Tagung des GDM-Arbeitskreises Geometrie 2016

Saarbrücken, 09.09.-11.09.2016

Einladung

Liebe Freundinnen und Freunde der Geometrie,

hiermit laden wir Sie zur 33. Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie vom 09.09.2016 - 11.09.2016 in Saarbrücken ein.

Unser Tagungsthema lautet

Konkrete Lernsituationen für den Geometrieunterricht

Darunter wollen wir insbesondere die folgenden Lernsituationen diskutieren

  • Weltbeobachtungen als Denkanlässe
  • Gedankenexperimente
  • Metaphern als Denkwerkzeuge
  • Beweisen in der Geometrie

„Quer“ dazu (sowie auch zu weiteren Lernsituationen im Geometrieunterricht) wollen wir die folgenden Aspekte ins Auge fassen:

  • Themenfelder zur Differenzierung
  • Geometrie in der Lehreraus- und -fortbildung

Hauptvortrag

Als Hauptvortragende konnten wir Rolf Bänziger und Edmond Jurczek (Zug, Schweiz) gewinnen:

"Geometrisches Praktikum": Geometrie mit Kopf, Herz und Hand -
die Erfolgsgeschichte eines Fachs

Das Wahlfach „Geometrisches Praktikum“ unterstützt durch seinen ganzheitlichen Ansatz den Einstieg in den gymnasialen Mathematikunterricht. In unterschiedlichen Modulen haben die Lernenden Zeit zu experimentieren, selbst Entdeckungen zu machen und sich vertieft mit einem Thema auseinanderzusetzen. Oft mündet ein Modul in ein Produkt: eine Zeichnung, eine Bastelarbeit, eine dynamische Konstruktion am Computer. Lehrpersonen können abseits von Lehrplanvorgaben Themen einbringen. Wie reagieren die Lernenden darauf? Einblicke und eine Bilanz nach 10 Jahren.

Organisatorisches

Die Tagung findet an der Universität des Saarlandes in Saarbrücken statt; die Unterbringung erfolgt in der Hermann Neuberger Sportschule, die am Rand des Campus gelegen ist. Tagungsbeginn ist Freitag um 18 Uhr mit einem gemeinsamen Abendessen. Die Zimmer können ab 17:30 Uhr bezogen werden.Tagungsende ist Sonntag um 13 Uhr.

Die Tagungsgebühr beträgt 195 € incl. 2 Übernachtungen und allen Mahlzeiten in der Sportschule, bzw. 115 € ohne Übernachtungen und Frühstück.

Kontoinhaber: Prof. Dr. Andreas Filler
Kontonr.: 0277594115
Kreditinstitut: Postbank Berlin
Bankleitzahl: 10010010
IBAN: DE63 1001 0010 0277 5941 15
BIC: PBNKDEFF

Am Freitagabend findet ein Gesellschaftsabend mit französischem Wein, Bier und Knabbereien an der Uni statt (in der Tagungsgebühr eingeschlossen); am Samstagabend können wir gemeinsam französisch essen gehen im Gasthaus Zum Adler - dem ältesten original erhaltenen Gasthaus in Alt-Saarbrücken - in der Nähe der Ludwigskirche (nicht in der Tagungsgebühr eingeschlossen).

Die Anmeldung erfolgt per Mail an Frau Mißler:  This e-mail address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. . Teilen Sie darin bitte auch mit, ob Sie einen Vortrag planen. Wie gemeinsam beschlossen und in den letzten Jahren erfolgreich praktiziert sollen die Vortragenden ausführlichere Kurzfassungen von 4-8 Seiten rechtzeitig, d.h. bis spätestens Ende August einreichen (per Mail an Frau Mißler:  This e-mail address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. ). Auf diese bewährte Weise soll eine tiefere Diskussion ermöglicht werden. Aus diesen nach der Tagung überarbeiteten, weiter ausgeführten und aufeinander abgestimmten Beiträgen soll wieder ein Tagungsband erstellt werden.

