Eine Funktion heißt Folge. Die Funktionswerte heißen Folgenglieder. Man schreibt die Folge in der Form:
Bei einer Folge kommt es auf die Reihenfolge der Folgenglieder an. Man unterscheide die Folge und ihre Bildmenge .
Allgemeiner nennt man eine Abbildung eine Folge in der Menge und spricht im Fall von reellen Folgen.
Beispiele: (Folgen)
bilden. Die Folge nennt man auch eine (unendliche) Reihe und die die Summanden der Reihe.
Eine Folge heißt monoton wachsend, wenn für alle gilt und streng monoton wachsend, wenn ....
Eine Folge von Partialsummen ( ) ist monoton wachsend, wenn die Summanden sind.
Anfangswerte: | ||||
Rekursion: |
2 | 1,5 | 1,25 |
3 | 1,833 | 1,3611 |
5 | 2,2833 | 1,46361 |
10 | 2,92897 | 1,54977 |
100 | 5,18738 | 1,63498 |
10000 | 9,78761 | 1,64483 |
14,39272672 | 1,6449331 | |
23,60306659 | 1,6449340 |
Anmerkung: Dies wurde zum erstenmal um 1350 von Nicole ORESME - Bischhof von Lisieux - gezeigt.
Da anschaulich unbeschränkt ist - dies werden wir auch noch als Axiom formulieren - ist die Folge unbeschränkt.
Zum Beweis siehe Vorlesung oder [KABALLO, S. 33].
Beweis .
Wir geben hierfür zwei Beweise: