UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Gerd Wittstock Dipl.-Math. Michael Didas �

Übungen zur Vorlesung Operatoren auf dem Hilbertraum

(Wintersemester 2002/2003)

Blatt 9 Abgabetermin: Montag, 13.01.2003, vor der Vorlesung

Auf diesem Übungsblatt bezeichne H stets einen komplexen Hilbertraum.

Aufgabe 32 (Einzeiler zu Betrag und Wurzel)

Beweisen Sie folgenden ”Nachtrag” zur Vorlesung:

(a) Für jeden Operator T ∈ B(H) gilt die Übereinstimmung: ker T = ker |T |.

(b) Für positives T ∈ B(H) ist ker T = ker T^{1/2}.

Aufgabe 33 (Polarzerlegung)

(a) Ist T ∈ B(H) ein invertierbarer Operator mit Polarzerlegung T = V P, so gilt die Äquivalenz: T ist normal ⇔ V P = P V.

(b) Sei T ∈ B(H) normal. Zeigen Sie unter Zuhilfenahme der unitären Polarzerlegung T = UP von T, dass ran T = ran T^{∗} gilt. (Tipp: Was ist T^{∗}U^{2}?)

(c) Sei (ξ_{n})_{n≥0} ∈ ℓ^{∞}(ℕ_{0}) eine beschränkte Folge komplexer Zahlen. Geben Sie die Polarzerlegung des Operators

S : ℓ^{2}(ℕ_{0}) → ℓ^{2}(ℕ_{0}), (α_{n})_{n≥0} ↦ (ξ_{n}α_{n+1})_{n≥0}

explizit an.

Aufgabe 34 (Pseudoinverse)

Es seien H, K Hilberträume und T ∈ L(H, K), T ≠ 0. Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:

(a) Für den Minimalmodul γ(T) = max{c ≥ 0 : c∥x∥ ≤ ∥T x∥ für alle x ∈ (ker T)^{⊥}} von T gilt: γ(T) > 0.

(b) Es gibt genau einen Operator A ∈ L(K, H) mit

AT = P_{(ker T)^{⊥}} und A|(ran T)^{⊥} = 0.

(Man nennt A die Pseudoinverse von T.)

Gilt eine dieser Bedingungen, so ist ∥A∥ = γ(T)^{−1} und T A = P_{ran T}. Ferner ist in diesem Fall A^{∗} die Pseudoinverse von T^{∗} und γ(T^{∗}) = γ(T).

Anleitung zum Beweis von (a) ⇒ (b): Der von T induzierte Operator T̃ : (ker T)^{⊥} →^{T} ran T ist bijektiv. Definieren Sie A als geeignete Fortsetzung der Umkehrabbildung T̃^{−1}. Beachten Sie hierbei, dass T abgeschlossenes Bild hat (vgl. Vorlesung). Schätzen Sie zum Beweis der Stetigkeit von A die Norm ∥A∥ nach oben durch γ(T)^{−1} ab.

Aufgabe 35 (Cayley-Transformierte)

Sei T ∈ B(H) ein selbstadjungierter Operator auf einem komplexen Hilbertraum H. Zeigen Sie:

(a) Die Abbildungen T + i id_{H} und T − i id_{H} sind bijektiv und haben stetige Inverse. (Tipp: Rechnen Sie zuerst die Identität ∥(T ± i id_{H})x∥^{2} = ∥T x∥^{2} + ∥x∥^{2} (x ∈ H) nach.)

(b) Der Operator U_{T} = (T +i id_{H})(T −i id_{H})^{−1} ist unitär. (Man nennt U_{T} die Cayley-Transfor-mierte von T.)

(c) Die Abbildung id_{H} − U_{T} hat eine stetige Inverse. Geben Sie diese konkret an und zeigen Sie damit, dass T sich wie folgt aus seiner Cayley-Transformierten U_{T} zurückgewinnen lässt: T = −i(id_{H} + U_{T})(id_{H} − U_{T})^{−1}.

Aufgabe 36^{∗} (Partielle Isometrien)

(a) Seien X ein Prä-Hilbertraum und A, B ⊂ X Teilräume mit X = \overline{A ⊕ B}. Dann lässt sich jeder stetige Operator V ∈ L(X), für den V |A = 0 und V |B : B → X isometrisch ist, eindeutig fortsetzen zu einer partiellen Isometrie W ∈ B(H) auf der Vervollständigung H von X.

(b) Sei 0 < c < 1 fest gewählt. Bestimmen Sie die Zahl α > 0 so, dass sich die Abbildung

V_{α} : C[0, 1] → C[0, 1], (V_{α}f)(t) = αf(ct)

zu einer partielle Isometrie W auf L^{2}[0, 1] fortsetzen lässt. Berechnen Sie dazu zuerst die Räume A = ker V_{α} und B = C[0, 1] ⊖ ker V_{α} und leiten Sie eine notwendige Bedingung für α her. Wenden Sie dann Teil (a) an mit X = C[0, 1] und H = L^{2}[0, 1].)