Universität des Saarlandes Fachrichtung 6.1 — Mathematik Prof. Dr. Gerd Wittstock Jörg Fischer

12. Übung Funktionalanalysis WS 2003/04

Aufgabe 45 Sei H = l_{2}(ℕ, ℂ) und (λ_{n})_{n∈ℕ} eine beschränkte Folge in ℂ. Wir definieren S ∈ B(H) durch S(x_{n})_{n} = (λ_{n}x_{n−1})_{n}, wobei (x_{n})_{n} ∈ l_{2} und x_{0} := 0. Bestimmen Sie die Polarzerlegung von S und geben Sie diejenigen Folgen (λ_{n})_{n} ∈ l_{∞} an, für die S kompakt ist.

Aufgabe 46 Es seien S der Rechtsshift auf l_{2}(ℕ_{0}), B die von S und id erzeugte unitale Banachalgebra. Es sei A die von S erzeugte abgeschlossene Unteralgebra von B:

B := \overline{lin}\{S^{n} | n ∈ ℕ_{0}\}, A := \overline{lin}\{S^{n} | n ∈ ℕ\}.

a) Man zeige: A ist ein maximales Ideal in B und χ_{0} : T ↦ ⟨T e_{0}, e_{0}⟩ ist ein Charakter auf B mit ker χ_{0} = A. Es ist B = A ⊕ ℂ id eine topologisch direkte Summe. Man gebe die zugehörigen Projektoren an.

b) Man zeige σ_{B}(S) ist die abgeschlossene Kreisscheibe { λ ∈ ℂ | |λ| ≤ 1 }. Für |λ| < 1 ist χ_{λ}: T ↦ ⟨T e_{0}, x_{λ}⟩ ein Charakter auf B mit χ_{λ}(S) = λ, wobei x_{λ} := (λ^{n})_{n∈ℕ_{0}} ist. Für |λ| = 1 gibt es auch einen Charakter χ_{λ} auf B mit χ_{λ}(S) = λ.

Hinweis: Was ist ⟨P (S)e_{0}, x_{λ}⟩ für ein Polynom P ∈ ℂ[z]. Wieso hat der Algebrenhomomorphismus P (S) ↦ P (λ_{0}) ∈ ℂ für |λ_{0}| ≤ 1 eine stetige Fortsetzung auf B.

Aufgabe 47 Gegeben sei ϵ > 0 und { x_{m,n} | m, n ∈ ℕ } ⊂ ℂ, so daß ∞ > ∑_{n=1}^{∞}|x_{m,n}| > 4ϵ und lim_{m} x_{m,n} = 0 für alle m, n ∈ ℕ. Zeigen Sie, daß es streng monoton wachsende Abbildungen g: ℕ_{0} → ℕ und f: ℕ → ℕ gibt, so daß

∑_{n=1}^{g(j−1)}|x_{f(j),n}| < ϵ,  ∑_{n=1+g(j−1)}^{g(j)} |x_{f(j),n}| > 3ϵ,  ∑_{n=1+g(j)}^{∞} |x_{f(j),n}| < ϵ.

Zeigen Sie außerdem, daß es eine Folge (y_{n})_{n} komplexer Zahlen vom Betrag 1 gibt, so daß

|∑_{n=1}^{∞} y_{n}x_{f(j),n}| > ϵ

für alle j ∈ ℕ. Hinweis: Setzen Sie g(0) = 0 und f(1) = 1. Dann sind für j = 1 die geforderten Bedingungen erfüllt. Zur Bestimmung von (y_{n})_{n} setzen Sie y_{n} = sign x̄_{f(j),n} auf f(j − 1) < n ≤ f(j) für alle j ∈ ℕ.

Aufgabe 48

a) Sei (x_{n})_{n} eine Folge in l_{1}, die schwach (bzgl. l_{∞}) gegen 0 konvergiert. Dann konvergiert (x_{n})_{n} in der Norm gegen 0.

Hinweis: Nehmen Sie an, (x_{n})_{n} konvergiere nicht in der Norm und wenden Sie Aufgabe 47 an.

b) Sei H ein Hilbertraum und T ∈ L(H, l_{1}), dann ist T ein kompakter Operator. Sei S ∈ L(c_{0}, H), dann ist S ein kompakter Operator.

Abgabe: Montag, 02.02.2004, vor der Vorlesung.