Universität des Saarlandes Fachrichtung 6.1 — Mathematik Prof. Dr. Gerd Wittstock Benedikt Betz

2. Übung Funktionalanalysis WS 2003/04

Aufgabe 5 Auf dem Raum C^{∞}([0,1]) der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf [0,1] setzen wir

d(f,g) = ∑_{k=0}^{∞} 2^{−k} \frac{∥f^{(k)}− g^{(k)}∥_{∞}}{1 + ∥f^{(k)}− g^{(k)}∥_{∞}} .

Zeige:

a) d ist eine Metrik auf C^{∞}([0,1]).

b) Eine Folge (f_{n})_{n} ∈ ℕ von Funktionen in C^{∞}([0,1]) konvergiert genau dann bezüglich dieser Metrik gegen f, wenn für jedes k ⩾ 0 die Folge der Ableitungen (f_{n}^{(k)}) gleichmäßig gegen f^{(k)} konvergiert.

c) (C^{∞}([0,1]),d) ist vollständig.

Aufgabe 6 Auf C([0,1]) seien die Normen ∥ ∥_{1} und ∥ ∥_{∞} wie in Aufgabe 2 erklärt. Weiter sei g ∈ C([0,1]) und n ∈ ℕ. Zeige, dass die folgenden Abbildungen linear und stetig sind, und berechne ihre Norm.

a) S: (C([0,1]),∥ ∥_{1}) → (C([0,1]),∥ ∥_{1}); f ↦ [t ↦ ∫_{1}^{t}f(s)ds],

b) T_{g} : (C([0,1]),∥ ∥_{∞}) → (C([0,1]),∥ ∥_{∞}); f ↦ gf,

c) U_{n}: (C([0,1]),∥ ∥_{∞}) → ℂ; f ↦ ∫_{0}^{1}f(t)dt − ∑ _{k=1}^{n} \frac{1}{n}f(k/n).

Zeige weiter: Für alle f ∈ C([0,1]) ist lim_{n→∞} U_{n}(f) = 0. Gilt auch ∥U_{n}∥ → 0?

Aufgabe 7 Beweise den Satz von Dini: Es sei (X,d) ein kompakter metrischer (oder allgemeiner: topologischer) Raum. Konvergiert eine monoton wachsende (oder fallende) Folge reellwertiger stetiger Funktionen auf X punktweise gegen eine stetige Funktion, so ist die Konvergenz sogar gleichmäßig.

Aufgabe 8 Es sei 1 ⩽ p ⩽ ∞. Wir definieren die Abbildungen

S: l_{p} → l_{p}; (x_{n})_{n} ↦ (x_{n+1} )_{n} und
T : l_{p} → l_{p}; (x_{n})_{n} ↦ (x_{n−1} )_{n} mit x_{−1} = 0.

Zeige: S und T sind linear und stetig. Berechne die Operatornormen.

Abgabe: Montag, 10. 11. 2003, vor der Vorlesung.