UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Gerd Wittstock Dipl.-Math. Michael Didas �

Übungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

(Wintersemester 2002/2003)

Blatt 7 Abgabetermin: Montag, 16.12.2002, vor der Vorlesung

Aufgabe 24 (Gramsche Matrix)

Seien H und K Hilberträume.

(a) Ist T ∈ L(H, K) ein endlichrangiger Operator, d.h. rank T = dim ran T < ∞, so gilt die Übereinstimmung

rank T = rank T^{∗} = rank T^{∗}T = rank T T^{∗}.

(Hinweis: Benutzen Sie die Formeln für Kern und Bild des Operators und seiner Adjungierten.)

(b) Für eine beliebige endliche Familie von Vektoren x_{1}, ⋯, x_{n} aus H erfüllt der Rang der zugehörigen Gramschen Matrix G = (⟨x_{i}, x_{j}⟩)_{1≤i,j≤n} die Identität:

rank G = dim span{x_{1}, ⋯, x_{n}}.

(Anleitung: Betrachten Sie den Operator T : ℓ^{2}(n) → H, (ξ_{1}, ⋯, ξ_{n}) ↦ ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}x_{j}. Überlegen Sie sich, dass G die Matrix der Abbildung T^{∗}T bzgl. der Standardbasis von ℓ^{2}(n) ist. Wenden Sie nun Teil (a) an.)

Aufgabe 25 (Orthogonalprojektionen)

Für einen abgeschlossenen Teilraum M des Hilbertraumes H bezeichne P_{M} ∈ B(H) die Orthogonalprojektion von H auf M.

Seien P = P_{M} und Q = P_{N} zwei Orthogonalprojektionen. Zeigen Sie:

(a) Die Komposition P Q ist genau dann eine Orthogonalprojektion, wenn P Q = QP ist. In diesem Fall gilt: P Q = P_{M∩N}.

(b) Die Summe P + Q ist genau dann eine Orthogonalprojektion, wenn P Q = 0 ist. In diesem Fall ist M⊥N und P + Q = P_{M⊕N}.

(c) Folgende Aussagen sind äquivalent:

(i) Die Differenz P − Q ist eine Orthogonalprojektion.

(ii) Es ist Q ≤ P.

(iii) Es besteht die Inklusion N ⊂ M.

(iv) Es gilt die Identität P Q = Q.

(v) Es ist QP = Q.

In diesem Fall ist P − Q = P_{M⊖N}, wobei M ⊖ N = N^{⊥} ∩ M das orthogonale Komplement von N in M bezeichnet.

Aufgabe 26 (monotone und beschränkte Folgen positiver Operatoren) Jede monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge positiver reeller Zahlen konvergiert. Für positive Operatoren auf einem Hilbertraum H gilt eine analoge Aussage.

(a) Zeigen Sie: Ist T ∈ B(H) positiv, so gilt für alle x, y ∈ H die Abschätzung

|⟨T x, y⟩|^{2} ≤ ⟨T x, x⟩⟨T y, y⟩.

(b) Sei (T_{n})_{n≥1} eine monoton wachsende Folge positiver Operatoren in B(H), die nach oben durch einen positiven Operator A ∈ B(H) beschränkt sei, d.h.

0 ≤ T_{n} ≤ T_{n+1} ≤ A (n ≥ 1).

Zeigen Sie nacheinander:

(i) Für alle x, y ∈ H existiert lim_{n→∞}⟨T_{n}x, y⟩ ∈ ℂ.

(ii) Es gilt ∥T_{n}∥ ≤ ∥A∥ (n ∈ ℕ).

(iii) Die Folge (T_{n}x)_{n≥1} ist für jedes x ∈ H eine Cauchy-Folge.

(iv) Es existiert ein positiver Operator T ∈ B(H) mit lim_{n→∞} T_{n}x = T x für alle x ∈ H.