Algebra, Sommersemester 2015

Termin

Die Vorlesung findet montags und mittwochs statt, jeweils 10:15-11:45 Uhr. Montags sind wir in SR 10, mittwochs in HS IV. Der erste Termin ist der 20. April.

Hin und wieder werden wir im Laufe des Semesters den Ausweichtermin donnerstags um 14:15 in SR 9 nutzen.

Die Übungen finden mittwochs um 14:00 in HS III statt.

Thema

Die Vorlesung vermittelt Grundkenntnisse der Galoistheorie und der Lösungstheorie von polynomialen Gleichungssystemen mehrere Veränderlicher.

  1. Galoistheorie - Symmetrien der Lösungen einer Gleichung in einer Variablen
    • Lösung von algebraischen Gleichungen durch Radikale
    • Galoisgruppen der allgemeinen Gleichung d-ten Grades
    • Satz von Kronecker
  2. Lösungstheorie von polynomialen Gleichungssystemen mehrere Veränderlicher
    • Hilbertscher Nullstellensatz und Noether-Normalisierung
    • Gröbner-Basen, Ideal membership, Rechnen in Restklassenringen von Polynomringen
    • Komponentenzerlegung, Primärzerlegung
    • Ganzheit und Krull-Dimension, going-up und going-down

Voraussetzungen

Die Vorlesung schließt sich an die Einführung in die Algebra und Zahlentheorie im Wintersemester an, setzt Kenntnisse der Linearen Algebra I voraus, und richtet sich an Studenten der Mathematik Bachelor oder Lehramt ab dem 4. Semester.

Übungen

Die Übungen finden mittwochs um 14:00 in HS III statt. Übungsleiter ist Marvin Hahn.

Wöchentlich wird jeweils montags ein Übungsblatt verteilt. Die Aufgaben sind am darauffolgenden Montag in der Vorlesung oder bei Marvin abzugeben. Sie können alleine oder zu zweit abgeben. Die Blätter werden in den Übungen korrigiert und bewertet zurückgegeben.

Literatur

Ein Skript zur Vorlesung wird es nicht geben.

Es gibt unzählige Lehrbücher zu beiden Themenblöcken dieser Vorlesung. Im Folgenden finden Sie einige Empfehlungen, die gut zu meiner Vorlesung passen. In der Bibliothek ist ein entsprechender Semesterapparat eingerichtet. Es ist (wie bei jeder anderen Vorlesung auch) sicherlich empfehlenswert, nicht nur die Mitschrift zu benutzen, sondern selbst ein bisschen in der Literatur zu stöbern.

Für den 1. Teil:

Autor Titel Verlag ISBN
I. Stewart Galois Theory Chapman and Hall 1973 0-412-10800-3
E. Kunz Algebra Vieweg 1994 3-528-17243-6
G. Fischer, R. Sacher Einführung in die Algebra Teubner 1983 3-519-22053-9
M. Artin Algebra Birkhäuser 2003 3-7643-5938-2
S. Bosch Algebra Springer 1993 3-540-56833-6
J. C. Jantzen, J. Schwermer Algebra Springer 2006 3-540-21380-5
J.-P. Tignol Galois' Theory of Algebraic Equations World Scientific 2001 981-02-4541-6

Die Springer Lehrbücher können aus dem Netz der Universität heruntergeladen werden. Das letzte Buch der Liste beschreibt sehr schön die (mathematisch detaillierte) Geschichte der Galois-Theorie (im starken Kontrast zu den meisten modernen Darstellungen).

Für den 2. Teil:

Autor Titel Verlag ISBN
W. Decker, F.-O. Schreyer Varieties, Groebner Bases, and Algebraic Curves Manuscript
Atiyah, Macdonald Introduction to Commutative Algebra Addison-Wesley 1969 0-2010-0361-9

Arbeitsaufwand

  • 4 SWS Vorlesungen, 2 SWS Übungen
  • 9 Leistungspunkte
  • 60h Kontaktzeit für die Vorlesungen
  • 30h Kontaktzeit für die Übungen
  • 180h Selbststudium

Scheinkriterien

Am Ende der Vorlesung findet eine mündliche Prüfung statt. Um einen Schein zu erhalten, müssen Sie aktiv an den Übungen teilnehmen und die Prüfung bestehen. Aktive Teilnahme an den Übungen bedeutet insbesondere, in jeweils beiden Teilen der Vorlesung 50% der gestellten Aufgaben „sinnvoll zu bearbeiten“. Eine „sinnvolle Bearbeitung“ ist nicht notwendigerweise eine perfekte Lösung — im Einzelfall entscheidet der Übungsleiter.

Kontakt

Bei Fragen, Wünschen oder Kritik könnt ihr euch jederzeit an Marvin Hahn oder mich wenden.


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