Folgen

Definition 1.4.10  

Eine Funktion $a:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$ heißt Folge. Die Funktionswerte $a_n :=a(n)$ heißen Folgenglieder. Man schreibt die Folge $a$ in der Form:

$$\left( a(n)\right)_{n=1}^\infty = \left(a_n\right)_{n=1}^\infty = (a_n)_{n\in\mathbb{N}} = (a_n)_n :=a.$$

oder auch als $a_n$, $n\in\mathbb{N}$, bzw. $a_n$ $(n\in\mathbb{N})$ oder ganz anschaulich als

$$a_1,a_2,a_3,\dots.$$

Folgen können auch mit einem $n_0\in\mathbb{Z}$ beginnen. z.B. $(a_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$.

Bei einer Folge kommt es auf die Reihenfolge der Folgenglieder an. Man unterscheide die Folge $(a_n)_n$ und ihre Bildmenge $a(\mathbb{N}) = \{a_n \mid n\in \mathbb{N}\}$.

Allgemeiner nennt man eine Abbildung $a:\mathbb{N}\rightarrow M$ eine Folge in der Menge $M$ und spricht im Fall $M=\mathbb{R}$ von reellen Folgen.

Beispiele: (Folgen)

1. 
   

   $$\textstyle (\frac{1}{n})_{n=1}^\infty = \textstyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots$$

   $$\textstyle (\frac{1}{n^2})_{n=1}^\infty \leq (\textstyle\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$$

   $$(a_n)_{n\in\mathbb{N}} + (b_n)_{n\in\mathbb{N}} = (a_n + b_n)_{n\in\mathbb{N}}$$

   $$(a_n)_n (b_n)_n = (a_n b_n)_n$$

   
   
   Wenn alle Folgenglieder $b_n\not=0$, so ist $(\frac{a_n}{b_n} )_{n\in\mathbb{N}}$ wieder eine Folge.

2. Zu einer Folge $(a_n)_n$ kann man die Folge $(s_n)_n$ der Partialsummen
   $$s_n :=\sum_{k=1}^n a_k$$   $$\mbox{f\uml ur $n \in \mathbb{N}$}$$$$$$

   bilden. Die Folge $\left(\sum_{k=1}^n a_n\right)_n$ nennt man auch eine (unendliche) Reihe und die $a_n$ die Summanden der Reihe.

3. Da Folgen Funktionen sind, kann man auf sie die bereits bekannten Beschränktheits- und Monotoniebegriffe verwenden.

   Eine Folge $(a_n)_n$ heißt monoton wachsend, wenn $a_n \leq a_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt und streng monoton wachsend, wenn ....

   Eine Folge von Partialsummen $s_n = \sum_{k=1}^n a_k$ ( $n\in \mathbb{N}$) ist monoton wachsend, wenn die Summanden $a_n \geq 0$ sind.

4. Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Folgen. Man kann Folgen auch rekursiv definieren. Z.B. die Folge der Fibonacci-Zahlen:

   $$a_0 :=0, \ a_1 :=1$$ Anfangswerte:

   $$a_n :=a_{n-2} + a_{n-1} \mbox{f\uml ur $n=2,3,\dots$}$$ Rekursion:

   
   
   Es ist also:
   $$(a_n)_n = 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\dots$$

Beispiele 1.4.11 (harmonische Reihe)  

1. Die Folge $h_n :=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ ( $n\in \mathbb{N}$) heißt harmonische Reihe.
2. Wir werden später sehen, daß die Partialsummen $s_n :=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ ( $n\in \mathbb{N}$) gegen $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449340$ streben.

$n$	$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$	$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$
2	1,5	1,25
3	1,833	1,3611
5	2,2833	1,46361
10	2,92897	1,54977
100	5,18738	1,63498
10000	9,78761	1,64483
$10^6$	14,39272672	1,6449331
$10^{10}$	23,60306659	1,6449340

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Satz 1.4.12   Für alle $n$, $m \in \mathbb{N}$ und $n\geq 2^m$ gilt die Abschätzung

$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\geq 1+\frac{m}{2}.$$

Anmerkung: Dies wurde zum erstenmal um 1350 von Nicole ORESME - Bischhof von Lisieux - gezeigt.

Da $\mathbb{N}$ anschaulich unbeschränkt ist - dies werden wir auch noch als Axiom formulieren - ist die Folge $\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} \right)_n$ unbeschränkt.

Satz 1.4.13   Für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt die Abschätzung

$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}\leq 2.$$

Zum Beweis siehe Vorlesung oder [KABALLO, S. 33].

Beweis .

Wir geben hierfür zwei Beweise:

1. Man vergleiche $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$ mit der Teleskopsumme
   $$1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{(k-1)k} = 1 + \sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)\ .$$

2. Man zeige induktiv, daß
   $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \leq 2-\frac{1}{n}$$
   ist.