Angemeldete Teilnehmende (Stand 09.09.2016)

  1. Rolf Bänziger (Zug, Schweiz) -Hauptvortrag gemeinsam mit Edmond Jurczek
    Kurzfassung des Beitrages (PDF-Datei)
  2. Frank Etwein (Wuppertal)
  3. Andreas Filler (Berlin)
  4. Christoph Hammer (Osnabrück)
    Mehr Geometrie im Geometrieunterricht!
    Wieviel Geometrie ist (noch) im Geometrieunterricht? Verschiedene Aspekte geben Anlass  nachzudenken. Betrachtet man die Lehrplanentwicklung der letzten Zeit, so ist festzustellen, das vor allem Themen aus der Geometrie den Kürzungen zum Opfer fallen. Nimmt man von den verbleibenden Inhalten diejenigen weg, die eigentlich versteckte Algebra darstellen, wird die Bilanz noch bedenklicher. Es gibt mehrere Möglichkeiten, trotz dieser Situation gehaltvollen Geometrieunterricht zu gestalten. Eine davon soll im Beitrag vorgeschlagen werden. An Beispielen zum Flächeninhalt wird gezeigt, wie das Prinzip der Messung Vernetzungen erlaubt, die zum Verständnis grundlegender Strukturen führen können.
    Kurzfassung des Beitrags (PDF-Datei)
  5. Edmond Jurczek (Zug, Schweiz) -Hauptvortrag gemeinsam mit Rolf Bänziger
  6. Rainer Kaenders (Bonn) - Vortrag gemeinsam mit Ysette Weiss
    Geometrischer Silberblick
    Ähnlichkeit ist eines der tiefsten geometrischen Konzepte, dessen Vermittlung eine zentrale Rolle im Geometrieunterricht der Schule einnehmen sollte. Wir möchten im Detail zeigen, wie Ähnlichkeit einen Zugang zum Verständnis des binokularen Sehens leisten kann. Dieses Thema wird im Schulbuch "Neue Wege" angerissen und in einem verbreiteten Ausbildungswerk für  Unterrichtsentwürfe empfohlen.
  7. Sebastian Kitz (Wuppertal)
  8. Anselm Lambert (Saarbrücken)
    Figurierungen - konstruktiv-geometrische Argumente nicht nur in der Arithmetik
    Bekanntlich schlagen Figurierungen eine fruchtbare Brücke zwischen formal-algebraischen und konstruktiv-geometrischen symbolischen Darstellungen beim Begründen in der Arithmetik, etwa dabei, zu sehen, dass die Summe der n ersten ungeraden Zahlen stets eine Quadratzahl ist - oder etwas aufwändiger, dass die Differenz der Quadrate zweier Dreieckzahlen stets eine Kubikzahl ist, ebenso wie die Summe zentrierter Sechseckzahlen ... Weniger verbreitet, obwohl eigentlich naheliegend ist es, Figurierungen in der Stochastik zu nutzen, etwa bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten von Würfelsummen, die als Figurierungen im Wahrscheilichkeitsraum identifiziert werden können. Im Vortrag wird u.a. "gezeigt", dass die Anzahl der kontruierbaren Dreiecke beim Wurf dreier n-seitiger Laplace-Würfel und der Interpretation der Würfelzahlen als Streckenlängen durch die n-te Kubikzahl vermindert um das Dreifache der n-1-ten Tetraederzahl gegeben ist. Die Figurierungen werden im Vortrag mit einem DGS veranschaulicht und demonstrieren so Möglichkeiten und Grenzen des digitalen Werkzeugs bei diesem Thema. (PDF-Datei Vortragsfolien)
  9. Jonas Lotz (Saarbrücken)
  10. Matthias Römer (Saarbrücken)
  11. Manfred Schmelzer (Straubing)
    Ein fließender Übergang zwischen den binomischen Formeln, der Mitternachtsformel, der Satzgruppe des Pythagoras, und dem Skalarprodukt
    Ein Bilderrahmen aus vier gleichen Rechtecken eignet sich zur Erklärung der Mitternachtsformel. Schneidet man den inneren Teil längs der Rechteckdiagonalen aus, so ergeben sich zwei Figuren, die jeweils eine binomische Formel und beide den Satz von Pythagoras erklären.
    Je zwei Teilflächen dieser inneren und äußeren Figur ergeben zusammen ein Seitenquadrat an einem unechten Dreieck mit Innenwinkel  γ = 0° bzw.  γ =180°.
    Der fließende Übergang zwischen diesen beiden Figuren erfolgt über "Kosinussatzfiguren",
    welche die obigen Sachverhalte sowie den Kathetensatz und Kosinussatz einheitlich erklären.
    Aus der Definition des Skalarprodukts als Abweichung vom Satz von Pythagoras
    2a ○ b = a2 + b2 -c2 folgt eine Visualisierung des Skalarprodukts als orientierter Flächeninhalt in obigen Figuren.
    Präsentation zum Vortrag (PDF-Datei)
  12. Pascal Schmidt (Saarbrücken)
  13. Heinz Schumann (Weingarten)
    Raumgeometrische Entdeckungen am Beispiel „Würfelbillard“
