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Folgen

Definition 1.4.10  

Eine Funktion $ a:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$ heißt Folge. Die Funktionswerte $ a_n :=a(n)$ heißen Folgenglieder. Man schreibt die Folge $ a$ in der Form:

$\displaystyle \left( a(n)\right)_{n=1}^\infty
= \left(a_n\right)_{n=1}^\infty
= (a_n)_{n\in\mathbb{N}} = (a_n)_n :=a.
$

oder auch als $ a_n$, $ \scriptstyle n\in\mathbb{N}$, bzw. $ a_n$ $ \scriptstyle(n\in\mathbb{N})$ oder ganz anschaulich als

$\displaystyle a_1,a_2,a_3,\dots.
$

Folgen können auch mit einem $ n_0\in\mathbb{Z}$ beginnen. z.B. $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$.

Bei einer Folge kommt es auf die Reihenfolge der Folgenglieder an. Man unterscheide die Folge $ (a_n)_n$ und ihre Bildmenge $ a(\mathbb{N}) = \{a_n \mid n\in \mathbb{N}\}$.

Allgemeiner nennt man eine Abbildung $ a:\mathbb{N}\rightarrow M$ eine Folge in der Menge $ M$ und spricht im Fall $ M=\mathbb{R}$ von reellen Folgen.

Beispiele: (Folgen)


  1. $\displaystyle \textstyle (\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \textstyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots$  
    $\displaystyle \textstyle (\frac{1}{n^2})_{n=1}^\infty$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle (\textstyle\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$  
    $\displaystyle (a_n)_{n\in\mathbb{N}} + (b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a_n + b_n)_{n\in\mathbb{N}}$  
    $\displaystyle (a_n)_n (b_n)_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a_n b_n)_n$  

    Wenn alle Folgenglieder $ b_n\not=0$, so ist $ (\frac{a_n}{b_n} )_{n\in\mathbb{N}}$ wieder eine Folge.

  2. Zu einer Folge $ (a_n)_n$ kann man die Folge $ (s_n)_n$ der Partialsummen

    $\displaystyle s_n :=\sum_{k=1}^n a_k$   $\displaystyle \mbox{f\uml ur $n \in \mathbb{N}$}$$\displaystyle $

    bilden. Die Folge $ \left(\sum_{k=1}^n a_n\right)_n$ nennt man auch eine (unendliche) Reihe und die $ a_n$ die Summanden der Reihe.

  3. Da Folgen Funktionen sind, kann man auf sie die bereits bekannten Beschränktheits- und Monotoniebegriffe verwenden.

    Eine Folge $ (a_n)_n$ heißt monoton wachsend, wenn $ a_n \leq a_{n+1}$ für alle $ n\in \mathbb{N}$ gilt und streng monoton wachsend, wenn ....

    Eine Folge von Partialsummen $ s_n = \sum_{k=1}^n a_k$ ( $ \textstyle n\in \mathbb{N}$) ist monoton wachsend, wenn die Summanden $ a_n \geq 0 $ sind.

  4. Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Folgen. Man kann Folgen auch rekursiv definieren. Z.B. die Folge der Fibonacci-Zahlen:

      Anfangswerte: $\displaystyle a_0$ $\displaystyle :=0, \ a_1 :=1$    
      Rekursion: $\displaystyle a_n$ $\displaystyle :=a_{n-2} + a_{n-1}$   $\displaystyle \mbox{f\uml ur $n=2,3,\dots$}$    

    Es ist also:

    $\displaystyle (a_n)_n = 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\dots
$

Beispiele 1.4.11 (harmonische Reihe)  

  1. Die Folge $ h_n :=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $ ( $ n\in \mathbb{N}$) heißt harmonische Reihe.
  2. Wir werden später sehen, daß die Partialsummen $ s_n :=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ ( $ n\in \mathbb{N}$) gegen $ \frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449340$ streben.

$ n$ $ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ $ \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$
2 1,5 1,25
3 1,833 1,3611
5 2,2833 1,46361
10 2,92897 1,54977
100 5,18738 1,63498
10000 9,78761 1,64483
$ 10^6$ 14,39272672 1,6449331
$ 10^{10}$ 23,60306659 1,6449340
<>

Satz 1.4.12   Für alle $ n$, $ m \in \mathbb{N}$ und $ n\geq 2^m$ gilt die Abschätzung

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\geq 1+\frac{m}{2}.
$

Anmerkung: Dies wurde zum erstenmal um 1350 von Nicole ORESME - Bischhof von Lisieux - gezeigt.

Da $ \mathbb{N}$ anschaulich unbeschränkt ist - dies werden wir auch noch als Axiom formulieren - ist die Folge $ \left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} \right)_n$ unbeschränkt.

Satz 1.4.13   Für alle $ n\in \mathbb{N}$ gilt die Abschätzung

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}\leq 2.
$

Zum Beweis siehe Vorlesung oder [KABALLO, S. 33].

Beweis .

Wir geben hierfür zwei Beweise:

  1. Man vergleiche $ \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$ mit der Teleskopsumme

    $\displaystyle 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{(k-1)k} =
1 + \sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)\ .
$

  2. Man zeige induktiv, daß

    $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \leq 2-\frac{1}{n}
$

    ist.


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Analysis1-A.Lambert 2001-02-09