Universität des Saarlandes Fachrichtung 6.1 — Mathematik Prof. Dr. Gerd Wittstock Jörg Fischer

11. Übung Funktionalanalysis WS 2003/04

Aufgabe 41 Sei X eine unitale Banachalgebra mit Einheit e ∈ X und x, y ∈ X.

a) Wenn x und xy invertierbar sind, dann ist y invertierbar. Wenn xy und yx invertierbar sind, dann sind x und y invertierbar. Geben Sie ein Beispiel dafür an, daß xy = e ≠ yx möglich ist. Zeigen Sie, wenn xy = e ≠ yx gilt, dann ist yx ein nicht triviales idempotentes Element. Wenn dim X < ∞ und xy = e, dann folgt yx = e.

b) Für a ∈ X definieren wir L_{a} ∈ L(X) durch L_{a}x = ax. Zeigen Sie, daß a genau dann invertierbar ist, wenn L_{a} invertierbar ist. Folgern Sie, daß σ(a) = σ(L_{a}) gilt.

Aufgabe 42 Sei S: l_{2} → l_{2} der Shift-Operator S(x_{n})_{n} = (x_{n−1})_{n}, wobei x_{0} = 0. Bestimmen Sie Spektrum σ(S), Punktspektrum σ_{p}(S), Residualspektrum σ_{r}(S) und das kontinuierliche Spektrum σ_{c}(S) von S. Zeigen Sie, daß σ_{p}(S^{∗}) = σ_{r}(S), σ_{r}(S^{∗}) = σ_{p}(S) und σ_{c}(S^{∗}) = σ_{c}(S). Welche Vielfachheit haben die Eigenwerte von S^{∗}? Zeigen Sie, daß Eigenvektoren von S^{∗} nicht zueinander orthogonal sein können.

Aufgabe 43 Sei X ein Banachraum und T ∈ L(X). Zeigen Sie, daß σ(T) = σ(T′) und daß

σ_{r}(T) ⊂ σ_{p}(T′) ⊂ σ_{p}(T) ∪ σ_{r}(T).

Aufgabe 44 Sei X = C([0, 1]). Es sei T ∈ L(X) definiert durch

T f(x) = ∫_{0}^{x} f(y) dy, f ∈ X.

Zeigen Sie, daß T injektiv ist. Zeigen Sie, daß

(T^{n+1}f)(x) = \frac{1}{n!} ∫_{0}^{x}(x − y)^{n}f(y) dy

für alle n ∈ ℕ gilt. Folgern Sie, daß r(T) = 0 ist.

Abgabe: Montag, 26.01.2004, vor der Vorlesung.