In dieser Lektion geht es um die Illustration einer Extremwertaufgabe:

4 gleich lange Bretter der Breite 3 dm sollen so zu einer Rinne verbunden werden, dass die Querschnittsfläche dieser Rinne maximal wird. Die beiden äußeren Bretter stehen dabei parallel zueinander. (siehe nachfolgende Zeichnung)

Wie groß muss die Höhe h sein, damit die obige Bedingung erfüllt ist? Die exakte Lösung ist Sache des Analysis-Unterrichts und soll hier nicht ausführlich besprochen werden. (Sie sollten dennoch in der Lage sein, diese Aufgabe analytisch zu lösen!)

Die Zielfunktion F hat die folgende Gleichung: F(h) = (6+h)*√(9-h²)

Sie sollen hier den Sachverhalt mit Hilfe einer dynamischen Konstruktion visualisieren. Zur Konstruktion:

Als erstes lassen Sie sich das Koordinatensystem anzeigen. Verschieben Sie es mit der linken Maustaste so, dass nach rechts etwa 16 Einheiten und nach oben 12 Einheiten sichtbar sind. (Je nach Auflösung müssen Sie das KO-System auch verkleinern.) Zeichnen Sie dann eine (zur y-Achse) - senkrechte Gerade durch einen Punkt.

Konstruieren Sie einen Kreis mit Radius 3 cm um den Punkt auf dieser Geraden und lassen Sie sich die Schnittpunte der Gerade mit dem Kreis zeichnen. Danach benötigen Sie eine Orthogonale zur Geraden durch den Mittelpunkt und deren Schnittpunkte mit dem Kreis.

Auf dem rechten unteren Viertelkreis soll sich danach die Spitze der Rinne bewegen. Damit sie nicht darüber hinaus oder zu weit nach links bewegt werden kann, zeichnen Sie einen Kreisbogen mit dem vorhandenen Mittelpunkt, dem unteren Startpunkt und dem rechten Endpunkt.

Binden Sie an den erhaltenen Viertelkreis einen Punkt. Dieser wird von GeoGebra automatisch mit "F" benannt. (Der Punkt wird später die Spitze der Rinne sein) Um diesen Punkt schlagen Sie einen Kreis mit dem Radius 3 cm. Jetzt benötigen Sie den Schnittpunkt dieses neuen Kreises mit der horizontalen Geraden. Auf diesem neuen Schnittpunkt errichten Sie eine Orthogonale. Konstruieren Sie einen Kreis mit dem neuen Schnittpunkt als Mittelpunkt und dem Radius 3 cm. Der obere Schnittpunkt des Kreises mit der Orthogonalen liefert den letzten Punkt der Rinne.

Verbinden Sie die fünf Punkte der Figur nun zu einem Polygon und verbergen Sie anschließend die Hilfslinien. Geben Sie dem Fünfeck eine orangefarbene Füllung. Die äußeren Linien sollen dick gezeichnet, die obere Linie gestrichelt werden. Der untere Punkt F muss bewegt werden können.

Damit ist die Konstruktion der Rinne abgeschlossen. Nun zum Funktionsgraphen:

Damit der Graph den Rest des Bildschirms ausfüllt, werden wir ihn in x-Richtung strecken und in y-Richtung stauchen. Für die Koordinaten benötigen Sie die Länge der Höhe h. Dazu müssen Sie einige verborgene Punkte und Linien wieder sichtbar machen. Wie auf den Zeichnungen zu sehen, benötigen Sie für h den Mittepunkt der Strecke der unteren Bretterenden. Die Höhe h ist die Strecke vom unteren Punkt F bis zum beschriebenen Mittelpunkt. Zeichnen Sie die Strecke gestrichelt und nennen Sie diese "h". Lassen Sie sich zudem die Länge von h anzeigen!

Jetzt wieder zum Funktionsgraphen: Zeichnen Sie einen Punkt mit folgenden Koordinaten: (Eingabe der Exponenten mit "^")

x-Koordinate: 4*h --- (Bemerkung: entspricht Streckung mit dem Faktor 4)

y-Koordinate: (1/2) * [(9 – h² ) ^1/2 * (6+h)] --- (Bemerkung: entspricht Streckung mit dem Faktor 0,5)

Dabei stimmt der Term bei der y-Koordinate mit Ausnahme des Faktors "1/2" mit dem Funktionsterm der Zielfunktion überein. Bewegen Sie nun F und beobachten Sie, wie sich der zuletzt konstruierte Punkt bewegt. Lassen Sie sich seine Ortslinie zeichnen, während Sie F auf dem Viertelkreis bewegen.

Der Rest ist Kosmetik: Benennen Sie den erzeugenden Punkt der Ortslinie "Fläche" und verbergen Sie alle unerwünschten Elemente.

Hier können Sie zur Kontrolle die fertige DynaGeo-HTML-Datei öffnen.

Achtung: Beachten Sie, dass der Funktionsgraph zur Übersicht gestaucht wurde! Der "wahre Wert" der Zielfunktion ist nun genau das Doppelte des angezeigten Wertes.

Zurück zur Übersicht --- Weiter zu Übung 5