Es sei ein Intervall. Eine Funktion heißt gleichmäßig stetig wenn folgende gilt:
Zu jedem gibt es ein , so daß für alle , aus stets folgt.
In Zeichen:
Bemerkung. Die Feststellungen und gelten sinngemäß auch für die Definition der Gleichmäßigen Stetigkeit.
Was heißt es, daß eine Funktion nicht gleichmäßig stetig ist?
Es gibt ein , so daß es zu jedem zwei Punkte , gibt mit und .
In Zeichen:
. |
Die Funktion ist nicht gleichmäßig stetig, wenn es ein und zwei Folgen , in so gibt, daß
Beweis .
Für ist und . Folglich gilt:
Es sei ein kompaktes Intervall. Dann ist jede stetige Funktion gleichmäßig stetig.
Bemerkung. Der Satz wird mit einem Widerspruchsbeweis gezeigt.
EDUARD HEINE (1821-1861)
Beweis . Annahme: ist nicht gleichmäßig stetig.
, | |
, | |
mit, | |
mit . |
Übung. (Gleichmäßige Stetigkeit)
1. Man modifiziere den Beweis von Satz oder den alternativen Beweis im Beispiel und zeige die folgende Charakterisierung der gleichmäßigen Stetigkeit:
Es seien ein beschränktes Intervall und . Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
2. Man zeige, daß die Äquivalenz (1.) sinngemäß auch für Funktionen gilt.
3. Man zeige, daß der Fortsetzungssatz sinngemäß für gleichmäßig stetige Funktionen gilt.