In dieser Lektion sollen Sie die sogenannte Linsengleichung der geometrischen Optik visualisieren:

1/f = 1/b + 1/g

Dabei bedeuten: f: Brennweite --- b: Bildweite --- g: Gegenstandsweite

Bei der Visualisierung müssen Sie folgende Bedingungen umsetzen:

1. Das ganze System soll sich am Mittelpunkt M verschieben lassen.
2. Der Gegenstand soll über den Fußpunkt G bis hin zur Linsenebene auf der optischen Achse horizontal beweglich sein.
3. Die Gegenstandshöhe soll über den Punkt G1 veränderbar sein.
4. Die Brennweite soll über den Brennpunkt F veränderbar sein.
5. Die Gültigkeit der Linsengleichung soll für alle gültigen Postionen numerisch dargestellt werden.

Realisieren Sie nun selber diese Visualisierung:

Da GeoGebra die Punkte von Beginn an automatisch benennt, haben wir die physikalischen Punktbezeichnungen erst zum Ende der Lektion eingefügt, bitte orientieren Sie sich daran. Zeichnen Sie nun einen beliebigen Punkt "M" in den Zeichenbereich. (Bis zum Ende der Lektion heißt der Punkt in GeoGebra "A" - wir führen die Benennung mit "M" aber fort.) Blenden Sie sich das Koordinatensytem ein. Durch M zeichnen Sie eine Parallele zur x-Achse. Zu dieser Geraden — sie soll die optische Achse darstellen — konstruieren Sie eine Orthogonale durch M. Diese orthogonale Gerade stellt die Linsenebene dar. Damit ist Forderung 1 aus der obigen Liste erfüllt — das System lässt sich unabhängig vom implementierten Koordinatensystem verschieben.

Verbergen Sie jetzt das interne Koordinatensystem. Binden Sie einen Punkt an die horizontale Gerade. Von M aus zeichnen Sie eine durch den neuen Punkt verlaufende Halbgerade. Dann verbergen Sie den Punkt wieder. Binden Sie jetzt einen Punkt "G" (hier: E) an diese Halbgerade.

Achtung: Beim Anklicken der Gerade bzw. Halbgerade wird ein Auswahlfenster geöffnet. Wählen Sie hier den Strahl bzw. die Halbgerade aus.

Mit dieser Konstruktion gewährleisten Sie, dass der Punkt nicht weiter als bis M verschoben werden kann. (Forderung 2) Durch den Punkt G konstruieren Sie eine Orthogonale zur optischen Achse. Danach binden Sie an diese Orthogonale den Punkt G1. (hier: D) (Forderung 3)

Zeichnen Sie einen Vektorpfeil von G nach G1 und verbergen Sie anschließend die zugrunde liegende Orthogonale.

Binden Sie nun einen weiteren Punkt F (hier: E) an die Halbgerade. (Forderung 4) Dies ist der Brennpunkt.

Die Konstruktion des Bildpunktes von G1 erfolgt nun mit optischen "Hilfsstrahlen":

Der Mittelpunktsstrahl ist eine Gerade durch G1 und M. Der Brennstrahl verläuft linksseitig durch den Brennpunkt. Beim Linsenaustritt verläuft er parallel zur optischen Achse. Der Schnittpunkt der beiden "Strahlen" ist dann der Bildpunkt, mit B1 (hier G) bezeichnet.

Zeichnen Sie durch den Bildpunkt eine Orthogonale zur optischen Achse. Der Schnittpunkt mit dieser Achse ist der Fußpunkt B (hier: H) des Bildes. Zeichnen Sie für das Bild einen Vektorpfeil von B nach B1 und verbergen Sie anschließend die zugrunde liegende Orthogonale.

Verändern Sie nun Linienart, Farbe und Punktform und verbergen Sie die Hilfslinien, um die Konstruktion fertigzustellen.

Nun können Sie endlich, in einem Schritt, allen Punkten die neuen (physikalischen) Bezeichnungen geben.

Es fehlt noch die Umsetzung von Forderung 5: In der Linsengleichung treten als Variable die Brennweite, die Gegenstandsweite und die Bildweite auf. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Bildweite auch negative Werte annehmen kann, falls der Gegenstand innerhalb der Brennweite liegt. Gegenstandsweite und Brennweite hingegen sind aufgrund der Konstruktion stets positiv.

Deshalb genügt es für die Gegenstandsweite und Brennweite den Abstand zu betrachten. Geben Sie also in die Termzeile am unteren Bildschirmrand folgendes ein: "Abstand(A,C)" für die Gegenstandsweite und "Abstand(A,E)" für die Brennweite.

Für die Bildweite müssen Sie die Differenz der x-Koordinaten von B und M betrachten. Dazu geben Sie "x(B) - x(M)" in Ihre Zeile ein. Die von GeoGebra neu berechneten Werte tauchen links in der Leiste der abhängigen Objekte auf. Benennen Sie diese Objekte mit den jeweiligen physikalischen Bedeutungen.

Um diese auf dem Bildschirm anzeigen zu lassen, müssen Sie die Option "Text einfügen" aktivieren: Hier geben Sie für jeden Wert allgemein ein:

"x-weite = " + x-weite (Beispiel: "Brennweite =" + Brennweite)

Bemerkung: Den Text in Hochkommas gibt GeoGebra als Text aus. Das Plus ("+") weist GeoGebra an, dass eine vorhandene Variable folgt, die ausgegeben werden soll. (Bedenken Sie dabei, die Variable zuvor auch so zu nennen!)

Fügen Sie auf diese Weise auch die beiden Textfenster "1/Brennweite" und "1/Gegenstandsweite + 1/Bildweite" ein, um zu erkennen, dass die Linsengleichung erfüllt ist. (Die Eingabe von Summen und Brüchen stellt kein Problem dar.)

Hier können Sie die fertige GeoGebra-HTML-Datei zur Kontrolle und dynamischen Überprüfung öffnen.

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