Funktionen

Eine Abbildung $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ mit Zielbereich $\mathbb{R}$ heißt auch Funktion. Für Funktionen $f$, $g$ lassen sich Summe, Produkt, und Quotient punktweise für $x \in M$ definieren:

$$(f+g)(x) := f(x)+g(x),$$

$$(f\cdot g)(x) := f(x)\cdot g(x),$$

$$\left(\frac{f}{g}\right)(x) := \frac{f(x)}{g(x)} g(x)\neq 0 ,$$

wobei $\frac{f}{g}$ nur auf $M\setminus \{x \in M \mid g(x)=0\}$ erklärt ist.

Entsprechend definiert man

$$\vert f\vert(x) := \vert f(x)\vert,$$

$$\max(f,g)(x) := \max\{f(x),g(x)\}$$

und $\min(f,g)$. Weiter hat man die punktweisen Beziehungen

$$f\leq g \quad:\Leftrightarrow\quad \forall x\in M: f(x)\leq g(x).$$

und

$$f< g \quad:\Leftrightarrow\quad \forall x\in M: f(x)< g(x).$$

Definition 1.4.1   Eine Menge $M \subseteq \mathbb{R}$ heißt

a)

nach oben beschränkt, falls

$$\exists C\in \mathbb{R}\ \forall x \in M: x \leq C.$$

b)

nach unten beschränkt, falls

$$\exists C\in \mathbb{R}\ \forall x \in M: C \leq x.$$

c)

beschränkt, falls $M$ nach unten und nach oben beschränkt ist.

Die $C\in\mathbb{R}$, die a) bzw. b) erfüllen heißen obere, bzw. untere Schranke von $M$.

$M$ ist genau dann beschränkt, wenn ein reelles $C$ existiert, so daß für alle $x$ aus $M$ gilt $\vert x\vert \leq C$.

Beispiele 1.4.2   Siehe auch [KABALLO, S. 22].

a)

Hat $M \subset \mathbb{R}$ ein Maximum, so ist $M$ nach oben beschränkt. Hat $M \subset \mathbb{R}$ ein Minimum, so ist $M$ nach unten beschränkt.

b)

Für $0\leq q<1$ ist $\left\{ \sum_{k=0}^{n} q^k \mid n \in \mathbb{N} \right\}$ beschränkt

c)

$\left\{x \in \mathbb{R}\mid x^3\leq 2 \right\}$ ist nach oben, aber nicht nach unten beschränkt.

Wichtige Teilmengen von $\mathbb{R}$ sind beschränkte oder unbeschränkte Intervalle:

$$[a,b] := \left\{ x \in \mathbb{R}\mid a \leq x \leq b\right\}$$

$${[a,b)} := \left\{ x \in \mathbb{R}\mid a \leq x < b\right\}$$

$${(a,b]} := \left\{ x \in \mathbb{R}\mid a < x \leq b\right\}$$

$${(a,b)} := \left\{ x \in \mathbb{R}\mid a <x < b\right\}$$

$${[a,\infty)} := \left\{ x \in \mathbb{R}\mid a \leq x \right\}$$

$${(a,\infty)} := \left\{ x \in \mathbb{R}\mid a <x < b\right\}$$

$${(-\infty,b]} := \left\{ x \in \mathbb{R}\mid x \leq b\right\}$$

$${(-\infty,b)} := \left\{ x \in \mathbb{R}\mid x < b\right\}$$

Das Symbol $\infty$ für ,,unendlich`` steht hier, wie im folgenden, lediglich als Abkürzung.

Die Beschränktheitsbegriffe für Mengen lassen sich auf Funktionen übertragen, in dem man sie auf die Bilder der Funktionen anwendet.

Definition 1.4.3   Sei $M$ eine Menge. Eine Funktion $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ heißt

1. nach oben beschränkt, falls $f(M)$ nach oben beschränkt ist.
2. nach unten beschränkt, falls $f(M)$ nach unten beschränkt ist.
3. beschränkt, falls $f(M)$ beschränkt ist.

Definition 1.4.4   Sei $M$ eine Menge.

1. Eine Funktion $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ besitzt ein Minimum, falls $f(M)$ ein Minimum besitzt. Punkte $x_0\in M$ mit
   $$f(x_0)= \min_{x\in M} f(x) :=\min f(M)$$
   heißen Minimalstellen.
2. Eine Funktion $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ besitzt ein Maximum, falls $f(M)$ ein Maximum besitzt. Punkte $x_0\in M$ mit
   $$f(x_0)= \max_{x\in M} f(x) :=\max f(M)$$
   heißen Maximalstellen.

Maximalstellen und Minimalstellen nennen wir auch Extremalstellen.

Für Funktionen mit $D(f) \subseteq \mathbb{R}$ führt man folgende Monotoniebegriffe ein:

Definition 1.4.5   Es sei $M \subseteq \mathbb{R}$. Eine Funktion $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ heißt

1. 1. monoton wachsend, falls für alle $x$, $y\in M$ aus $x<y$ folgt, daß $f(x)\leq f(y)$ ist.
   2. streng monoton wachsend, falls für alle $x$, $y\in M$ gilt, daß aus $x<y$ die Abschätzung $f(x) < f(y)$ folgt.
2. 1. monoton fallend, falls für alle $x$, $y\in M$ mit $x<y$ stets $f(x) \geq f(y)$ ist.
   2. streng monoton fallend, falls $f(x) > f(y)$ für alle $x, y\in M$ mit $x<y$.

Beispiele 1.4.6   Siehe auch [KABALLO, S. 24].

1. Konstante Funktionen sind monoton wachsend und fallend.
2. Die Potenzfunktionen sind auf $[0,\infty)$ streng monoton wachsend.
3. Die Potenzfunktionen $\mathbb{R}\ni x\rightarrow x^n$ sind genau dann streng monoton wachsen, wenn $n$ ungerade ist.
4. Die Inversion $x \mapsto \frac{1}{x}$ ist auf $(0,\infty)$ streng monoton fallend.

Bemerkung 1.4.7   Im Fall $M$, $N\subseteq\mathbb{R}$ nennt man die Umkehrabbildung $f^{-1}$ der Funktion $f:M\rightarrow N$ auch Umkehrfunktion.

Satz 1.4.8   Es seien $M \subseteq \mathbb{R}$ und $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ streng monoton wachsend.

1. Dann ist $f$ injektiv.
2. Dann ist $f:M\rightarrow f(M)$ bijektiv.
3. Dann ist $f^{-1}:f(M)\rightarrow M$ streng monoton wachsend.

Dieser Satz gilt sinngemäß auch für streng monoton fallende Funktionen.

Beispiele 1.4.9   Siehe auch [KABALLO, S. 26].

1. Die Potenzfunktionen $\mathbb{R}\ni x\rightarrow x^n \in \mathbb{R}$ sind genau dann injektiv, wenn $n$ ungerade ist. Wir werden später sehen, daß sie dann sogar bijektiv sind
2. Die Inversion $x \mapsto \frac{1}{x}$ ist auf $(0,\infty)$ bijektiv.