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Seien X und Y Operatorräume.
Die
vollständig nuklearen Abbildungen von X nach Y
[ER94, §2], [EJR98, §3],
werden über die
projektive Operatorraumtensornorm erklärt.
Man betrachtet die Fortsetzung der kanonischen Identität
:
Es ist
das injektive Tensorprodukt
und
das projektive Tensorprodukt .
Eine Abbildung heißt vollständig nuklear, wenn sie im Bild von
liegt.
Man bezeichnet mit
den Raum der vollständig nuklearen Abbildungen und versieht ihn mit der
Quotienten operatorraumstruktur.
Die Operatorraumnorm wird mit
bezeichnet.
und
sind i.a. nicht isometrisch.
Nukleare 55
Abbildungen sind vollständig nuklear.
[ER94, 3.10]
Die projektive Tensornorm erhält i.a. keine vollständigen Isometrien.
Deshalb ist (anders als bei den vollständig beschränkten Abbildungen)
auch für Unterräume
die kanonische Einbettung
i.a. nur vollständig kontrahierend und nicht isometrisch.
Da die projektive Tensornorm Quotientenabbildungen erhält, gibt
es zu jeder nuklearen Abbildung
mit
,
von einem Unterraum
eine Fortsetzung
auf ganz X mit
.
Die vollständig nuklearen Abbildungen haben die
-Idealeigenschaft .
Weiter ist mit
auch
vollständig nuklear, und es gilt:
[EJR98, Lemma 3.2].
Eine Abbildung
ist genau dann vollständig nuklear, wenn es eine Faktorisierung der Form
gibt. Dabei sind a, b Hilbert-Schmidt-Operatoren und definieren die
Abbildung
.
Für die vollständig nukleare Norm gilt dann:
genau
dann, wenn für alle
ein Diagramm mit
existiert
56
[ER94, Thm. 2.1].
Man beachte, daß die vollständig nuklearen Abbildungen
nicht lokal sind.
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Lehrstuhl Prof. Dr. Gerd Wittstock
1999-09-04