Universität des Saarlandes Fachrichtung 6.1 — Mathematik Prof. Dr. Gerd Wittstock Benedikt Betz

7. Übung Funktionalanalysis WS 2003/04

Aufgabe 25 Adjungierte Operatoren Es sei 1 ⩽ p < ∞. Berechne die adjungierten Operatoren zu den Operatoren S und T aus Aufgabe 8.

Aufgabe 26 Sublineare Funktionale, Hahn-Banach

a) Es seien X ein reeller Vektorraum, θ_{1} und θ_{2} sublineare Funktionale auf X und φ ein lineares Funktional.

Zeige: Ist φ ⩽ θ_{1}+θ_{2}, so gibt es lineare Funktionale φ_{1} und φ_{2}, so dass φ = φ_{1}+φ_{2} und φ_{i} ⩽ θ_{i}.

Das gleiche gilt, falls θ_{1} und θ_{2} ⩾ 0 sind und φ ⩽ max{θ_{1},θ_{2}}.

Hinweis: Bastele aus θ_{1} und θ_{2} geeignete sublineare Funktionale auf X × X.

b) Zeige: Jedes beschränkte lineare Funktional auf dem Raum der beschränkten reellen Folgen l_{∞}(ℕ,ℝ) lässt sich als Differenz zweier positiver linearer Funktionale schreiben. (Ein Funktional heißt positiv, falls es auf allen Folgen (a_{n})_{n} mit a_{n} ⩾ 0 für alle n nichtnegative Werte hat.)

Hinweis: Schreibe die Norm ∥ ∥_{∞} als ∥(a_{n})_{n}∥_{∞} = max{max{sup_{n}a_{n},0},max{sup_{n}(−a_{n}),0}} und wende Teil a) an.

Aufgabe 27 Man kann lineare Funktionale φ ∈ (l_{∞})′auch auf andere Art zerlegen:

a) Zeige: Zu φ ∈ (l_{∞})′gibt es φ_{1} und φ_{2} ∈ (l_{∞})′, so dass φ = φ_{1}+φ_{2}, φ_{1}|_{c_{0}} = 0, und φ_{2} ist von der

Gestalt

φ_{2}((a_{n})_{n}) = ∑_{n} a_{n}b_{n}

mit einer Folge (b_{n})_{n} ∈ l_{1}.

b) Diese Zerlegung ist eindeutig, es ist ∥φ∥ = ∥φ_{1}∥ + ∥φ_{2}∥, und ∥φ_{2}∥ = ∥(b_{n})_{n}∥_{1}.

Hinweis: Betrachte »abgeschnittene« Folgen.

c) Folgere: Jedes stetige lineare Funktional auf c_{0} hat genau eine Fortsetzung zu einem normgleichen linearen Funktional auf l_{∞}. (Warum ist das etwas besonderes?)

Aufgabe 28 Banachlimites Ein Funktional φ ∈ l_{∞}(ℕ,ℝ)′heißt Banachlimes, falls es positiv ist, ∥φ∥ = 1, φ((a_{n})_{n}) = lim_{n}a_{n} für alle (a_{n})_{n} ∈ c, und wenn es translationsinvariant ist, das heißt, φ ∘ T = φ mit dem Shiftoperator T aus Aufgabe 8. Zeige mit Hilfe des sublinearen Funktionals θ((a_{n})_{n}) = limsup_{n}a_{n}: Es gibt Banachlimites. Zeige weiter: Banachlimites sind nicht multiplikativ, das heißt, es gilt nicht für alle (a_{n})_{n}, (b_{n})_{n}, dass φ((a_{n}b_{n})_{n}) = φ((a_{n})_{n})φ((b_{n})_{n}) ist.

Abgabe: Montag, 15. 12. 2003, vor der Vorlesung.