    Das Thema „Würfelbillard“ gehört, fachmathematisch gesehen, zur komplexen und sich in der Entwicklung befindenden Theorie des mathematischen Billards, die in zahlreichen Publikationen dokumentiert ist. Als Basisliteratur ist zu nennen: „Geometrie und Billard“ von S. Tabachnikov (für ebenes Billard) und „Mathematische Billarde“ von G. A. Galperin & A. N. Semliakov (für ebenes und räumliches Billard). Für die Existenz von Billardbahnen in Polygonen bzw. Polyedern sind bis heute nur folgende hinreichende und nicht notwendige Bedingungen bekannt:  Billardbahnen existieren für jene konvexen Polygone bzw. konvexen Polyeder, deren Seiten mit gemeinsamem Eckpunkt bzw. Seitenflächen mit gemeinsamer Kante einen Winkel einschließen, der jeweils ein rationales Vielfaches von Pi (180°) ist. Die Beweise dafür sind schwierig und nicht elementar.
    Mittels eines geeigneten Dynamischen Raumgeometrie-Systems (DRGS), wie es das Cabri 3D ist,  kann das Billard in einfachen Polyedern, z. B. im Würfel, Quader, Parallelepiped und Tetraeder elementargeometrisch zugänglich gemacht werden. Dabei  wird das Entdecken von Aussagen über solche Billarde in DRGS durch die Visualisierung, die Konstruktion, die Messung und die direkte Manipulation und Variation räumlicher Objekte medial unterstützt. Andererseits kommen folgende heuristische Methoden beim Entdecken zum Tragen, die durch die Nutzung von DRGS eine Verstärkung erfahren:
    −    die Analogiebildung (insbesondere von ebener zu räumlicher Geometrie)
    −    die Induktion
    −    das Generalisieren und Spezialisieren
    −    die Analyse und Synthese
    −    das Transformieren.
    Das Entdecken im Kontext des Schulunterrichts: Das „Entdeckende Lernen“ ist eine zeitraubende und anspruchsvolle, aber auch eine motivierende Unterrichtsmethode, die im Unterrichtsalltag allenfalls als Methode des gelenkten Entdeckens (guided-inquiry learning) vorkommt. Die Unterrichtsvorbereitung für die Wiederentdeckung mathematischer Erkenntnisse ist, um einen gewissen Lernerfolg zu sichern, sehr arbeitsaufwendig. – Bei der Entdeckung raumgeometrischer Aussagen über das „Würfelbillard“ hat die Erkenntnisfindung Vorrang vor der Erkenntnissicherung in der Art elementargeometrischen Beweisens. Das Entdecken solcher Aussagen mit DRGS ist für Schüler und Schülerinnen ab der Klassenstufe 9/10 geeignet. Generell erfahren folgende geometrische Inhalte Anwendung und Übung: raumgeometrische Figuren und ihre Konstruktion; Punkt-, Geraden-, Ebenenspiegelung; Maß- und Symmetrieeigenschaften räumlicher Figuren; Raumvorstellung. Voraussetzung ist eine gewisse Fertigkeit in der Nutzung DRGS.
  14. Cathrin Schwindling (Saarbrücken)
  15. Klaus Volkert (Wuppertal)
  16. Rudolf vom Hofe (Bielefeld)
  17. Marie-Christine von der Bank (Saarbrücken)
    Fundamentale Ideen der Mathematik - Weiterentwicklung einer Theorie zu deren unterrichtspraktischer Nutzung
    Konzeptionen Fundamentaler Ideen der Mathematik drücken seit ihrer erstmaligen Formulierung durch BRUNER 1960 den Wunsch aus, Mathematikunterricht an wenigen zentralen Aspekten von Mathematik zu orientierten, die reichhaltig mit einander vernetzt eine Rekonstruktion von Mathematik im Unterricht ermöglichen. Somit sollen Stofffülle und Stoffisolierung verhindert werden. Ausgehend von einer Analyse der deutschen mathematikdidaktischen Forschungstradition wird eine Theorie Fundamentaler Ideen vorgestellt, die bereits bestehende Konzepte in verschiedene Ideenkategorien zusammenführt und ergänzt. Sie beschreiben Mathematik sowohl als Prozess durch Prozess-, Tätigkeits- und Schnittstellenideen als auch als Produkt durch Theorie-, Begriffs- und Inhaltsideen. Zudem werden mit den Persönlichkeitsideen Bereiche der Persönlichkeit (individuelle Denkweisen und Einstellungen zum Forschen) in den Blick genommen, die von großen Mathematikern (z.B. POINCARÉ und HADAMARD) als wesentlich für den mathematischen Forschungsprozess herausgestellt wurden. Die vorgestellte Theorie ist für den Einsatz im Mathematikunterricht zunächst zu komplex. Durch eine unterrichtspragmatische Reduktion werden die Ideenkategorien zusammengefasst und konkretisiert. Somit entsteht als strukturiertes und strukturierendes Analysewerkzeug der Vernetzungspentagraph. Dieser kann zur Analyse von Unterrichtsmaterial auf dort vorhandene oder ausgelassene Fundamentale Ideen und Vernetzungen zwischen ihnen eingesetzt werden.
