^{2}[0, 1]) die eindeutige stetige Fortsetzung von

C[0, 1] ⟶^{T_{k}} C[0, 1], (T_{k}f)(t) = ∫_{0}^{1} k(s, t)f(s)ds für t ∈ [0, 1].

Bestimmen Sie die Adjungierten von M_{g} und T_{k}. Ziehen Sie sich dabei (wie in der Definition der beiden Operatoren) auf eine dichte Teilmenge von L^{2}[0, 1] zurück. Für welche Wahl von g bzw. k ergibt sich jeweils ein selbstadjungierter Operator?

(b) Berechnen Sie die Adjungierten der Operatoren

U : ℓ^{2}(ℤ) → ℓ^{2}(ℤ), (x_{n})_{n∈ℤ} ↦ (x_{n−1})_{n∈ℤ}

S : ℓ^{2}(ℕ_{0}) → ℓ^{2}(ℕ_{0}), (x_{0}, x_{1}, x_{2}, ⋯) ↦ (0, x_{0}, x_{1}, x_{2}, ⋯)

M_{z} : H^{2}(𝔻) → H^{2}(𝔻), f ↦ zf,

wobei z für die identische Funktion auf 𝔻 steht (zum Hardyraum H^{2}(𝔻) siehe Blatt 4, Aufgabe 13). Geben Sie UU^{∗}, U^{∗}U, SS^{∗} und S^{∗}S explizit an.

Aufgabe 22 (Isometrien und ihre Adjungierten)

Rechnen Sie am Beispiel der Isometrie

V : 𝕂^{m} → 𝕂^{m+n}, (x_{1}, ⋯, x_{m}) ↦ (x_{1}, ⋯, x_{m}, \underbrace{0, ⋯, 0}_{n−mal})

mit m ∈ ℕ, n ∈ ℕ_{0} die Aussagen aus Bemerkung 2.1.6 (vgl. Skript zur Vorlesung) explizit nach. (Hierbei seien 𝕂^{m} und 𝕂^{m+n} beide mit dem Standard-Skalarprodukt versehen.)

Aufgabe 23 (Partielle Isometrien) Ein Operator V ∈ B(H) heißt partielle Isometrie, falls ∥V x∥ = ∥x∥ für alle x ∈ H mit x⊥ ker V gilt. (Die Adjungierte einer Isometrie hat diese Eigenschaft.)

(a) Für einen Operator V ∈ B(H) beweise man die Äquivalenz folgender Aussagen: (i) Der Operator V ist eine partielle Isometrie. (ii) Die Abbildung Ṽ : (ker V)^{⊥} ⟶^{V} ran V ist ein isometrischer Isomorphismus. (iii) Die Adjungierte V^{∗} ist eine partielle Isometrie. (iv) Der Operator V^{∗}V ist die Orthogonalprojektion auf (ker V)^{⊥}.

(v) Die Abbildung V hat abgeschlossenes Bild und V V^{∗} ist die Orthogonalprojektion auf

ran V.

(b) Zeigen Sie, dass für zwei partielle Isometrien U, V ∈ B(H) die folgenden Eigenschaften gleichwertig sind:

(i) Die Komposition UV ist eine partielle Isometrie.

(ii) Es gilt die Inklusion: V^{∗}(ker U) ⊂ ker(UV).

(iii) Es ist UP_{ran V} | ker U = 0, wobei P_{ran V} die Orthogonalprojektion auf das Bild von V

bezeichnet. (Hinweis zu (b): Überlegen Sie sich zuerst, dass für jeden Operator T ∈ B(H) und jede Wahl abgeschlossener Teilräume M, N ⊂ H die Äquivalenz T M ⊂ N ⇔ T^{∗}N^{⊥} ⊂ M^{⊥} gilt.)