Rechte und linke Hilbert-C^*-Moduln

   Ein  rechter Hilbert-C^*-Modul X über einer C^*-Algebra $(A,\Vert\cdot\Vert _A)$, kurz: ein rechter Hilbert-A-Modul, ist ein Banachraum $(X,\Vert\cdot\Vert _X)$, für den zusätzlich gilt:

1.

X ist ein rechter A-Modul.

2.

Es gibt ein A-wertiges  inneres Produkt auf X, d.h. eine Abbildung

$$\langle \cdot , \cdot \rangle_A : X \times X \rightarrow A \, ,$$

so daß für alle $x,y,z \in X$ und für alle $a \in A$ gilt:

(a)

$\langle x + y , z \rangle_A = \langle x , z \rangle_A + \langle y , z \rangle_A$

(b)

$\langle x , y \rangle_A = \langle y , x \rangle_A^*$

(c)

$\langle x , y\cdot a \rangle_A = \langle x , y \rangle_A \, a$

(d)

$\langle x , x \rangle_A \ge 0$

(e)

$\langle x , x \rangle_A = 0 \mbox{ impliziert } x=0$.

3.

Für alle $x \in X$ gilt:

$$\Vert x \Vert _X = \Vert \langle x , x \rangle_A \Vert _A^{\frac{1}{2}}~\mbox{.}$$

Analog definiert man  linke Hilbert-C^*-Moduln, indem man (d) ersetzt durch

(d')

$_A\langle x ,a\cdot y \rangle = { }_A \langle x , y \rangle a^*$.