Rechenregeln für die Ableitung

Satz 3.2.7 (Rechenregeln der Ableitung)  

Es sei $I$ ein offenes Intervall. Die Funktionen $f,g:I\rightarrow \mathbb{R}$ seien im Punkt $a\in I$ differenzierbar.

Dann sind auch die Funktionen

$$f+g, \quad f\cdot g$$   und, falls $g(a)\not=0$, $\frac{f}{g}$$$$$

an der Stelle $a$ differenzierbar.

Es gelten die Rechenregeln:

Linearität:

    $\parbox{50em}{ \( (f+g)'(a) = f'(a)+g'(a) \), \\ [.5ex] \( (\lambda\,f)'(a) = \lambda\,f'(a) \)f\uml {u}r \( \lambda\in\mathbb{R}\) .\strut }$

Produktregel:

     $(f\cdot g)'(a) = f'(a)g(a)+f(a)g'(a) \strut$.

Quotientenregel:

$$\Bigl( \frac{f}{g} \Bigr)'\!(a) = \frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}$$.

Bemerkung. 1. Man präge sich die Produktregel in dieser Reihenfolge ein:

$$(f\cdot g)'(a) = f'(a) \cdot g(a)+f(a) \cdot g'(a)$$

Die Produktregel gilt auch für andere, nicht notwendig kommutative Produkte.

Beispiel: Funktionen mit Werten in den Matrizen und das Matrizenprodukt oder für das Skalarprodukt vektorwertiger Funktionen.

2. Wir führen auch den Beweis der Quotientenregel so, daß er sich leicht auf die Inversenbildung in anderen Produkten übertragen läßt.

Beweis (Rechenregeln der Ableitung).

Linearität:     $$\frac{(f+g)(x)-(f+g)(a)}{x-a}$$

$$= \frac{f(x)-f(a)}{x-a} + \frac{g(x)-g(a)}{x-a} \to f'(a)+g'(a)$$   für $x \to a$.$$$$

Produktregel:     $$\frac{ (f\cdot g)(x) -(f\cdot g)(a)}{x-a}$$

$$= \frac{f(x)-f(a)}{x-a}g(x) + f(a)\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \to f'(a)g(a) + f(a)g'(a)$$   .$$$$

Quotientenregel: Es reicht, den Fall $$\frac{1}{g}$$ zu untersuchen.

Da $g(a)\not=0$ ist, existiert $g(x)^{-1}$ in einer Umgebung von $a$.

$$\frac{ g(x)^{-1}-g(a)^{-1}}{x-a} = g(x)^{-1} \cdot \frac{g(a)-g(x)}{x-a} \cdot g(a)^{-1}$$

$$\to -g(a)^{-1}\cdot g'(a)\cdot g(a)^{-1} = -\frac{g'(a)}{g(a)^2}$$

Bemerkung. Mit den Rechenregeln kann man Polynome und rationale Funktionen differenzieren.

Beispiele 3.2.8  

1. Man zeige induktiv:
   $$(x^n)' = nx^{n-1}$$   für $n\in \mathbb{N}$ und $x \in \mathbb{R}$.$$$$

2. Für $n\in \mathbb{N}$ und $x\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ gilt
   $$\bigl( x^{-n} \bigr)' = -nx^{-n-1}$$   .$$$$

Beweis .

1. Der Fall $n=1$ ist klar. Nun wende man die Produktformel an.
2. Für $n\in \mathbb{N}$ und $x\not=0$ gilt nach der Quotientenregel:
   $$(x^{-n})' = \bigl( (x^n)^{-1} \bigr)' = -\frac{ (x^n)' }{ x^{2n} } = - \frac{ n x^{n-1} }{ x^{2n} } = -n x^{-n-1}$$   .$$$$