UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Gerd Wittstock Dipl.-Math. Michael Didas �

Übungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

(Wintersemester 2002/2003)

Blatt 8 Abgabetermin: Montag, 6.01.2003, vor der Vorlesung

Auf diesem Übungsblatt bezeichne H durchweg einen komplexen Hilbertraum.

Zur Erinnerung: Ein Operator T ∈ B(H) heißt selbstadjungiert :⇔ T = T^{∗}, normal :⇔ T T^{∗} = T^{∗}T und unitär :⇔ UU^{∗} = id_{H} = U^{∗}U, Kontraktion :⇔ ∥T ∥ ≤ 1.

Überlegen Sie sich vorab, dass für einen normalen Operator T ∈ B(H) die Identität ∥T x∥ = ∥T^{∗}x∥ (x ∈ H) gilt. Diese kann in den beiden nachfolgenden Aufgaben gewinnbringend eingesetzt werden.

Aufgabe 27 (Rechnen mit positiven Operatoren und ihren Wurzeln)

Es seien A, B, S, T ∈ B(H). Zeigen Sie:

(a) 0 ≤ A ≤ B und 0 ≤ S ≤ T ⇒ ∥A^{1/2}S^{1/2}∥ ≤ ∥B^{1/2}T^{1/2}∥.

(b) 0 ≤ A ≤ B und AB = BA ⇒ 0 ≤ A^{2} ≤ B^{2}.

(c) 0 ≤ A ≤ B, 0 ≤ S ≤ T, AB = BA und ST = T S ⇒ ∥AS∥ ≤ ∥BT ∥.

(d) 0 ≤ A ≤ B ⇒ \overline{ran A} ⊂ \overline{ran B}.

(e) Existiert B^{−1} ∈ B(H), so gilt: 0 ≤ A ≤ B ⇔ ∥A^{1/2}B^{−1/2}∥ ≤ 1.

(f) 0 ≤ A und ε > 0 ⇒ 0 ≤ A^{1/2} ≤ (A + εid_{H})^{1/2} ≤ A^{1/2} + ε^{1/2}id_{H}.

(g) 0 ≤ A ≤ B ⇔ Für ε > 0 ist ∥A^{1/2}(B + εid_{H})^{−1/2}∥ ≤ 1.

Aufgabe 28 (Summenzerlegung normaler Kontraktionen)

Zeigen Sie:

(a) Zu jeder selbstadjungierten Kontraktion T ∈ B(H) existiert genau ein unitärer Operator U ∈ B(H) mit den Eigenschaften

T = \frac{1}{2}(U + U^{∗}) und Im U ≥ 0.

Der Operator U vertauscht mit jedem Operator, der mit T vertauscht. (Tipp: Im Fall H = ℂ ist dies Geometrie am Einheitskreis; T entspricht einer reellen Zahl vom Betrag ≤ 1, U einer komplexen Zahl mit Betrag 1 und U^{∗} der zu U konjugiert komplexen Zahl.)

(b) Zu jeder normalen Kontraktion T ∈ B(H) existiert ein eindeutig bestimmter unitärer Operator W ∈ B(H) mit

T = W |T | und W | ker T = id_{ker T} .

Der Operator W vertauscht mit jedem Operator, der mit T vertauscht. (Tipp: Definieren Sie W zunächst auf dem Bild von |T | und setzen Sie dann geeignet fort. Überlegen Sie sich hierzu, dass aus der Normalität von T die Beziehung ker T = ker T^{∗} folgt.)

(c) Zu jeder normalen Kontraktion T ∈ B(H) gibt es unitäre Operatoren U_{1}, U_{2} ∈ B(H) mit T = \frac{1}{2}(U_{1} + U_{2}). Man kann U_{1} und U_{2} so wählen, dass sie mit jedem Operator vertauschen, der mit T vertauscht.

Aufgabe 29 (Unitäre Dilatationen und Fortsetzungen)

(a) Zu einer Kontraktion T ∈ B(H) bilde man auf dem Hilbertraum H ⊕ H den Operator

U = [ \begin{matrix}T & (id_{H} − T T^{∗})^{\frac{1}{2}} \\ (id_{H} − T^{∗}T)^{\frac{1}{2}} & −T^{∗} \end{matrix} ] .

(Man schreibe die Elemente von H ⊕ H in der Form \binom{x}{y} mit x, y ∈ H und lasse U mit der üblichen Matrizenmultiplikation darauf wirken.)

Zeigen Sie, dass U unitär ist.

Zu jeder Kontraktion T ∈ B(H) existiert also ein unitärer Operator U ∈ B(K) auf einem H umfassenden Hilbertraum K, so dass T sich schreiben lässt als T = P_{H}U|H. (Hierbei steht P_{H} ∈ B(K) für die Orthogonalprojektion von K auf H.) Einen solchen Operator U nennt man eine unitäre Dilatation von T.

(b) Im Falle von Isometrien gilt eine stärkere Aussage: Zeigen Sie, dass jede Isometrie T ∈ B(H) eine unitäre Fortsetzung U ∈ B(K) auf einem Hilbertraum K ⊃ H besitzt, d.h. konstruieren Sie einen unitären Operator U auf K = H ⊕ G (G ein geeigneter Hilbertraum) mit UH ⊂ H und T = U|H.

Lösen Sie dieses Problem auch ohne Benutzung der Wurzel!

Aufgabe 30^{∗} (von Neumannscher Ergodensatz)

Zeigen Sie nacheinander:

(a) Sei x ∈ H ein beliebig vorgegebener Vektor und T ∈ B(H) eine Kontraktion. Dann gilt die Äquivalenz

T x = x ⇔ T^{∗}x = x.

(b) Für eine Kontraktion T ∈ B(H) setze man

S_{n} = \frac{1}{n} ∑_{k=0}^{n−1} T^{k} (n ∈ ℕ)  und  H_{0} = ker(id_{H} − T)

und definiere P ∈ B(H) als die Orthogonalprojektion von H auf H_{0}. Dann gilt

lim_{n→∞} S_{n}x = P x (x ∈ H).

(Tipp: Man kann sich auf die beiden Fälle x ∈ H_{0} und x ∈ ran (id_{H} − T) zurückziehen.)

Aufgabe 31^{∗} (Orthonormal- und Vektorraumbasen)

(a) Eine Orthonormalbasis von H ist ganau dann eine Vektorraumbasis von H (im Sinne der linearen Algebra), wenn H endlichdimensional ist.

(b) Jede Vektorraumbasis eines unendlichdimensionalen Hilbertraumes ist überabzählbar.

Wir wünschen Ihnen ein frohes Weihnachtsfest und einen guten Rutsch ins Jahr

2003.

F. Schöpfer  M. Didas  G. Wittstock