Vollständig integrale Abbildungen definiert man unter Zuhilfenahme der vollständig nuklearen Abbildungen . Eine Abbildung heißt vollständig integral, wenn es eine Konstante c>0 und ein Netz von endlichrangigen gibt mit , das gegen in der Punkt-Norm-Topologie 57 konvergiert.
Die Menge aller dieser Abbildungen bildet den Raum der vollständig integralen Abbildungen.
Es gibt die kleinste all dieser Konstanten c, die die obige Bedingung erfüllen, die mit bezeichnet wird. definiert eine Norm, mit der zu einem Banachraum wird. Die Einheitskugel von ist also gerade der Punkt-Norm-Abschluß der Einheitskugel von .
Die kanonische Operatorraumstruktur erhält man, indem man die Einheitskugel von als Punkt-Norm-Abschluß der Einheitskugel von setzt.
Es gilt nach Definition
;
bei endlichdimensionalem
X ist sogar [EJR98, Lemma 4.1]
Integrale 58 Abbildungen sind vollständig integral [ER94, 3.10].
Die vollständig integralen Abbildungen erfüllen ebenfalls die -Idealeigenschaft . Im Gegensatz zu den vollständig nuklearen Abbildungen sind sie aber lokal . Man hat aber im allgemeinen nur [EJR98].