Universität des Saarlandes Fachrichtung 6.1 — Mathematik Prof. Dr. Gerd Wittstock Benedikt Betz

1. Übung Funktionalanalysis WS 2003/04

Aufgabe 1 Auf ℝ sei d_{1}(x,y) = |x − y| die gewöhnliche Metrik und

d_{2}(x,y) = | \frac{x}{1 + |x|} − \frac{y}{1 + |y|} | .

Zeige:

a) d_{2} ist eine Metrik.

b) d_{2} ist zu d_{1} äquivalent, aber nicht uniform äquivalent.

c) (ℝ,d_{2}) ist nicht vollständig.

Aufgabe 2 Es sei C([0,1]) der Raum der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf [0,1]. Es sei d_{1} die durch die Supremumsnorm ∥f∥_{∞} definierte Metrik und d_{2} die durch die Norm

∥f∥_{1} = ∫_{0}^{1}|f(x)|dx

definierte Metrik. Zeige: d_{2} ist zu d_{1} nicht äquivivalent, und C([0,1]) ist mit der Metrik d_{2} nicht vollständig.

Aufgabe 3 Die Bezeichnungen seien wie in Aufgabe 3. Es sei k eine stetige, komplexwertige Funktion auf [0,1] × [0,1]. Für f ∈ C([0,1]) setzen wir

K(f) = [[0,1] → ℂ; x ↦ ∫_{0}^{1}k(s,t)f(t)dt].

Zeige: K ist eine stetige lineare Abbildung (C([0,1]),∥ ∥_{1}) → (C([0,1]),∥ ∥_{∞}). Welche Operatornorm hat K?

Zu einer Menge X bezeichne l_{∞}(X) den normierten Raum aller beschränkten, komplexwertigen Funktionen auf X mit der Supremumsnorm.

Aufgabe 4 Es sei C_{c}(ℝ) die Menge aller stetigen Funktionen f : ℝ → ℂ, die außerhalb eines (von f abhängigen) Intervalls der Form [−n,n] für n ∈ ℕ verschwinden. Es ist C_{c}(ℝ) ⊆ l_{∞}(ℝ). Zeige: Der Abschluss von C_{c}(ℝ) in l_{∞}(ℝ) ist die Menge C_{0}(ℝ) aller stetigen, komplexwertigen Funktionen auf ℝ mit der Eigenschaft:

⋀_{ε>0} ⋁_{n∈ℕ} sup{|f(x)| | |x| > n} < ε.

Abgabe: Montag, 03. 11. 2003, vor der Vorlesung. Für jede Übungsaufgabe gibt es 4 Punkte. Zur Klausur wird zugelassen, wer mindestens die Hälfte aller Übungspunkte erhalten und aktiv an den Übungen teilgenommen hat. Aktuelle Informationen zur Vorlesung sind zu finden unter www.math.uni-sb.de/˜ ag-wittstock/lehre/WS03/fa1/. Die Vorlesung wird betreut von Benedikt Betz (Zimmer 304, benedikt@math.uni-sb.de). Feedback ist — wie immer — erwünscht.