Grenzwert des Differenzenquotienten

Bemerkung. Es seien $I$ ein offenes Intervall, $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ und $a\in I$ ein fester Punkt.

Für eine weiteren Punkt $x \in I$, $x\not= a$, bilde man die Sekante durch die Punkte $(a,f(a))$ und $(x,f(x))$:

$$\mathbb{R}\ni t \mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\,t + f(a)$$   (Sekantengleichung).$$$$

Die Frage ist, ob für $x \to a$ die Sekanten gegen eine Grenzfunktion konvergieren. Wenn ja, heiße diese Grenzfunktion die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkte $(a,f(a))$.

Offensichtlich existiert die Tangente (die Grenzfunktion) genau dann, wenn der Grenzwert der Steigung der Sekanten

$$\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =$$   Steigung der Tangente$$$$

existiert.

Bemerkung. Wir lösen uns von der geometrischen Sprechweise und nennen die Steigung der Sekante Differenzenquotient.

Definition 3.2.1 (Differenzenquotient)  

Es seien $I$ ein offenes Intervall, $a\in I$ und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$.

Die Funktion

$$x \mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$   für $x\in I \setminus \{a\}$$$$$

heißt der Differenzenquotient von $f$ an der Stelle $a$.

Definition 3.2.2 (Ableitung in einem Punkt)  

Sei $I$ ein offenes Intervall. Eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ heißt differenzierbar im Punkt $a\in I$, wenn der Grenzwert

$$f'(a):=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

existiert. In diesem Fall heißt $f'(a)$ die Ableitung von $f$ an der Stelle $a$.

Bemerkung. Manchmal ist es praktischer, den um $a$ verschobenen Differenzenquotienten zu betrachten.

$$h \mapsto \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$   für $h\in (I-a)\setminus \{0\}$$$$$

Man erhält dann die Ableitung als Grenzwert im Nullpunkt:

$$f'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$   .$$$$

Bezeichnung 3.2.3 (Abgeleitete Funktion)  

Es sei $I$ ein offenes Intervall. Eine Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ heißt differenzierbar auf $I$ oder differenzierbar im Intervall $I$, wenn $f$ in jedem Punkt des Intervalls $I$ differenzierbar ist.

Dann ist die Ableitung $f'$ eine Funktion auf $I$:

$$f':I\rightarrow \mathbb{R}$$   mit$$\quad f': x \mapsto f'(x)$$   für $x \in I$.$$$$

$f'$ heißt die abgeleitete Funktion zu $f$ oder kurz die Ableitung von $f$.

Man findet in Literatur weitere Bezeichnungen für die Ableitung, insbesondere, wenn $f'(x)$ für alle $x \in I$ existiert.

Bezeichnung 3.2.4 (für die Ableitung)  

Differentialquotient:

Es sei $x$ die unabhängige Variable der Funktion $f$. Nach LEIBNITZ nennt man die Ableitung auch Differentialquotient und schreibt für die Ableitung im Punkt $a$

$$\bigl(\frac{d}{dx} f\bigr)(a) = \frac{df}{dx}(a) =\frac{df(x)}{dx}\Bigr\vert _{x=a} :=f'(a)$$   .$$$$

Für die abgeleitete Funktion schreibt man

$$\frac{d}{dx} f = \frac{df}{dx} :=f'$$   .$$$$

Differentiations-Operator:

     $D : f\mapsto Df= D(f):=f'$ und $Df(a) = (Df)(a) :=f'(a)$

Bemerkung.

1. Wenn man das Differential richtig definiert (siehe ... ), ist der Differentialquotient wirklich ein Quotient und man schreibt:
   $$df(a) = f'(a)\,dx$$

2. Der Begriff Differential wirkt zunächst etwas schillernd, da man in Physikbüchern häufig kommentarlos für kleine Änderungen $\Delta x$ die Differenz $\Delta f = f(x+\Delta x)-f(x)$ mit dem Differential $df(x) = f'(x)\,dx$ identifiziert und $df(x)$ als infinitesimale Änderung bezeichnet.
3. Wir führen die Differentiale und den Differentialquotienten deshalb erst am Ende des Kapitels ein, wenn die wesentlichen Eigenschaften der Ableitung geklärt sind.

   Dann klärt sich auch der oben angedeutete Gebrauch der Differentiale in der Physik.

Bezeichnung.

1. In der Physik werden nach NEWTON Ableitungen nach der Zeit mit einem Punkt bezeichnet. Bsp.
   $$a(t) = \dot{v}(t)$$
   ist die Beschleunigung $a$ als Ableitung der Geschwindigkeit $v$.
2. Ableitungen werden auch bezeichnet, indem man die Variable, nach der differenziert wird, als Index schreibt:
   $$f_{x} :=f'$$   und$$\quad f_{xx}= f''$$.$$$$
   Dies ist besonders bei partiellen Ableitungen verbreitet:
   $$f_t - f_{xx} :=\frac{\partial f}{\partial t} -\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0$$   (Wärmeleitungsgleichung).$$$$

Beispiele 3.2.5 (Ableitung von Potenz und Wurzel)  

1. $(x^n)' = nx^{n-1}$ für $n\in\mathbb{N}_0$ und $x \in \mathbb{R}$.
2. $$(x^{\frac{1}{n}})' = \frac{1}{n} x^{\frac{1}{n}-1}$$ für $n\in \mathbb{N}$ und $x\in (0,\infty)$.

Beweis .

1. Für $n\in\mathbb{N}_0$ und $x\not= a$ gilt
   $$\frac{x^n-a^n}{x-a} = \sum_{k=0}^{n-1} x^k a^{n-1-k} \to n a^{n-1}$$   für $x \to a$.$$$$

2. Für $n\in \mathbb{N}$ ist der Grenzwert für $x \to a$ und $x\not= a$:
   $$\frac{ x^{\frac{1}{n}}-a^{\frac{1}{n}} }{ x-a } = \frac{ x^{\frac... ...} = \sum_{k=0}^{n-1} x^{\frac{k}{n}} a^{\frac{n-1-k}{n}} \to n a^\frac{n-1}{n}$$   .$$$$

Feststellung 3.2.6 (differenzierbar $\Rightarrow$ stetig)  

Ist $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ an der Stelle $a\in I$ differenzierbar, dann ist $f$ an der Stelle $a$ stetig.

Bemerkung. 1. Die Umkehrung ist falsch, wie das Beispiel der Betragsfunktion zeigt:

$$f(x) :=\vert x\vert \quad\Rightarrow\quad \frac{f(x)-f(0)}{x-0} ... ...text{f\uml ur \( x<0 \),}\\ 1 &\text{f\uml ur \( x>0 \).} \end{array}\right.$$

2. Es gibt Beispiele stetiger Funktionen auf einem Intervall, die in keinem Punkte differenzierbar sind.

Das erste Beispiel einer solchen Funktion wurde von K. WEIERSTRASS 1861 veröffentlicht. Einige Jahrzehnte zuvor hatte bereits B. BOLZANO ein derartiges Beispiel konstruiert.

3. Für ein einfaches Beispiel von T. TAKAGI (1903) einer nirgends differenzierbaren, stetigen Funktion vergleiche man Kaballo Beispiel 19.15 oder Koenigsberger Kapitel 9.11.

Beweis (differenzierbar $\Rightarrow$ stetig).

Man schreibe $f$ in der Form:

$$f(x) = f(a) +\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)$$   für $x\in I \setminus \{a\}$$$$$

und folgere

$$\lim_{\substack{x \to a\\ x\not= a}} f(x) = f(a)$$   .$$$$