Bemerkung. In elementaren Büchern zum ,,Calculus `` findet man manchmal die Veranschaulichung der stetigen Funktionen als Funktionen, deren Graph man mit einem Stift ohne abzusetzen zeichnen kann.
Etwas besser entsprechen die stückweise konvexen oder konkaven Funktionen, die an den Anschlußstellen stetig zusammenpassen, dieser Vorstellung.
Bemerkung.
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Die Verbindungsstrecke der Punkte und nennen wir die Sehne über dem Intervall . |
Die Sehne ist das Bild des Einheitsintervalls unter der affinen Abbildung
Anschaulich heißt eine Funktion konvex, wenn ihr Graph immer unterhalb jeder Sehne verläuft.
Durch algebraische Umformung der Definition erhält man:
Gegeben seien Intervalle , und Funktionen
Beweis . Es seien , und :
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Es seien , Intervalle, bijektiv mit Umkehrfunktion . Dann gilt:
Beweis . Die Monotonieeigenschaften der Umkehrfunktion wurden bereits in Satz gezeigt. Wir zeigen jeweils den Fall strenger Konvexität bzw. strenger Konkavität.
Es seien , , , und .
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Wenn (streng) konvex ist, so ist die Steigung
Beweis .
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Beweis .
Da streng monoton wachsend und konkav ist und streng monoton fallend und konvex ist, ist nach Bemerkung (2.) die Komposition streng monoton fallend und streng konvex.
Da streng monoton wachsend und streng konvex ist, ist nach Bemerkung (1) die Komposition streng monoton fallend und streng konvex.
Es seien ein offenes Intervall und .
Für jedes kompakte Teilintervall ist die Einschränkung Lipschitz-stetig.
Wenn , mit , dann ist
Beweis . Es seien , mit . Nach Korollar gilt für
Bemerkung. Die Definition der Konvexität und die Feststellung gelten entsprechend für konvexe Funktionen .
Beweis . Für alle mit rationalen Endpunkten , , , ist die Einschränkung Lipschitz-stetig und hat nach Satz eine eindeutige stetige Fortsetzung auf .
Wenn zwei derartige Intervalle und einen nichtleeren Durchschnitt haben, so ist der Durchschnitt ein rationaler Punkt oder ein nichtausgeartetes Intervall mit rationalen Endpunkten.
In beiden Fällen stimmen die jeweiligen Fortsetzungen auf dem Durchschnitt überein.
Nach Bemerkung gibt es zu rationale , mit .
Also hat eine eindeutige stetige Fortsetzung auf ganz .
Nach Lemma und Beispiel ist ist wieder (streng) konvex.