In dieser Lektion geht es darum, die Kegelschnitte (Parabel, Ellipse, Hyperbel) mit Hilfe ihrer Definition als Ortslinie zu visualisieren.

Die Parabel ist die Punktmenge, die von einer vorgegebenen Gerade und einem Punkt gleichen Abstand hat.

Die Ellipse ist die Punktmenge, die von einer vorgegebenen Gerade den x-fachen Abstand wie von einem Punkt hat. (x > 1)

Die Hyperbel ist die Punktmenge, die von einer vorgegebenen Gerade den x-fachen Abstand wie von einem Punkt hat. (0< x < 1)

Zeichnen Sie sich im ersten Schritt die Gerade und den Punkt. Dies sind die grundlegenden Bestandteile Ihrer Konstruktion. Nun legen Sie sich einen Schieberegler in Ihr Fenster und benennen es mit "a".

Zunächst konstruieren wir die Parabel. Da diese von Gerade und Punkt gleichen Abstand hat, legen wir um einen Punkt der Geraden und den "Brennpunkt" jeweils einen Kreis mit Radius a. Konstruieren Sie nun die Orthogonale zur Geraden, die durch den Punkt der Geraden geht, um den Sie den Kreis gezeichnet haben. Den Schnittpunkt zwischen Orthogonalen und Kreis markieren Sie.

Durch den neu erhaltenen Schnittpunkt legen Sie eine Parallele zur Ausgangsgeraden. Diese bildet (bei genügend großem bzw. kleinem a) mit dem Kreis um den Brennpunkt zwei Schnittpunkte. Diese sind Teil der Parabel.

Da GeoGebra keine Ortslinien in Abhängigkeit eines Schiebereglers zeichnen kann, müssen wir uns mit der Spur der zwei Punkte weiterhelfen. Klicken Sie mit der rechten Maustaste auf die Punkte und wählen Sie die Option "Spur anzeigen". Ziehen Sie nun am Schieberegler, um die Parabel zu erkennen. Verbergen Sie nun die Hilfslinien.

In der weiteren Übung wollen wir die Ellipse und Hyperbel noch dazu konstruieren. Dazu blenden Sie den Kreis um den Punkt der Geraden mit der Orthogonalen wieder ein. Den Kreis um den Brennpunkt müssen wir allerdings variieren. Für die Konstruktion der Ellipse wählen Sie den Radius des Kreises < a aus, in diesem Fall haben wir 0,5*a für eine übersichtliche Darstellung ausgewählt.

Den Radius zur Hyperbelkonstruktion geben Sie analog mit 2*a an. Sie erhalten nun also vier weitere Schnittpunkte mit der Parallelen der Ausgangsgeraden, die Sie alle markieren und deren Spurpunkte Sie durch Variieren von a aufzeichnen. Es ergibt sich folgende Zeichnung:

Bemerkung: Da die Spur der Punkte aktiviert ist, können Sie nur bedingt die Punkte A, B und C verändern. So wird Ihre Zeichnung unübersichtlich.

Hier können Sie wie üblich die fertige GeoGebra-HTML-Datei zur Kontrolle und dynamischen Überprüfung öffnen.

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