Universität des Saarlandes Fachrichtung 6.1 — Mathematik Prof. Dr. Gerd Wittstock Jörg Fischer

8. Übung Funktionalanalysis WS 2003/04

Aufgabe 29

a) Zeigen Sie, daß der lineare Operator T: (l_{∞})′ → (l_{∞})′, gegeben durch T f = f|_{c_{0}} für f ∈ (l_{∞})′ keine Adjungierte hat.

b) Sei ℜ([0, 1]) der Raum der reellen Riemann integrierbaren Funktionen versehen mit dem Skalarprodukt ⟨f|g⟩ = ∫_{0}^{1} f(t)g(t) dt. Berechnen Sie die Adjungierte des linearen Operators (T f)(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}f(\frac{x}{2}). Berechnen Sie T′T und T T′.

Aufgabe 30 Seien X und Y Banachräume und T ∈ B(X, Y) so daß T (X) ein abgeschlossener Unterraum von Y ist. Zeigen Sie, daß T′(Y′) = (ker T)^{⊥} gilt.

Hinweis: Für φ ∈ (ker T)^{⊥} = { ϕ ∈ X′ | ⟨x, ϕ⟩ = 0 ∀x ∈ ker T } definiere man ψ_{0}(T x) = ⟨x, φ⟩. Der Satz von der offenen Abbildung zeigt daß ψ_{0} stetig ist.

Aufgabe 31 Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Teilmenge C ⊂ V heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten von C auch deren Verbindungslinie in C liegt, d.h. tx + (1 − t)y ∈ C für alle x, y ∈ C und t ∈ [0, 1]. Ein Punkt z ∈ C heißt Extremalpunkt von C, wenn er nicht als Konvexkombination anderer Punkte aus C geschrieben werden kann, d.h. wenn aus z = tx + (1 − t)y mit x, y ∈ C und t ∈ (0, 1) folgt z = x = y.

a) Sei C ⊂ V konvex. Zeigen Sie, daß ∑_{i=1}^{n} t_{i}x_{i} ∈ C für alle x_{i} ∈ C, t_{i} ≥ 0 so daß ∑_{i} t_{i} = 1 und n ∈ ℕ.

b) Sei n ∈ ℕ und M_{n}(ℂ) = B(ℂ^{n}) der Raum der n × n Matrizen mit Einträgen aus ℂ. Zeigen Sie, daß die Projektionen (p^{∗} = p = p^{2}) genau die Extremalpunkte der positiven Matrizen mit Norm kleiner oder gleich 1 sind.

Hinweis: Eine Matrix x = [x_{ij}] ∈ M_{n} ist positiv, wenn ⟨xξ, ξ⟩ ≥ 0 für alle ξ ∈ ℂ^{n}. Falls x positiv und x_{ii} = 0 folgt x_{ij} = x_{ji} = 0 für alle j = 1, …, n. Sei p ∈ M_{n} ein Projektor und 0 ≤ x, y ≤ 𝟙_{n}. Folgern Sie aus p = 1/2(x+y) daß x und y kommutieren. (Sie dürfen benutzen, daß dann x und y eine gemeinsame Orthonormal-Basis aus Eigenvektoren haben.)

c) Zeigen Sie, daß die selbstadjungierten und unitären n × n Matrizen (u^{∗} = u und u^{2} = 𝟙_{n}) genau die Extremalpunkte der selbstadjungierten Matrizen mit Norm kleiner oder gleich 1 sind.

Hinweis: Zerlegen Sie ein selbsadjungiertes v ∈ M_{n} geeignet als Differenz zweier positiver Matrizen und wenden Sie b) an. Für die andere Richtung, zeigen Sie zunächst daß die Identität 𝟙_{n} ∈ M_{n} ein Extremalpunkt der abgeschlossenen Einheitskugel von M_{n} ist. (Für den selbstadjungierten Teil der Einheitskugel ist das leicht zu sehen. Folgern Sie damit aus 𝟙_{n} = 1/2(x+y) daß x normal sein muß.)

Aufgabe 32 Bestimmen Sie die Extremalpunkte der abgeschlossenen Einheitskugeln von l_{∞}(ℕ, ℂ) und c_{0}(ℕ, ℂ). Folgern Sie, daß es keine Isometrie zwischen c_{0}(ℕ, ℂ) und c(ℕ, ℂ) geben kann.

Abgabe: Montag, 05.01.2004, vor der Vorlesung. Die Übungen werden betreut von Jörg Fischer (Zimmer 223, hjf@math.uni-sb.de).