Kettenregel

Bemerkung. Wir formulieren die Definition der Ableitung so um, daß man nicht mehr den Grenzwert eines Quotienten untersucht. Dies bringt folgende Vorteile:

• Die Beweise zur Differenzierbarkeit von Kompositionen differenzierbarer Funktionen (Kettenregel) und der Ableitung der Umkehrfunktion vereinfachen sich sehr, da man nicht darauf achten muß, ob irgendwelche Nenner eine Nullstelle haben.
• Wir wollen später auch Funktionen, deren Variable ein Vektor ist, differenzieren. Den Differenzenquotienten kann man für solche Funktionen nicht bilden, da man durch Vektoren nicht teilen kann!

  Die Sätze und Beweise mit der äquivalenten Definition gelten sinngemäß auch für Funktionen von Vektoren.

Bemerkung. Es sei $f$ differenzierbar im Punkte $a$.

Wir bezeichnen den verschobenen Differenzenquotienten und seinen Grenzwert bei $h=0$ für $h\in \{I-a\}$ mit

$$\varphi: h \mapsto \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{f... ...l ur \( h\not=0 \),}\\ f'(a) &\text{f\uml ur \( h=0 \).} \end{array} \right.$$

Die Funktion $\varphi : \{I-a\} \rightarrow \mathbb{R}$ ist stetig in $h=0$ mit Grenzwert

$$\lim_{h\to0}\varphi(h) = f'(a)$$   .$$$$

Für die Differenz $\Delta f(a,h)$ der Funktionswerte von $f$ in den Punkten $a+h$ und $a$ gilt

$$\Delta f(a,h) :=f(a+h)-f(a) = \varphi(h)\cdot h$$   .$$$$

Diese Umformung führt uns zu dem folgenden Feststellung:

Lemma 3.2.9 (Äquivalenz zur Differenzierbarkeit)  

Es seien $I\subset \mathbb{R}$ ein offenes Intervall, $a\in I$. und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1.

$f$ ist differenzierbar im Punkt $a$.

2.

Es gibt eine stetige Funktion

$$\varphi: \{I-a\} \rightarrow \mathbb{R}$$,$$$$

so daß für alle $h\in \{I-a\}$ gilt:

$$\Delta f(a,h)=f(a+h)-f(a) = \varphi(h) \cdot h$$   .$$$$

Wenn dies erfüllt ist, dann ist $f'(a) = \varphi(0)$.

Beweis . Vergleiche die Vorbemerkung.

Nach Voraussetzung existiert

$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}= \varphi(0)$$

Satz 3.2.10 (Kettenregel)  

Seien $I,J\subset\mathbb{R}$ offene Intervalle und

$$h: I \stackrel{f}{\longrightarrow} J \stackrel{g}{\longrightarrow} \mathbb{R}$$

Funktionen. Wenn

$f$ an der Stelle $a\in I$ differenzierbar ist und

$g$ an der Stelle $f(a)\in J$ differenzierbar ist,

dann ist die Komposition $h=g\circ f:I\rightarrow \mathbb{R}$ an der Stelle $a$ differenzierbar. Es gilt die Kettenregel

$$(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a).$$

Bemerkung. Die Ableitung der Komposition $g \circ f$ ist das Produkt der Ableitungen der äußeren Funktion $g$ mit der Ableitung der inneren Funktion $f$:

Bemerkung. Die Kettenregel gilt auch für Abbildungen zwischen Vektorräumen. Deren Ableitungen sind Matrizen und das Matrizenprodukt ist nicht kommutativ.

Man präge sich deshalb die Kettenregel in dieser Reihenfolge ein:

Beweis . Nach Lemma gibt es eine stetige Funktion

$$\gamma : \{J-f(a)\}\rightarrow \mathbb{R}$$

$$\gamma(0) = g'(f(a))$$

$$g(f(a)+k)-g(f(a)) = \gamma(k)\cdot k$$

und eine stetige Funktion $\varphi : \{I-a)\}\rightarrow \mathbb{R}$, so daß

$$\varphi(0) = f'(a)$$

$$f(a+h)-f(a) = \varphi(h)\cdot h$$

Setzt man $k:=f(a+h)-f(a)$ so folgt

$$g(f(a+h)) -g(f(a)) = \gamma(f(a+h\!)-\!f(a))\cdot(f(a+h)\!-\!f(a))$$

$$= \gamma(f(a+h)\!-\!f(a))\cdot \varphi(h)\cdot h$$

Da $\ h \mapsto \gamma(f(a+h)\!-\!f(a))\cdot \varphi(h) \$ stetig in $h=0$ ist, ist nach Lemma $g \circ f$ differentierbar im Punkte a und

$$(g\circ f)'(f(a)) = \gamma(0)\cdot \varphi(0) = g'(f(a))\cdot f'(a)$$   .$$$$

Bemerkung. Wenn $I\subset \mathbb{R}$ ein offenes Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig und streng monoton ist, dann ist $f(I)$ ein offenes Intervall (vgl. ).

Wenn $f$ und die Umkehrfunktion $f^{-1}$ differenzierbar sind, so folgt aus derKettenregel $1 = \mathrm{id}' = (f^{-1}\circ f)' = \bigl((f^{-1})'\circ f\big)\cdot f$ und somit

$$(f^{-1})'(f(a)) = \bigl(f'(a)\bigr)^{-1}$$   .$$$$

Satz 3.2.11 (Ableitung der Umkehrfunktion)  

Es seien $I\subset \mathbb{R}$ ein offenes Intervall, $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig, streng monoton, $J = f(I)$ und $g: J \rightarrow \mathbb{R}$ die Umkehrfunktion zu $f$. Es sei $f$ im Punkt $a\in I$ differenzierbar.

Die Umkehrfunktion $g$ ist genau dann an der Stelle $f(a)$ differenzierbar, wenn $f'(a)\not=0$. In diesem Fall gilt

$$(g)'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}$$    .$$$$

Beweis (Ableitung der Umkehrfunktion).

Man vergleiche die Vorbemerkung.

Nach Lemma gibt es eine stetige Funktion $\varphi$ mit:

$$\varphi : \{J-f(a)\}\rightarrow \mathbb{R}$$

$$\varphi(0) = g'(f(a))$$

$$f(a+h)-f(a) = \varphi(h)\cdot h$$

Da $\varphi(0) = f'(a) \not= 0$ und $f$ streng monoton ist, gilt $\varphi(h) \not=0$.

Man definiere eine stetige Funktion $\gamma:\{J-f(a)\}\rightarrow \mathbb{R}$ durch:

$$h :=g(f(a)+k)-a k\in \{J-f(a)\}$$

$$\gamma : k \mapsto \frac{1}{\varphi(h)} \quad \gamma(0) = (\varphi(0)^{-1} = (f'(a))^{-1}$$

Aus $k = f(a+h)-f(a) = \varphi(h)\cdot h$ und Lemma folgt die Differenzierbarkeit von $g$:

$$g(f(a)+k)-g(f(a))%% = \frac{1}{\varphi(g(f(a)+k)-f(a))}\cdot k = \gamma(k)\cdot k$$   .$$$$