Universität des Saarlandes Fachrichtung 6.1 — Mathematik Prof. Dr. Gerd Wittstock Benedikt Betz

3. Übung Funktionalanalysis WS 2003/04

Aufgabe 9 Es sei (c,∥ ∥_{∞}) der Banachraum der konvergenten Folgen. Zeige: Durch die Dualität

⟨(x_{n})_{n},(y_{n})_{n}⟩ = ∑_{n+0}^{∞} x_{n}y_{n+1} + y_{0} lim_{n→∞} x_{n}

ist ein isometrischer Isomorphismus von c′und l_{1} gegeben. Welcher andere Banachraum hat ebenfalls l_{1} als Dual?

Aufgabe 10 Es sei (x_{n})_{n} ∈ l_{∞}. Durch (x_{n})_{n} wird für 1 ⩽ p ⩽ ∞ ein Operator

T : l_{p} → l_{p}; (y_{n})_{n} ↦ (x_{n}y_{n})_{n}

definiert. Zeige: T ist genau dann kompakt, wenn (x_{n})_{n} ∈ c_{0} ist.

Aufgabe 11 Zur Neumannschen Reihe Zu k ∈ C([0,1]^{2}) definieren wir einen Operator wie in Aufgabe 3:

T_{k}: C([0,1]) → C([0,1]); f ↦ [s ↦ ∫_{0}^{1}k(s,t)f(t)dt].

Jetzt betrachten wir aber auf C([0,1]) beide Male die Norm ∥ ∥_{∞}. T_{k} heißt Fredholmscher Integraloperator mit Kern k. Zeige: Dann hat T_{k} die Operatornorm

sup_{s}∫_{0}^{1}|k(s,t)|dt.

Zeige weiter: Ist ∥T_{k}∥ < 1, so hat zu jeder rechten Seite g ∈ C([0,1]) die Integralgleichung

f(s) − ∫_{0}^{1}k(s,t)f(t)dt = g(s)

genau eine Lösung f ∈ C([0,1]). Wie lässt sich die Lösung durch T_{k} und g ausdrücken?

Aufgabe 12 Fortsetzung von Aufgabe 11: Der Operator ∑ _{n=1}^{∞} T_{k}^{n} ist auch wieder ein Fredholmscher Integraloperator. Betrachte dazu die Kerne

k_{1}(s,t) = k(s,t),
k_{n}(s,t) = ∫_{0}^{1}k(s,u)k_{n−1} (u,t)du.

Zeige: Es ist T_{k}^{n} = T_{k_{n}}, die Reihe

h = ∑_{n=1}^{∞} k_{n}

konvergiert gleichmäßig auf [0,1]^{2}, und es ist

T_{h} = ∑_{n=1}^{∞} T_{k}^{n}.

Die Funktion h heißt der auflösende Kern der Integralgleichung aus Aufgabe 11. Wie lässt sich durch T_{h} die Lösung der Integralgleichung ausdrücken?

Abgabe: Montag, 17. 11. 2003, vor der Vorlesung.