Man betrachte einen Kreis mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M sowie einen festen Punkt P, der im Abstand a vom Mittelpunkt M in der Kreisebene liegt und mit diesem Kreis starr verbunden ist. Wird der Kreis auf einer Geraden abgerollt, so beschreibt die Bahn des Punktes P eine ebene Kurve, die sogenannte Zykloide.

Sie sollen die Ortslinie einer Zykloide zeichnen, bei der der Radius r des Kreises und der Abstand a des Punktes P vom Mittelpunkt M variabel sind. Geben Sie sich deshalb zuerst zwei Zahlobjekte vor, die den Radius r und den Abstand a regeln. Beide Zahlobjekte sollen den Bereich von 0 bis 4 abdecken.

Im nächsten Schritt richten Sie sich das Koordinatensystem ein und konstruieren einen Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r, der stets auf der x-Achse abrollt:

Dazu müssen Sie zunächst die Höhe des Mittelpunkts festlegen. Zeichnen Sie einen Kreis mit bestimmtem Radius. Als Radius klicken wählen Sie das Zahlobjekt r. Mittelpunkt soll der Ursprung sein. Durch den oberen Schnittpunkt dieses Kreises mit der y-Achse legen Sie eine Gerade, die orthogonal zur y-Achse verläuft. Auf dieser Geraden bewegt sich später der Mittelpunkt des Kreises. Binden Sie den Punkt M an diese Gerade und zeichnen Sie einen Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r. (Denken Sie daran, die Schieberegler mit "r" und "a" zu benennen!)

Verbergen Sie jetzt alle Hilfsobjekte und zeichnen Sie eine Lotgerade durch M auf die x-Achse. Den oberen Schnittpunkt nennen Sie A, den unteren B.

Wir denken uns nun die Abrollbewegung so, dass sie von links nach rechts verläuft und startet, wenn der Kreismittelpunkt M auf der y-Achse liegt. Obiges Bild zeigt dann eine spätere "Momentaufnahme". Der Abstand des Punktes B zum Ursprung ist die Länge des "abgerollten" Weges, zugleich also die Länge eines entsprechenden abgerollten Kreisbogens b. Zu diesem gehört ein (noch unbekannter) "Abrollwinkel" φ. Dieser Abrollwinkel φ berechnet sich (im Winkelmaß) wie folgt:

( pi * b ) / ( pi * r )  ---  Bemerkung: (= b / r )

Zeichnen Sie nun mit der Option "Gerade in bestimmtem Winkel" eine Gerade durch M im Winkel φ und geben Sie die Winkelgröße wie folgt ein: (Achten Sie dabei auf das Minuszeichen!)

– ( x(M) / r )

Der Punkt P liege auf dieser neuen Geraden. Den Abstand von P zu M soll das Zahlobjekt a liefern. Zeichnen Sie einen Kreis mit bestimmtem Radius. Für den Radius wählen Sie nun den Schieberegler von a. Ein Schnittpunkt dieses Kreises mit der Geraden liefert P.

Nachfolgend wird die Zeichnung anschaulicher gestaltet. Zeichnen Sie den Kreisbogen auf dem Abrollkreis ein, der durch B, M und P definiert ist. Dazu benötigen Sie den Schnittpunkt S. Konstruieren Sie dann den Kreisbogen mit dem Startpunkt S, dem Scheitelpunkt M und dem Endpunkt B. Gestalten Sie den Kreisbogen als dicke blaue Linie.

Zuletzt verbergen Sie alle Hilsobjekte und färben den Punkt P rot ein. Die Zykloide erhalten Sie nun, wenn Sie die Ortslinie von P erzeugen und dabei den Kreis über der x-Achse abrollen lassen. (mit M als Zugpunkt)

Kontrollieren Sie ihre Konstruktion, indem Sie die Werte für den Radius r und den Abstand a verändern. Hier können Sie sich zur Überprüfung die fertige DynaGeo-HTML-Datei ansehen.

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