Universität des Saarlandes Fachrichtung 6.1 — Mathematik Prof. Dr. Gerd Wittstock Benedikt Betz

4. Übung Funktionalanalysis WS 2003/04

Aufgabe 13 schwach beschränkt = normbeschränkt Es sei ℋ ein Hilbertraum. Eine Teilmenge M ⊆ ℋ heißt schwach beschränkt, falls für alle x ∈ ℋ die Menge {⟨x,y⟩ | y ∈ M} komplexer Zahlen beschränkt ist. M heißt normbeschränkt, falls {∥x∥ | x ∈ M} beschränkt ist. Jede normbeschränkte Teilmenge eines Hilbertraumes ist offenbar schwach beschränkt. (Warum?) Überraschenderweise gilt auch die Umkehrung: Jede schwach beschränkte Teilmenge eines Hilbertraumes ist normbeschränkt. Führe die Beweisskizze in Halmos, »A Hilbert space problem book«, Seite 184, aus.

Aufgabe 14 Es sei (y_{n})_{n} eine Folge komplexer Zahlen, und für alle Folgen (x_{n})_{n} ∈ l_{2} konvergiere die Reihe ∑_{n}x_{n}y_{n}. Zeige: Dann ist auch (y_{n})_{n} ∈ l_{2}. Hinweis: Benutze die abgeschnittenen Folgen (y_{1},...,y_{k},0,...) und Aufgabe 13.

Aufgabe 15 Wir betrachten C([0,1]) mit der Norm ∥ ∥_{2}, die durch das Skalarprodukt

⟨f,g⟩ = ∫_{0}^{1} \overline{f(t)}g(t)dt

gegeben ist. Zeige: C([0,1]) ist mit dieser Norm nicht vollständig. Hinweis: Eine geeignete Funktionenfolge zu finden sollte nach unseren bisherigen Übungen nicht mehr schwer sein. Hilfsbehauptung: Konvergiert eine Folge stetiger Funktionen bezüglich ∥ ∥_{2}, so konvergiert die Folge der Stammfunktionen gleichmäßig.

Aufgabe 16 Zur Vervollständigung eines Prähilbertraumes Es sei X ein normierter Raum, Y ⊆ X ein dichter Teilraum, und auf Y sei ein Skalarprodukt gegeben, so dass für alle y ∈ Y gilt:

∥y∥^{2} = ⟨y,y⟩.

Zeige: Dieses Skalarprodukt lässt sich eindeutig auf ganz X fortsetzen, so dass diese Normformel auf ganz X gilt. Hinweis: Definiere das Skalarprodukt durch die in der Vorlesung angegebene Polarisationsformel:

⟨x,y⟩ = \frac{1}{4} ∑_{k=0}^{3} i^{k}∥x + i^{k}y∥^{2}

Abgabe: Montag, 24. 11. 2003, vor der Vorlesung.