    Vortragsfolien als PDF
  18. Hans Walser (Frauenfeld, Schweiz)
    Reuleaux-Zweiecke
    Analog zum Reuleaux-Dreieck, das sich in verschiedenen Positionen ins immer gleiche Quadrat einpassen lässt, gibt es Reuleaux-Zweiecke, die sich in ein gleichseitiges Dreieck einpassen lassen. Es werden zwei Beispiele vorgestellt sowie verschiedene Beweistechniken diskutiert: Rechnung, Einbinden in einen übergeordneten Zusammenhang, Kinematik. Ein wichtiger Aspekt ist die Beschreibung von Kurven in verschiedenen zueinander bewegten Referenzsystemen. Schließlich wird eine Verallgemeinerung auf Reuleaux-Vierecke besprochen.
    Link zu weiteren Vortragsunterlagen:
  19. Ysette Weiss (Mainz) - Vortrag gemeinsam mit Rainer Kaenders
  20. Katharina Wilhelm (Saarbrücken)
    Förderung mathematischen Problemlösens in der Sekundarstufe I – Theoretische Grundlagen und ein Unterrichtsversuch zum Problemlösen lernen im MU anhand geometrischer Denkaufgaben
    Das Lösen eines mathematischen Problems stellt für viele Schüler oft eine scheinbar nicht zu bewältigende Herausforderung dar, die bei ihnen womöglich auch Angst erzeugt, da sie keine Idee haben, wie sie an das Problem herangehen sollen. Jedoch kann man einen rechten Umgang mit Problemen und deren Bearbeitung nur durch das Lösen von selbigen erlernen. Um  den  Schülern  also  die  Chance  zu  geben, ihr Problemlösepotential zu entwickeln und zu entfalten  und  damit  Chancengleichheit  zu  gewähren,  ist  Problemlösenlernen ein explizites und wesentliches Ziel des MU (vgl. Bruderet al. 2011, S.7; Haas 2000, S.1). Doch wie sieht es in der Realität mit der Problemlösekompetenz  der  Schüler  aus? Es  besteht  Bedarf  an  Untersuchungen,  wie  man  den  MU  so  gestalten kann, dass die Problemlösekompetenzen der Schüler gefördert werden und sie beispielsweise ein erhöhtes Interesse  bzw.  eine  erhöhte  Anstrengungsbereitschaft  entwickeln.
    Ausgang  des Vortrages  ist  ein  Umriss  einiger theoretischer  Fakten  zum  Problemlösen,  woran  anschließend  eine  konkrete  Lernsituation  zur  Explizierung  von Heurismen vorgestellt wird. Basis des Vortrages bildet eine Untersuchung, in der in zwei Klassen eine dreistündige  Unterrichtseinheit  zum  Problemlösen  lernen durchgeführt  wurde, vergleichsweise  mit  und  ohne  Explizierung von Heurismen.
    Kurzfassung des Beitrags (PDF-Datei)
  21. Susanne Wöller (Leipzig)
    "Geometrisches Begriffsverständnis zu Würfeln und Quadern bei Kindern im Alter von 8 bis 12 Jahren - Eine Untersuchung zur Entwicklung des Begriffsverständnisses in konstruktiven Arbeitsumgebungen"
    Das Projekt nimmt die Entwicklung geometrischen Begriffsverständnisses bei Schülerinnen und Schülern im Alter von 8 bis 12 Jahren in den Blick und untersucht, wie Kinder ihre Vorstellungen und ihr Begriffswissen zu den Begriffen WÜRFEL und QUADER über Bauhandlungen an vorgegebenem Material (u. a. Fröbel´s 6. Spielgabe) artikulieren. Begleitend äußern sich die befragten Kinder verbal zu ihren Aktivitäten mit dem Material.
    Qualitative Analysen der konstruktiven Aktivitäten und der sprachlichen Kommentierungen lassen schließlich Rückschlüsse auf das individuell ausgeprägte Begriffswissen der Kinder zu. Im Rahmen der Studie werden halbstandardisierte klinische Interviews in Eins-zu-Eins-Situationen geführt, an denen überwiegend sächsische Schulkinder beteiligt sind. Diese Kinder werden ergänzend zu den konkreten geometrischen Aktivitäten im Hinblick auf ihren rezeptiven Wortschatz und ihre sprachliche Artikulationsfähigkeit getestet. Zudem nutzt das Projekt internationale Kooperationen (u. a. USM, Penang, Malaysia), um die empirische Fundierung der Längsschnittstudie anzureichern. Die qualitative Analyse der in den Interviews gewonnenen Daten orientiert sich methodologisch an Grundsätzen der empirisch begründeten Theoriebildung im Sinne der Grounded Theory (Corbin & Strauss, 2015).
    Kurzfassung des Beitrages (PDF-Datei)
  22. Klaus P. Wolff (Wörth)

