Universität des Saarlandes Fachrichtung 6.1 — Mathematik Prof. Dr. Gerd Wittstock Jörg Fischer

10. Übung Funktionalanalysis WS 2003/04

Aufgabe 37

a) Sei X ein Vektorraum. Zeigen Sie mit Hilfe des Zornschen Lemmas, daß X eine Basis hat.

b) Zeigen Sie mit Hilfe von a): Ein normierter Vektorraum X hat genau dann endliche Dimension, wenn jedes lineare Funktional auf X stetig ist.

Aufgabe 38 Sei H ein Hilbertraum und T ∈ B(H).

a) Jede beschränkte Folge (x_{n})_{n} in H hat eine in H schwach konvergente Teilfolge.

Hinweis: Anwendung von Aufgabe 36.

b) T ist genau dann ein kompakter Operator, wenn für alle x ∈ H und (x_{n})_{n} in H, so daß (x_{n}) schwach gegen x konvergiert, die Folge (T x_{n}) in der Norm gegen T x konvergiert.

Aufgabe 39 Es sei X ein unendlichdimensionaler Banachraum, I: X → X die Identität und T ∈ B(X) kompakt. Zeigen Sie, daß ∥T − I∥ ≥ 1 gilt, wobei ∥·∥ die Operatornorm auf B(X) ist.

Aufgabe 40 Es sei 1 ≤ p < ∞ und (a_{n})_{n∈ℕ} in l_{∞}. Definieren Sie den Operator

T: l_{p} → l_{p} durch (x_{n})_{n} ↦ T ((x_{n})_{n}) = (a_{n}x_{n})_{n}

und zeigen Sie:

1. T (l_{p}) ist abgschlossen genau dann, wenn inf{ |a_{n}| | n ∈ ℕ, a_{n} ≠ 0 } > 0 ist, wobei inf ∅ = ∞ gesetzt wird.

2. T ist genau dann ein Fredholmoperator, wenn lim inf_{n→∞}|a_{n}| > 0 ist.

Abgabe: Montag, 19.01.2004, vor der Vorlesung.