Universität des Saarlandes Fachrichtung 6.1 — Mathematik Prof. Dr. Gerd Wittstock Benedikt Betz

5. Übung Funktionalanalysis WS 2003/04

Aufgabe 17 Unterhalbstetige Funktionen Es sei X ein metrischer (allgemeiner: topologischer) Raum und f : X → ℝ ∪ {±∞} eine Funktion. f heißt unterhalbstetig in x_{0} ∈ X, falls f(x_{0}) ≠ −∞, und falls es zu jedem reellen r < f(x_{0}) eine Umgebung U von x_{0} gibt, so dass für alle x ∈ U gilt: r < f(x).

a) Zeige: Das punktweise Supremum einer Familie in x_{0} unterhalbstetiger Funktionen ist in x_{0} unterhalbstetig.

b) Zeige: Ist (X,d) ein metrischer Raum, und ist f : X → [0,∞] unterhalbstetig, so gibt es eine monoton wachsende Folge stetiger Funktionen f_{n}, die punktweise gegen f konvergiert.

Hinweis: f_{n}(x) = inf{f(y) + nd(x,y) | y ∈ X}.

Aufgabe 18 Adjungierte Operatoren

a) Es sei T_{k} ein Fredholmscher Integraloperator auf C([0,1]) mit dem stetigen Kern k. Zeige: Für alle Funktionen f, g ∈ C([0,1]) ist (mit dem Skalarprodukt aus Aufgabe 15)

⟨T_{k}f,g⟩ = ⟨f,T_{k^{∗}}g⟩

mit k^{∗}(s,t) = \overline{k(t,s)}.

b) Auf C([0,1]) definieren wir die Operatoren

T f(s) = i∫_{0}^{s}f(t)dt und
Sf(s) = i∫_{1}^{s}f(t)dt.

Zeige:

⟨T f,g⟩ = ⟨f,Sg⟩.

Aufgabe 19 Satz von Baire Eine Teilmenge eines metrischen (allgemeiner: topologischen) Raumes X heißt nirgends dicht, falls ihr Abschluss leeres Inneres hat. Eine Teilmenge von X heißt mager oder von erster Kategorie, falls sie die Vereinigung abzählbar vieler nirgends dichter Mengen ist. Sonst heißt sie fett oder von zweiter Kategorie. Zeige: Jeder vollständige metrische Raum ist (als Teilmenge von sich selbst) von zweiter Kategorie.

Aufgabe 20 Gleichmäßige Beschränktheit Es sei ℋ ein Hilbertraum und f : ℝ → ℋ eine Funktion. f heißt schwach differenzierbar in t_{0} ∈ ℝ, falls es einen Vektor x ∈ ℋ gibt, so dass für alle y ∈ ℋ die Funktion t ↦ ⟨y,f(t)⟩ in t_{0} differenzierbar ist mit Ableitung ⟨y,x⟩. Zeige: Dann ist f stetig in t_{0}.

Abgabe: Montag, 1. 12. 2003, vor der Vorlesung.