Universität des Saarlandes Fachrichtung 6.1 — Mathematik Prof. Dr. Gerd Wittstock Jörg Fischer

13. Übung Funktionalanalysis WS 2003/04

Aufgabe 49 Seien H ein Hilbertraum und S, T ∈ B(H), so daß S ≥ 0 und ST = T S.

a) Für T = T^{∗} zeigen Sie induktiv

|⟨ST x, x⟩| ≤ ⟨ST^{2^{n}}x, x⟩^{2^{−n}} ⟨Sx, x⟩^{1−2^{−n}}

für alle x ∈ H und n ∈ ℕ.

Hinweis: b(x, y) = ⟨Sx, y⟩ ist eine Sesquilinearform, für die die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung gilt.

b) Zeigen Sie, daß |⟨ST x, x⟩| ≤ ∥T ∥ ⟨Sx, x⟩ für alle x ∈ H gilt.

Aufgabe 50 Seien H ein Hilbertraum und S, T ∈ B(H), so daß S ≥ 0 und T ≥ 0. Wenn ST = T S, dann gilt ST ≥ 0.

Aufgabe 51 Sei A eine unitale Banachalgebra mit Einheit e ∈ A. Für a ∈ A sei B = BAlg(a, e) die von a und e erzeugte Banachalgebra. Zeigen Sie, daß die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. λ ∈ σ_{B}(a)

2. J_{λ} = \overline{(λ − a)B} ist ein maximales Ideal in B

3. Es gibt einen Charakter χ: B → ℂ, so daß χ(a) = λ

Aufgabe 52 Sei A eine unitale Banachalgebra mit Einheit e ∈ A. Es sei a ∈ A und B = BAlg(a, e). Für b ∈ B gilt λ ∈ σ_{B}(b) genau dann, wenn es einen Charakter χ: B → ℂ gibt, so daß χ(b) = λ.

Abgabe: Montag, 09.02.2004, vor der Vorlesung.