Universität des Saarlandes Fachrichtung 6.1 — Mathematik Prof. Dr. Gerd Wittstock Jörg Fischer

9. Übung Funktionalanalysis WS 2003/04

Aufgabe 33 Sei X ein Vektorraum und C ⊂ X konvex mit den Eigenschaften

1. für jedes x ∈ X gibt es δ ≥ 0 so daß λx ∈ C für alle 0 ≤ λ ≤ δ,

2. λC ⊂ C für alle λ ∈ ℂ mit |λ| ≤ 1.

Zeigen Sie, daß durch ∥x∥_{C} = inf{ λ > 0 | x ∈ λC } eine Halbnorm auf X definiert wird. Jede Halbnorm ∥·∥ auf X ist von der Form ∥·∥ = ∥·∥_{C}, wobei C eine konvexe Menge mit den Eigenschaften 1. und 2. ist.

Aufgabe 34 Sei S: l_{1} → l_{1} definiert durch S((x_{n})_{n}) = (x_{n+1})_{n} und T = id_{l_{1}} −S. Zeigen Sie, daß T′(l_{∞}) nicht norm-dicht in (ker T)^{⊥} liegt.

Aufgabe 35

a) Sei X ein normierter Vektorraum und M ⊂ X′ eine Teilmenge, so daß die lineare Hülle von M norm-dicht in X′ liegt. Sei (x_{n})_{n} eine beschränkte Folge in X und x ∈ X, so daß φ(x_{n}) → φ(x) für alle φ ∈ M. Zeigen Sie, daß (x_{n})_{n} schwach gegen x konvergiert.

b) Zeigen Sie, daß man auf die Beschränktheit der Folge (x_{n})_{n} in a) nicht verzichten kann.

Hinweis: Im Spezialfall kann in a) X als Hilbertraum H und M als Orthonormalbasis von H gewählt werden.

Aufgabe 36 Sei X ein separabler Banachraum. Zeigen Sie, daß jede beschränkte Folge (φ_{n})_{n} in X′ eine schwach* konvergente Teilfolge hat, das heißt, daß es ein φ ∈ X′ und eine Teilfolge (φ_{g(n)})_{n} gibt so daß φ_{g(n)}(x) → φ(x) für alle x ∈ X.

Hinweis: Für { x_{n} | n ∈ ℕ } dicht in X wähle man sukzessive konvergente Teilfolgen (φ_{f_{1}(n)}(x_{1}))_{n}, (φ_{f_{2}(f_{1}(n))}(x_{2}))_{n},…. Dann ist die “Diagonalfolge” (φ_{f_{n}···f_{1}(n)}(x))_{n} konvergent für alle x ∈ X.

Abgabe: Montag, 12.01.2004, vor der Vorlesung.