Fachrichtung 6.1 Mathematik

OPERATORHALBGRUPPEN, MARKOVSCHE PROZESSE UND EVOLUTIONSGLEICHUNGEN
WiSe 2018 / 2019

• Aktuelles.

• Dozent.

  PD Dr. Yana A. Kinderknecht , Geb. E2 4, Zim. 209, Tel.: 302-4743
  

• Inhalt.

  Halbgruppen von Operatoren und ihre Zusammenhänge mit Anfangswertproblemen für Evolutionsgleichungen und Markovschen Prozessen. Die von Differential- und Pseudodifferentialoperatoren generierten Halbgruppen und ihre Bedeutung für Levy- und Fellersche Prozesse. Klassische Ergebnisse: Generation, Störungen und Approximations von Halbgruppen. Einige neue Resultaten über Chernoff Approximation der durch stochastische Prozesse generierten Halbgruppen.
  
  Kapitel 1. Grundlagen:
  1. Einführung: Evolutionsgleichungen und Operatorhalbgruppen.
  2. Die von Markovschen Prozessen generierten Halbgruppen.
  3. Stark stetige Halbgruppen.
  
  Kapitel 2. Fellersche Prozesse / Halbgruppen.
  1. Die Wärmeleitungshalbgruppe.
  2. Maße und CNDF.
  3. Faltungshalbgruppen und Levy-Prozesse.
  4. Fellersche Prozesse / Halbgruppen.
  
  Kapitel 3. Erzeugung, Konstruktion, Approximation und Darstellung stark stetiger Halbgruppen.
  1. Der Satz von Hille und Yosida.
  2. Der Satz von Lumer und Phillips. Sätze von Trotter und Kato.
  3. Chernoffs Satz und seine Folgerungen.Chernoff-Approximation Fellerscher Halbgruppen.
  4. Störungstechnik.
  5. Weitere Ansätze zur Erzeugung, Konstruktion, Approximation und Darstellung stark stetiger Halbgruppen (adjungierte Halbgruppen, subordinierte Halbgruppen, analytische Halbgruppen; der Satz von Stone).

  1. Hilfsmaterial.
     

     Folien
     zur Vorlesung 1	zur Vorlesung 2	zur Vorlesung 3	zur Vorlesung 5	zur Vorlesung 6	zu den Vorlesungen 7-8	zur Vorlesung 9	zur Vorlesung 10	zur Vorlesung 11	zur Vorlesung 12	zur Vorlesung 13	zur Vorlesung 14	zur Vorlesung 15

  2. Zusatzmaterial.
     

     PDF-Format
     Markov processes	CNDFs and *-SGs	Chernoff approximation of Feller SGs

• Bedingungen.

  1. Zeit und Ort: Do, 10:00 -12:00, SR 9 Geb. E2 4.

  2. Vorkenntnisse: Analysis I---II, Funktionalanalysis I, Stochastik I.

• Schein.
  

  1. Leistungspunkte: 4,5 LP.

  2. Scheinkriterien: 1. Erreichen der Zulassung (Regelmäßige Teilnahme und Mitarbeit in den Übungen (Anwesenheitskontrolle), Erreichen von mindestens 50% der möglichen Punkte). 2. Erfolgreiche Teilnahme an mündlicher Prüfung.




• Literatur.
  [1] A. Pazy. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer, 1983.
  [2]N.Jacob. Pseudo-differential operators and Markov processes. Vol. I , II, III. Imperial College Press, 2001-2005.
  [3] B. Böttcher, R. Schilling, J. Wang. Levy-Matters III. Levy-Type Processes: Construction, Approximation and Sample Path Properties. LNM 2099. Springer, 2010.
  [4] K.J. Engel, R. Nagel. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer, 2000.
  [5] K.-I. Sato. Levy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge University Press, 1999.
  [6] D. Applebaum. Levy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 116. Cambridge University Press, 2009.

• Übungsbetrieb.
  Es wird vorlesungsbegleitend alle zwei Wochen eine 2-stündige Übung angeboten. Sie erhalten wie üblich Aufgabenblätter, die korrigiert und in der Übung besprochen werden.

  1. Übungstermin: Mo, 10:00-12:00, SR 9. Beginn: 29.10.2018.

  2. Übungsblätter.
     Abgabe: Vor der Vorlesung.

     Blätter (pdf-Format)
     Blatt 1
     Blatt 2
     Blatt 3
     Blatt 4
     Blatt 5
     Blatt 6