Tagungsprogramm - Stand 5.9.16

Die Vorträge finden in HS IV in Gebäude E24 statt

Freitag

ab 17:00

Ankunft in der Unterkunft

18:00

Abendessen in der Sportschule

19:00

Fußweg zum Institut

19:15

Tagungseröffnung

19:30

Hauptvortrag
Rolf Bänziger & Edmond Jurczek
"Geometrisches Praktikum": Geometrie mit Kopf, Herz und Hand - die Erfolgsgeschichte eines Fachs

anschließend

Gesellschaftsabend (in Raum 317 in E24)

Samstag

8:00

Frühstück in der Sportschule

8:45

Fußweg zum Institut

9:00

Christoph Hammer
Mehr Geometrie im Geometrieunterricht

9:45

Manfred Schmelzer
Ein fließender Übergang zwischen den binomischen Formeln, der Satzgruppe des Pythagoras und dem Skalarprodukt

10:30

Kaffeepause

11:00

Marie-Christine von der Bank
Fundamentale Ideen der Mathematik – Weiterentwicklung einer Theorie zu deren unterrichtspraktischer Nutzung

11:45

Fußweg zur Sportschule

12:00

Mittagessen in der Sportschule



13:15

Fußweg zum Institut

13:30

Katharina Wilhelm
Förderung mathematischen Problemlösens in der Sekundarstufe I – Theoretische Grundlagen und ein Unterrichtsversuch zum Problemlösen lernen im MU anhand geometrischer Denkaufgaben

14:15

Susanne Wöller
Geometrisches Begriffsverständnis zu Würfeln und Quadern bei Kindern im Alter von 8 bis 12 Jahren – Eine Untersuchung zur Entwicklung des Begriffsverständnisses in konstruktiven Arbeitsumgebungen

15:00

Kaffeepause

15:30

Hans Walser
Reuleaux Dreiecke

16:15

Rainer Kaenders & Ysette Weiss
Geometrischer Silberblick

17:00

Kaffeepause

17:30

Verleihung der GDM-Ehrenmitgliedschaft an Hans Schupp durch den Vorsitzenden der GDM Rudolf vom Hofe

19:30

Abendessen im Gasthaus Zum Adler

Sonntag

8:00

Frühstück in der Sportschule

8:45

Fußweg zum Institut

9:00

Heinz Schumann
Raumgeometrische Entdeckungen am Beispiel „Würfelbillard“

9:45

Anselm Lambert
Figurierungen – konstruktiv-geometrische Argumente nicht nur in der Arithmetik

10:30

Kaffeepause

11:00

Abschlussbesprechung (Resümee und Ausblick)

11:45

Fußweg zur Sportschule

12:00

Mittagessen in der Sportschule

13:00

Tagungsende